В математике расслоение с обратным расслоением или индуцированное расслоение [1] [2] [3] — это расслоение , которое индуцируется отображением его базового пространства. Если задано расслоение π : E → B и непрерывное отображение f : B ′ → B, можно определить «обратное расслоение» E с помощью f как расслоение f * E над B ′ . Расслоение f * E над точкой b ′ в B ′ — это просто расслоение E над f ( b ′) . Таким образом, f * E — это несвязное объединение всех этих расслоений, снабженное подходящей топологией .
Пусть π : E → B — расслоение с абстрактным слоем F , а f : B ′ → B — непрерывное отображение . Определим расслоение с помощью
и снабдим его топологией подпространства и проекционным отображением π ′ : f * E → B ′ , заданным проекцией на первый множитель, т.е.
Проекция на второй фактор дает карту
так что следующая диаграмма коммутирует :
Если ( U , φ ) является локальной тривиализацией E , то ( f −1 U , ψ ) является локальной тривиализацией f * E , где
Тогда следует, что f * E является расслоением над B ′ со слоем F. Расслоение f * E называется обратным проецированием E посредством f или расслоением, индуцированным f . Тогда отображение h является морфизмом расслоения, покрывающим f .
Любое сечение s из E над B индуцирует сечение f * E , называемое сечением обратного хода f * s , просто определяя
Если расслоение E → B имеет структурную группу G с функциями перехода t ij (относительно семейства локальных тривиализаций {( U i , φ i )} ), то расслоение-пулбэк f * E также имеет структурную группу G . Функции перехода в f * E задаются как
Если E → B — векторное расслоение или главное расслоение , то таковым является и обратный прообраз f * E. В случае главного расслоения правое действие G на f * E задается формулой
Из этого следует, что отображение h, покрывающее f, является эквивариантным и, таким образом, определяет морфизм главных расслоений.
На языке теории категорий конструкция обратного пучка является примером более общего категориального обратного пучка . Как таковая, она удовлетворяет соответствующему универсальному свойству .
Построение расслоения может быть осуществлено в подкатегориях категории топологических пространств , таких как категория гладких многообразий . Последняя конструкция полезна в дифференциальной геометрии и топологии .
Расслоения также могут быть описаны их пучками сечений . Тогда обратный пул пучков соответствует обратному образу пучков , который является контравариантным функтором. Пучок, однако, более естественно является ковариантным объектом, поскольку он имеет pushforward , называемый прямым образом пучка . Натяжение и взаимодействие между пучками и пучками, или обратным и прямым образом, могут быть выгодны во многих областях геометрии. Однако прямой образ пучка сечений пучка, как правило, не является пучком сечений некоторого прямого образа пучка, так что, хотя понятие «pushforward пучка» определено в некоторых контекстах (например, pushforward диффеоморфизмом), в целом оно лучше понимается в категории пучков, поскольку объекты, которые он создает, в общем случае не могут быть пучками.
