Отрицательная температура

Физические системы более горячие, чем любые другие

Шкала преобразования температуры/холода SI : температуры по шкале Кельвина показаны синим цветом (шкала Цельсия - зеленым, шкала Фаренгейта - красным), значения холода в гигабайтах на наноджоуль показаны черным. Бесконечная температура (нулевая холодность) показана вверху диаграммы; положительные значения холода/температуры находятся справа, отрицательные значения – слева.

Некоторые системы могут достигать отрицательной термодинамической температуры ; то есть их температура может быть выражена как отрицательная величина по шкале Кельвина или Ренкина . Это следует отличать от температур, выраженных отрицательными числами по нетермодинамическим шкалам Цельсия или Фаренгейта , которые, тем не менее, выше абсолютного нуля . Система с действительно отрицательной температурой по шкале Кельвина горячее , чем любая система с положительной температурой. Если системы с отрицательной температурой и системой с положительной температурой вступают в контакт, тепло перетечет от системы с отрицательной температурой к системе с положительной температурой. ^{[1] [2]} Стандартным примером такой системы является инверсная населенность в лазерной физике .

Термодинамические системы с неограниченным фазовым пространством не могут достичь отрицательных температур: добавление тепла всегда увеличивает их энтропию . Возможность уменьшения энтропии по мере увеличения энергии требует от системы «насыщения» энтропией. Это возможно только в том случае, если число состояний с высокой энергией ограничено. Для системы обычных (квантовых или классических) частиц, таких как атомы или пыль, число состояний с высокой энергией неограниченно (импульсы частиц в принципе можно увеличивать до бесконечности). Однако некоторые системы (см. примеры ниже) обладают максимальным количеством энергии, которое они могут удерживать, и по мере приближения к этой максимальной энергии их энтропия фактически начинает уменьшаться. ^[3]

История

Возможность отрицательных температур была впервые предсказана Ларсом Онсагером в 1949 году. ^[4] Онзагер исследовал двумерные вихри, ограниченные конечной областью, и понял, что, поскольку их положения не являются независимыми степенями свободы от их импульсов, результирующее фазовое пространство также должно быть ограничено конечной площадью. Ограниченное фазовое пространство является важным свойством, которое допускает отрицательные температуры и может иметь место как в классических, так и в квантовых системах. Как показал Онзагер, система с ограниченным фазовым пространством обязательно имеет пик энтропии при увеличении энергии. Для энергий, превышающих значение, при котором возникает пик, энтропия уменьшается с увеличением энергии, и состояния с высокой энергией обязательно имеют отрицательную температуру Больцмана.

Ограниченный диапазон состояний, доступных системе с отрицательной температурой, означает, что отрицательная температура связана с возникновением упорядочения системы при высоких энергиях. Например, в точечно-вихревом анализе Онзагера отрицательная температура связана с возникновением крупномасштабных скоплений вихрей. ^[4] Этот спонтанный порядок в равновесной статистической механике противоречит общепринятой физической интуиции, согласно которой увеличение энергии приводит к увеличению беспорядка.

Определение температуры

Шкалу абсолютной температуры (Кельвина) можно условно интерпретировать как среднюю кинетическую энергию частиц системы. Существование отрицательной температуры, не говоря уже о том, что отрицательная температура представляет собой «более горячие» системы, чем положительная температура, в этой интерпретации может показаться парадоксальным. Парадокс разрешается путем рассмотрения более строгого определения термодинамической температуры в терминах формулы энтропии Больцмана . Это показывает компромисс между внутренней энергией и энтропией , содержащейся в системе, при этом « холодность », обратная температуре, является более фундаментальной величиной. В системах с положительной температурой энтропия будет увеличиваться по мере добавления энергии в систему, тогда как в системах с отрицательной температурой энтропия будет уменьшаться по мере добавления энергии в систему. ^[5]

Определение термодинамической температуры T является функцией изменения энтропии системы S при обратимой передаче тепла Q _rev :

${\displaystyle T={\frac {dQ_{\mathrm {rev} }}{dS}}.}$

Энтропия является функцией состояния , поэтому интеграл от dS по любому циклическому процессу равен нулю. Для системы, в которой энтропия является чисто функцией энергии системы E , температуру можно определить как:

${\displaystyle T=\left({\frac {dS}{dE}}\right)^{-1}.}$

Аналогично, термодинамическая бета или «холодность» определяется как

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{kT}}={\frac {1}{k}}{\frac {dS}{dE}},}$

где k — постоянная Больцмана .

Обратите внимание, что в классической термодинамике S определяется через температуру. Здесь все наоборот: S — статистическая энтропия , функция возможных микросостояний системы, а температура передает информацию о распределении энергетических уровней среди возможных микросостояний. Для систем со многими степенями свободы статистические и термодинамические определения энтропии обычно согласуются друг с другом.

Некоторые теоретики предложили использовать альтернативное определение энтропии как способ разрешить предполагаемые несоответствия между статистической и термодинамической энтропией для небольших систем и систем, в которых количество состояний уменьшается с увеличением энергии, а температуры, полученные из этой энтропии, различны. ^{[6] [7]} Утверждалось, что новое определение создаст другие несоответствия; ^[8] его сторонники утверждают, что это только кажущееся явление. ^[7]

Распределение тепла и молекулярной энергии

Когда температура отрицательная, состояния с более высокой энергией будут заняты с большей вероятностью, чем состояния с низкой энергией.

Отрицательные температуры могут существовать только в системе, где существует ограниченное число энергетических состояний (см. ниже). По мере повышения температуры в такой системе частицы переходят во все более и более высокие энергетические состояния, а по мере повышения температуры число частиц в состояниях с более низкой энергией и в состояниях с более высокой энергией приближается к равенству. (Это следствие определения температуры в статистической механике для систем с ограниченными состояниями.) Правильно впрыскивая энергию в эти системы, можно создать систему, в которой частиц в более высоких энергетических состояниях будет больше, чем частиц. в нижних. Тогда систему можно охарактеризовать как имеющую отрицательную температуру.

Вещество с отрицательной температурой не холоднее абсолютного нуля , а горячее бесконечной температуры. Как выразились Киттель и Кремер (стр. 462):

Температурная шкала от холодного до горячего пробега:

:+0 К (-273,15 °С), …, +100 К (-173,15 °С), …, +300 К (+26,85 °С), …, +1000 К (+726,85 °С), …, + ∞ K (+∞ °C), −∞ K (−∞ °C), …, −1000 K (−1273,15 °C), …, −300 K (−573,15 °C), …, −100 K (− 373,15 °С), …, -0 К (-273,15 °С).

Соответствующая обратная температурная шкала для величины β =1/кТ(где k — постоянная Больцмана ), непрерывно меняется от низкой энергии к высокой как +∞, …, 0, …, −∞. Поскольку он позволяет избежать резкого скачка от +∞ к −∞, β считается более естественным, чем T . Хотя система может иметь несколько областей отрицательных температур и, следовательно, иметь разрывы от -∞ до +∞.

Во многих известных физических системах температура связана с кинетической энергией атомов. Поскольку не существует верхней границы импульса атома, не существует верхней границы и для числа энергетических состояний, доступных при добавлении большего количества энергии, и, следовательно, нет способа достичь отрицательной температуры. Однако в статистической механике температура может соответствовать другим степеням свободы, а не только кинетической энергии (см. Ниже).

Температура и беспорядок

Распределение энергии между различными поступательными , колебательными , вращательными , электронными и ядерными модами системы определяет макроскопическую температуру. В «нормальной» системе происходит постоянный обмен тепловой энергией между различными режимами.

Однако в некоторых ситуациях можно изолировать один или несколько режимов. На практике изолированные моды по-прежнему обмениваются энергией с другими модами, но временной масштаб этого обмена намного медленнее, чем при обмене внутри изолированной моды. Одним из примеров является случай ядерных спинов в сильном внешнем магнитном поле . В этом случае энергия течет довольно быстро между спиновыми состояниями взаимодействующих атомов, но передача энергии между ядерными спинами и другими модами происходит относительно медленно. Поскольку поток энергии преимущественно происходит внутри спиновой системы, имеет смысл думать о температуре спина, отличной от температуры, связанной с другими модами.

Определение температуры может быть основано на соотношении:

${\displaystyle T={\frac {dq_{\mathrm {rev} }}{dS}}}$

Это соотношение предполагает, что положительная температура соответствует состоянию, когда энтропия S увеличивается по мере добавления к системе тепловой энергии q _{rev .} Это «нормальное» состояние в макроскопическом мире, и оно всегда справедливо для поступательных, колебательных, вращательных и несвязанных со спином электронных и ядерных мод. Причина этого в том, что существует бесконечное количество этих типов мод, и добавление большего количества тепла в систему увеличивает количество энергетически доступных мод и, таким образом, увеличивает энтропию.

Примеры

Невзаимодействующие двухуровневые частицы

Энтропия, термодинамическая бета и температура как функция энергии для системы N невзаимодействующих двухуровневых частиц.

Самый простой пример, хотя и довольно нефизический, — это рассмотреть систему из N частиц, каждая из которых может принимать энергию либо + ε , либо — ε , но в остальном не взаимодействует. Это можно понимать как предел модели Изинга , в котором член взаимодействия становится пренебрежимо малым. Полная энергия системы равна

${\displaystyle E=\varepsilon \sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}=\varepsilon j}$

где σi _— знак i -й частицы, а j — количество частиц с положительной энергией минус количество частиц с отрицательной энергией . Из элементарной комбинаторики общее количество микросостояний с таким количеством энергии представляет собой биномиальный коэффициент :

${\displaystyle \Omega _{E}={\binom {N}{\frac {N+j}{2}}}={\frac {N!}{\left({\frac {N+j}{2}}\right)!\left({\frac {N-j}{2}}\right)!}}.}$

По фундаментальному предположению статистической механики энтропия этого микроканонического ансамбля равна

${\displaystyle S=k_{\text{B}}\ln \Omega _{E}}$

Мы можем найти термодинамическое бета ( β =1/к _Б Т), рассматривая это как центральное различие , не принимая предел континуума :

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta &={\frac {1}{k_{\mathrm {B} }}}{\frac {\delta _{2\varepsilon }[S]}{2\varepsilon }}\\[3pt]&={\frac {1}{2\varepsilon }}\left(\ln \Omega _{E+\varepsilon }-\ln \Omega _{E-\varepsilon }\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2\varepsilon }}\ln \left({\frac {\left({\frac {N+j-1}{2}}\right)!\left({\frac {N-j+1}{2}}\right)!}{\left({\frac {N+j+1}{2}}\right)!\left({\frac {N-j-1}{2}}\right)!}}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2\varepsilon }}\ln \left({\frac {N-j+1}{N+j+1}}\right).\end{aligned}}}$

отсюда и температура

${\displaystyle T(E)={\frac {2\varepsilon }{k_{\text{B}}}}\left[\ln \left({\frac {(N+1)\varepsilon -E}{(N+1)\varepsilon +E}}\right)\right]^{-1}.}$

Все это доказательство предполагает наличие микроканонического ансамбля с фиксированной энергией и температурой, являющейся эмерджентным свойством. В каноническом ансамбле температура фиксирована, а энергия является эмерджентным свойством. Это приводит к ( ε относится к микросостояниям):

${\displaystyle {\begin{aligned}Z(T)&=\sum _{i=1}^{N}e^{-\varepsilon _{i}\beta }\\[6pt]E(T)&={\frac {1}{Z}}\sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}e^{-\varepsilon _{i}\beta }\\[6pt]S(T)&=k_{\text{B}}\ln(Z)+{\frac {E}{T}}\end{aligned}}}$

Следуя предыдущему примеру, мы выбираем состояние с двумя уровнями и двумя частицами. Это приводит к микросостояниям ε ₁ = 0 , ε ₂ = 1 , ε ₃ = 1 и ε ₄ = 2 .

${\displaystyle {\begin{aligned}Z(T)&=e^{-0\beta }+2e^{-1\beta }+e^{-2\beta }\\[3pt]&=1+2e^{-\beta }+e^{-2\beta }\\[6pt]E(T)&={\frac {0e^{-0\beta }+2\times 1e^{-1\beta }+2e^{-2\beta }}{Z}}\\[3pt]&={\frac {2e^{-\beta }+2e^{-2\beta }}{Z}}\\[3pt]&={\frac {2e^{-\beta }+2e^{-2\beta }}{1+2e^{-\beta }+e^{-2\beta }}}\\[6pt]S(T)&=k_{\text{B}}\ln \left(1+2e^{-\beta }+e^{-2\beta }\right)+{\frac {2e^{-\beta }+2e^{-2\beta }}{\left(1+2e^{-\beta }+e^{-2\beta }\right)T}}\end{aligned}}}$

Результирующие значения S , E и Z увеличиваются с ростом T и никогда не требуют перехода в отрицательный температурный режим.

Ядерные спины

Предыдущий пример приближенно реализуется системой ядерных спинов во внешнем магнитном поле. ^{[9] [10]} Это позволяет проводить эксперимент как разновидность спектроскопии ядерного магнитного резонанса . В случае электронных и ядерных спиновых систем доступно лишь конечное число мод, часто всего две, соответствующие спину вверх и спину вниз . В отсутствие магнитного поля эти спиновые состояния вырождены , то есть им соответствует одна и та же энергия. Когда применяется внешнее магнитное поле, энергетические уровни расщепляются, поскольку те спиновые состояния, которые выровнены с магнитным полем, будут иметь энергию, отличную от тех, которые антипараллельны ему.

В отсутствие магнитного поля такая двухспиновая система будет иметь максимальную энтропию, когда половина атомов находится в состоянии со спином вверх, а половина — в состоянии со спином вниз, и поэтому можно было бы ожидать найти систему с близкими значениями спина. к равному распределению спинов. При приложении магнитного поля некоторые атомы будут стремиться выстроиться так, чтобы минимизировать энергию системы, поэтому немного больше атомов должно находиться в состоянии с более низкой энергией (для целей этого примера мы предположим, что спин состояние «вниз» — это состояние с более низкой энергией). Добавить энергию в спиновую систему можно с помощью радиочастотных методов. ^[11] Это заставляет атомы переключаться со спина вниз на спин вверх.

Поскольку мы начали с более половины атомов в состоянии со спином вниз, это первоначально приводит систему к смеси 50/50, поэтому энтропия увеличивается, что соответствует положительной температуре. Однако в какой-то момент более половины вращений оказываются в положении раскрутки вверх. ^[12] В этом случае добавление дополнительной энергии снижает энтропию, поскольку оно отдаляет систему от смеси 50/50. Это уменьшение энтропии с добавлением энергии соответствует отрицательной температуре. ^[13] В ЯМР-спектроскопии это соответствует импульсам с шириной импульса более 180° (для данного спина). Хотя в твердых телах релаксация происходит быстро, в растворах она может занять несколько секунд и даже дольше в газах и ультрахолодных системах; Сообщалось о нескольких часах для серебра и родия при температуре пикокельвина. ^[13] Еще важно понимать, что температура отрицательна только по отношению к ядерным спинам. Другие степени свободы, такие как молекулярные колебательные, электронные и спиновые уровни электронов, имеют положительную температуру, поэтому объект все еще имеет положительное явное тепло. Релаксация на самом деле происходит за счет обмена энергией между состояниями ядерного спина и другими состояниями (например, посредством ядерного эффекта Оверхаузера с другими спинами).

Лазеры

Это явление также можно наблюдать во многих лазерных системах, в которых большая часть атомов системы (в химических и газовых лазерах) или электронов (в полупроводниковых лазерах) находится в возбужденном состоянии. Это называется инверсией населенности .

Гамильтониан для одной моды поля люминесцентного излучения на частоте ν равен

${\displaystyle H=(h\nu -\mu )a^{\dagger }a.}$

Оператор плотности в большом каноническом ансамбле равен

${\displaystyle \rho ={\frac {e^{-\beta H}}{\operatorname {Tr} \left(e^{-\beta H}\right)}}.}$

Чтобы система имела основное состояние, след сходился и оператор плотности имел общезначимый смысл, βH должен быть положительно полуопределенным. Таким образом, если hν < µ и H отрицательно полуопределено, то β само должно быть отрицательным, что подразумевает отрицательную температуру. ^[14]

Движущиеся степени свободы

Отрицательные температуры были также достигнуты в степенях свободы движения . С помощью оптической решетки были установлены верхние границы кинетической энергии, энергии взаимодействия и потенциальной энергии холодных атомов калия-39 . Это было сделано путем настройки взаимодействия атомов с отталкивания на притяжение с использованием резонанса Фешбаха и изменения общего гармонического потенциала с захвата на антизахват, таким образом преобразуя гамильтониан Бозе-Хаббарда из Ĥ → - Ĥ . Выполняя это преобразование адиабатически, сохраняя при этом атомы в режиме изолятора Мотта , можно перейти из состояния с низкой энтропией с положительной температурой в состояние с низкой энтропией и отрицательной температурой. В состоянии с отрицательной температурой атомы макроскопически занимают состояние с максимальным импульсом решетки. Ансамбли с отрицательной температурой пришли в равновесие и показали длительное время жизни в антизахватывающем гармоническом потенциале. ^[15]

Двумерное вихревое движение

Двумерные системы вихрей, ограниченные конечной площадью, могут образовывать состояния теплового равновесия при отрицательной температуре, ^{[16] [17]} и действительно, состояния с отрицательной температурой были впервые предсказаны Онзагером в его анализе классических точечных вихрей. ^[18] Предсказание Онзагера было подтверждено экспериментально для системы квантовых вихрей в бозе-эйнштейновском конденсате в 2019 году. ^{[19] [20]}

Смотрите также

• Отрицательное сопротивление

Рекомендации

1. Рэмси, Норман (1 июля 1956). «Термодинамика и статистическая механика при отрицательных абсолютных температурах». Физический обзор . 103 (1): 20–28. Бибкод : 1956PhRv..103...20R. дои : 10.1103/PhysRev.103.20.
2. Трамбле, Андре-Мари (18 ноября 1975). «Комментарий: Отрицательные температуры Кельвина: некоторые аномалии и предположения» (PDF) . Американский журнал физики . 44 (10): 994–995. Бибкод : 1976AmJPh..44..994T. дои : 10.1119/1.10248.
3. Аткинс, Питер В. (25 марта 2010 г.). Законы термодинамики: очень краткое введение. Издательство Оксфордского университета. стр. 89–95. ISBN 978-0-19-957219-9. ОСЛК  467748903.
4. Онсагер, Л. (1949). «Статистическая гидродинамика». Иль Нуово Чименто . 6 (2): 279–287. Бибкод : 1949NCim....6S.279O. дои : 10.1007/BF02780991. ISSN  1827-6121. S2CID  186224016.
5. Аткинс, Питер В. (25 марта 2010 г.). Законы термодинамики: очень краткое введение. Издательство Оксфордского университета. стр. 10–14. ISBN 978-0-19-957219-9. ОСЛК  467748903.
6. Дункель, Йорн; Гильберт, Стефан (2013). «Последовательная термостатистика запрещает отрицательные абсолютные температуры». Физика природы . 10 (1): 67. arXiv : 1304.2066 . Бибкод : 2014NatPh..10...67D. дои : 10.1038/nphys2815. S2CID  16757018.
7. Ханги, Питер; Гильберт, Стефан; Дункель, Йорн (2016). «Значение температуры в разных термостатических ансамблях». Философские труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 374 (2064): 20150039.arXiv : 1507.05713 . Бибкод : 2016RSPTA.37450039H. дои : 10.1098/rsta.2015.0039. PMID  26903095. S2CID  39161351.
8. Френкель, Даан; Уоррен, Патрик Б. (01 февраля 2015 г.). «Гиббс, Больцман и отрицательные температуры». Американский журнал физики . 83 (2): 163–170. arXiv : 1403.4299 . Бибкод : 2015AmJPh..83..163F. дои : 10.1119/1.4895828. ISSN  0002-9505. S2CID  119179342.
9. Перселл, EM ; Паунд, Р.В. (15 января 1951 г.). «Ядерная спиновая система при отрицательной температуре». Физический обзор . 81 (2): 279–280. Бибкод : 1951PhRv...81..279P. дои : 10.1103/PhysRev.81.279.
10. Варга, Питер (1998). «Минимаксные игры, спиновые очки и полиномиальная иерархия классов сложности». Физический обзор E . 57 (6): 6487–6492. arXiv : cond-mat/9604030 . Бибкод : 1998PhRvE..57.6487V. CiteSeerX 10.1.1.306.470 . doi : 10.1103/PhysRevE.57.6487. S2CID  10964509. 
11. Рэмси, Норман Ф. (1998). Спектроскопия с когерентным излучением: избранные статьи Нормана Ф. Рэмси с комментариями . Серия World Scientific по физике ХХ века, т. 21. Сингапур; Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific. п. 417. ИСБН 9789810232504. ОСЛК  38753008.
12. Левитт, Малкольм Х. (2008). Спиновая динамика: основы ядерного магнитного резонанса . Западный Суссекс, Англия: John Wiley & Sons Ltd., с. 273. ИСБН 978-0-470-51117-6.
13. «Положительные и отрицательные температуры пикокельвина».
14. Сюй, В.; Баракат, Р. (1992). «Статистика и термодинамика люминесцентного излучения». Физический обзор B . 46 (11): 6760–6767. Бибкод : 1992PhRvB..46.6760H. doi : 10.1103/PhysRevB.46.6760. ПМИД  10002377.
15. Браун, С.; Ронцхаймер, JP; Шрайбер, М.; Ходжман, СС; Ром, Т.; Блох, И.; Шнайдер, У. (2013). «Отрицательная абсолютная температура для степеней свободы движения». Наука . 339 (6115): 52–55. arXiv : 1211.0545 . Бибкод : 2013Sci...339...52B. дои : 10.1126/science.1227831. PMID  23288533. S2CID  8207974.
16. Монтгомери, округ Колумбия (1972). «Двумерное вихревое движение и «отрицательные температуры»". Письма по физике A. 39 ( 1): 7–8. Бибкод : 1972PhLA...39....7M. doi : 10.1016/0375-9601(72)90302-7.
17. Эдвардс, Сан-Франциско ; Тейлор, Дж. Б. (1974). «Отрицательные температурные состояния двумерной плазмы и вихревых жидкостей». Труды Лондонского королевского общества А. 336 (1606): 257–271. Бибкод : 1974RSPSA.336..257E. дои : 10.1098/rspa.1974.0018. JSTOR  78450. S2CID  120771020.
18. Онсагер, Л. (1 марта 1949). «Статистическая гидродинамика». Иль Нуово Чименто (1943–1954) . 6 (2): 279–287. Бибкод : 1949NCim....6S.279O. дои : 10.1007/BF02780991. ISSN  1827-6121. S2CID  186224016 . Проверено 17 ноября 2019 г.
19. Готье, Г.; Ривз, Монтана; Ю, Х.; Брэдли, AS; Бейкер, Массачусетс; Белл, штат Калифорния; Рубинштейн-Данлоп, Х.; Дэвис, MJ; Нили, ТВ (2019). «Гигантские вихревые кластеры в двумерной квантовой жидкости». Наука . 364 (6447): 1264–1267. arXiv : 1801.06951 . Бибкод : 2019Sci...364.1264G. doi : 10.1126/science.aat5718. PMID  31249054. S2CID  195750381.
20. Джонстон, SP; Грошек, AJ; Старки, ПТ; Биллинтон, CJ; Симула, ТП; Хелмерсон, К. (2019). «Эволюция крупномасштабного течения из-за турбулентности в двумерной сверхтекучей жидкости». Наука . 365 (6447): 1267–1271. arXiv : 1801.06952 . Бибкод : 2019Sci...364.1267J. doi : 10.1126/science.aat5793. PMID  31249055. S2CID  4948239.

дальнейшее чтение

• Киттель, К. ; Кремер, Х. (1980). Теплофизика (2-е изд.). У. Х. Фриман . ISBN 978-0-7167-1088-2.
• Касл, Дж.; Эммерих, В.; Хейкес, Р.; Миллер, Р.; Рейн, Дж. (1965). Наука по градусам: температура от нуля до нуля . Уокер и компания . LCCN  64023985.
• Браун, С.; Ронцхаймер, JP; Шрайбер, М.; Ходжман, СС; Ром, Т.; Блох, И.; Шнайдер, У. (2013). «Отрицательная абсолютная температура для степеней свободы движения». Наука . 339 (6115): 52–5. arXiv : 1211.0545 . Бибкод : 2013Sci...339...52B. дои : 10.1126/science.1227831. PMID  23288533. S2CID  8207974.
• Парихар, В.; Видом, А.; Шривастава, Ю. (2006). «Термические шкалы времени в конденсате цветного стекла». Физический обзор C . 73 (17901): 017901. arXiv : hep-ph/0505199 . Бибкод : 2006PhRvC..73a7901P. doi : 10.1103/PhysRevC.73.017901. S2CID  119090586.
• Моск, А. (2005). «Атомные газы при отрицательной кинетической температуре». Письма о физических отзывах . 95 (4): 040403. arXiv : cond-mat/0501344 . Бибкод : 2005PhRvL..95d0403M. doi : 10.1103/PhysRevLett.95.040403. PMID  16090784. S2CID  1156732.
• Шмидт, Гарри; Малер, Гюнтер (2005). «Управление локальным релаксационным поведением в закрытых двучастных квантовых системах». Физический обзор E . 72 (7): 016117. arXiv : quant-ph/0502181 . Бибкод : 2005PhRvE..72a6117S. doi : 10.1103/PhysRevE.72.016117. PMID  16090046. S2CID  17987338.
• Шен, Цзянь-Ци (2003). «Эффект антиэкранирования и отрицательная температура в мгновенно обращенных электрических полях и левых средах». Физика Скрипта . 68 (1): 87–97. arXiv : cond-mat/0302351 . Бибкод : 2003PhyS...68...87S. doi :10.1238/Physica.Regular.068a00087. S2CID  118894011.
• Кеттерле, Вольфганг (22 сентября 2010 г.). К квантовому магнетизму с ультрахолодными атомами (фильм) . Цюрихский физический коллоквиум. ETH Цюрих, ITS-MMS; Швейцария . Проверено 1 января 2016 г. Отрицательная температура, около 48мин. 53сек.
• Карр, Линкольн Д. (4 января 2013 г.). «Отрицательная температура?». Наука . 339 (6115): 42–43. Бибкод : 2013Sci...339...42C. дои : 10.1126/science.1232558. PMID  23288530. S2CID  124095369.

Внешние ссылки

• Мориарти, Филип. «-K: Отрицательные температуры». Шестьдесят символов . Брэди Харан из Ноттингемского университета .