Отсутствие памяти

В вероятности и статистике отсутствие памяти является свойством определенных распределений вероятностей . Оно описывает ситуации, в которых время , уже потраченное на ожидание события, не влияет на то, насколько долгим будет ожидание. Чтобы точно смоделировать ситуации без памяти, мы должны игнорировать прошлое состояние системы — вероятности остаются неизменными из-за истории процесса. ^[1]

Только два вида распределений не имеют памяти : геометрическое и экспоненциальное распределения вероятностей.

Примеры времени ожидания

С памятью

Большинство явлений не лишены памяти, что означает, что наблюдатели будут получать информацию о них с течением времени. Например, предположим, что $X$ — это случайная величина , срок службы двигателя автомобиля, выраженный в терминах «количество пройденных миль до поломки двигателя». Очевидно, исходя из нашей интуиции, что двигатель, который уже проехал 300 000 миль, будет иметь гораздо более низкий $X$ , чем второй (эквивалентный) двигатель, который проехал всего 1000 миль. Следовательно, эта случайная величина не будет обладать свойством отсутствия памяти.

Без памяти

Напротив, давайте рассмотрим ситуацию, которая продемонстрирует отсутствие памяти. Представьте себе длинный коридор, вдоль одной стены которого выстроились тысячи сейфов. У каждого сейфа есть циферблат с 500 позициями, и каждому сейфу случайным образом назначена позиция открытия. Представьте себе, что эксцентричный человек идет по коридору, останавливаясь у каждого сейфа, чтобы сделать одну случайную попытку открыть его. В этом случае мы могли бы определить случайную величину $X$ как продолжительность его поиска, выраженную в терминах «количества попыток, которые человек должен сделать, пока не успешно откроет сейф». В этом случае $E[X]$ всегда будет равно значению 500, независимо от того, сколько попыток уже было сделано. Каждая новая попытка имеет (1/500) шанс на успех, поэтому человек, скорее всего, откроет ровно один сейф в течение следующих 500 попыток, но с каждой новой неудачей он не «продвигается» к окончательному успеху. Даже если взломщик сейфов только что потерпел неудачу 499 раз подряд (или 4999 раз), мы ожидаем, что нам придется ждать еще 500 попыток, пока мы не увидим следующий успех. Если же вместо этого этот человек сосредоточит свои попытки на одном сейфе и «вспомнит» свои предыдущие попытки его открыть, он гарантированно откроет сейф максимум после 500 попыток (и, по сути, в начале он будет ожидать, что ему понадобится всего 250 попыток, а не 500).

Универсальный закон радиоактивного распада , описывающий время до распада данной радиоактивной частицы, является реальным примером отсутствия памяти. Часто используемый (теоретический) пример отсутствия памяти в теории очередей — это время, которое кладовщик должен ждать до прихода следующего покупателя.

Дискретная беспамятность

Если дискретная случайная величина не имеет памяти, то она удовлетворяет , где и — натуральные числа . Равенство остается верным, если подставить в левую часть уравнения. ^[2] $X$ $\Pr(X>m+n\mid X>m)=\Pr(X>n)$ $м$ $n$ $\geq$ $>$

Единственная дискретная случайная величина, не имеющая памяти, — это геометрическая случайная величина, принимающая значения в . ^[3] Эта случайная величина описывает момент, когда происходит первый успех в бесконечной последовательности независимых и одинаково распределенных испытаний Бернулли . ^[4] Свойство отсутствия памяти утверждает, что количество ранее неудачных испытаний не влияет на количество будущих испытаний, необходимых для успеха. $\mathbb {N}$

Геометрические случайные величины также могут быть определены как принимающие значения в , что описывает количество неудачных попыток до первого успеха в последовательности независимых и одинаково распределенных испытаний Бернулли. Эти случайные величины не удовлетворяют условию отсутствия памяти, указанному выше; однако они удовлетворяют слегка измененному условию отсутствия памяти: ^[5] $\mathbb {N} _{0}$

$\Pr(X>m+n\mid X\geq m)=\Pr(X>n).$

Подобно первому определению, только дискретные случайные величины, удовлетворяющие этому условию отсутствия памяти, являются геометрическими случайными величинами, принимающими значения в . В непрерывном случае эти два определения отсутствия памяти эквивалентны. $\mathbb {N} _{0}$

Постоянная потеря памяти

Если непрерывная случайная величина не имеет памяти, то она удовлетворяет условию , где и — неотрицательные действительные числа . ^[6] Равенство остается верным при подстановке. ^[7] $X$ $\Pr(X>s+t\mid X>t)=\Pr(X>s)$ $с$ $т$ $\geq$

Единственная непрерывная случайная величина, которая не имеет памяти, — это экспоненциальная случайная величина . Она моделирует случайные процессы, такие как время между последовательными событиями. ^[8] Свойство отсутствия памяти утверждает, что количество времени с момента предыдущего события не влияет на будущее время, пока не произойдет следующее событие.

Экспоненциальное распределение и доказательство отсутствия памяти

Единственным непрерывным распределением вероятностей без памяти является экспоненциальное распределение, показанное в следующем доказательстве: ^[9]

Сначала определим , также известную как функция выживания распределения . Из свойства отсутствия памяти и определения условной вероятности следует, что $S(t)=\Pr(X>t)$ ${\frac {\Pr(X>t+s)}{\Pr(X>t)}}=\Pr(X>s)$

Это дает функциональное уравнение , которое подразумевает, что где — натуральное число . Аналогично, где — натуральное число, за исключением . Следовательно, все рациональные числа удовлетворяют Поскольку является непрерывным и множество рациональных чисел плотно в множестве действительных чисел , где — неотрицательное действительное число. Когда , В результате, где . $S(t+s)=S(t)S(s)$ $S(pt)=S(t)^{p}$ $p$ $S\left({\frac {t}{q}}\right)=S(t)^{\frac {1}{q}}$ $д$ $0$ $a={\tfrac {p}{q}}$ $S(at)=S(t)^{a}$ $S$ $S(xt)=S(t)^{x}$ $x$ $т=1$ $S(x)=S(1)^{x}$ $S(x)=e^{-\lambda x}$ $\lambda =-\ln S(1)\geq 0$

Ссылки

^ «Заметки о случайных величинах без памяти» (PDF) .
^ Чаттамвелли, Раджан; Шанмугам, Рамалингам (2020). Дискретные распределения в инженерии и прикладных науках. Синтезные лекции по математике и статистике. Cham: Springer International Publishing. стр. 71. doi : 10.1007/978-3-031-02425-2. ISBN 978-3-031-01297-6.
^ Деккинг, Фредерик Мишель; Краайкамп, Корнелис; Лопухаа, Хендрик Пауль; Местер, Людольф Эрвин (2005). Современное введение в вероятность и статистику. Тексты Спрингера в статистике. Лондон: Спрингер Лондон. п. 50. дои : 10.1007/1-84628-168-7. ISBN 978-1-85233-896-1.
^ Нагель, Вернер; Штайер, Рольф (2017-04-04). Вероятность и условное ожидание: основы эмпирических наук. Wiley Series in Probability and Statistics (1-е изд.). Wiley. стр. 260–261. doi :10.1002/9781119243496. ISBN 978-1-119-24352-6.
^ Вайсштейн, Эрик В. "Memoryless". mathworld.wolfram.com . Получено 25 июля 2024 г.
^ Питман, Джим (1993). Вероятность. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York. стр. 279. doi :10.1007/978-1-4612-4374-8. ISBN 978-0-387-94594-1.
^ Бремо, Пьер (2024). Введение в прикладную вероятность. Тексты по прикладной математике. Т. 77. Cham: Springer International Publishing. стр. 84. doi : 10.1007/978-3-031-49306-5. ISBN 978-3-031-49305-8.
^ Бас, Эсра (2019). Основы вероятности и стохастических процессов. Cham: Springer International Publishing. стр. 74. doi : 10.1007/978-3-030-32323-3. ISBN 978-3-030-32322-6.
^ Рипосо, Жюльен (2023). Некоторые основы математики блокчейна. Cham: Springer Nature Switzerland. стр. 8–9. doi :10.1007/978-3-031-31323-3. ISBN 978-3-031-31322-6.