Дискретное равномерное распределение

Распределение вероятностей равновероятных исходов

В теории вероятностей и статистике дискретное равномерное распределение — это симметричное распределение вероятностей , в котором каждое из некоторого конечного целого числа n значений результата с равной вероятностью может быть обнаружено. Таким образом, каждое из n значений результата имеет равную вероятность 1/ n . Интуитивно, дискретное равномерное распределение — это «известное, конечное число результатов, все из которых с равной вероятностью могут произойти».

Простой пример дискретного равномерного распределения — бросание честной шестигранной кости . Возможные значения — 1, 2, 3, 4, 5, 6, и каждый раз, когда бросается кость, вероятность каждого данного значения равна 1/6. Если бы были брошены две кости и их значения были сложены, возможные суммы не имели бы равной вероятности, и поэтому распределение сумм двух бросков костей не является равномерным.

Хотя обычно рассматривают дискретные равномерные распределения по непрерывному диапазону целых чисел, как в этом примере с шестигранной игральной костью, можно определить дискретные равномерные распределения по любому конечному множеству . Например, шестигранная игральная кость может иметь абстрактные символы, а не числа на каждой из своих граней. Менее просто, случайная перестановка — это перестановка, сгенерированная равномерно случайным образом из перестановок заданного множества, а равномерное остовное дерево графа — это остовное дерево, выбранное с равномерными вероятностями из полного набора остовных деревьев графа.

Дискретное равномерное распределение само по себе непараметрическое . Однако в общем случае, когда его возможные значения выходных данных являются целыми числами в интервале , тогда a и b являются параметрами распределения и В этих случаях кумулятивная функция распределения (CDF) дискретного равномерного распределения может быть выражена для любого k как ${\textstyle [a,b]}$ ${\textstyle n=b-a+1.}$

$${\displaystyle F(k;a,b)=\min \left(\max \left({\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}},0\right),1\right),}$$

или просто

$${\displaystyle F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}}$$

на поддержку дистрибутива ${\textstyle k\in [a,b].}$

Оценка максимального

Задача оценки максимума дискретного равномерного распределения на целочисленном интервале по выборке из k наблюдений широко известна как задача о немецких танках после практического применения этой задачи оценки максимума во время Второй мировой войны войсками союзников, пытавшимися оценить производство немецких танков. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle [1,N]}$

Равномерно минимальная несмещенная дисперсионная оценка (UMVU) для максимума распределения в терминах m, максимума выборки , и k, размера выборки , имеет вид

${\displaystyle {\hat {N}}={\frac {k+1}{k}}m-1=m+{\frac {m}{k}}-1}$. ^[1]

Это можно рассматривать как очень простой случай оценки максимального расстояния .

Это имеет дисперсию

${\displaystyle {\frac {1}{k}}{\frac {(N-k)(N+1)}{(k+2)}}\approx {\frac {N^{2}}{k^{2}}}{\text{ for small samples }}k\ll N}$^[1]

поэтому стандартное отклонение приблизительно равно среднему по популяции размеру разрыва между выборками. ${\displaystyle {\tfrac {N}{k}}}$

Максимум выборки сам по себе является оценкой максимального правдоподобия для максимума популяции, но он смещен. ${\displaystyle m}$

Если образцы из дискретного равномерного распределения не пронумерованы по порядку, но их можно распознать или пометить, можно вместо этого оценить размер популяции с помощью метода пометки и повторного отлова .

Случайная перестановка

См. числа Ренконтреса для описания распределения вероятностей числа неподвижных точек равномерно распределенной случайной перестановки .

Характеристики

Семейство равномерных дискретных распределений в диапазонах целых чисел с одной или обеими неизвестными границами имеет конечномерную достаточную статистику , а именно тройку выборочного максимума, выборочного минимума и размера выборки.

Равномерные дискретные распределения в ограниченных диапазонах целых чисел не образуют экспоненциального семейства распределений, поскольку их поддержка зависит от их параметров.

Для семейств распределений, в которых их носители не зависят от их параметров, теорема Питмана–Купмана–Дармуа утверждает, что только экспоненциальные семейства имеют достаточную статистику измерений, которые ограничены с увеличением размера выборки. Таким образом, равномерное распределение является простым примером, показывающим необходимость условий для этой теоремы.

Смотрите также

• Распределение дельта Дирака
• Непрерывное равномерное распределение

Ссылки

1. Джонсон, Роджер (1994), «Оценка размера популяции», Teaching Statistics , 16 (2 (лето)): 50–52, CiteSeerX  10.1.1.385.5463 , doi :10.1111/j.1467-9639.1994.tb00688.x