Параметр масштаба

Статистическая мера

В теории вероятностей и статистике параметр масштаба — это особый вид числового параметра параметрического семейства распределений вероятностей . Чем больше параметр масштаба, тем более разбросано распределение.

Определение

Если семейство распределений вероятностей таково, что существует параметр s (и другие параметры θ ), для которого кумулятивная функция распределения удовлетворяет условию

${\displaystyle F(x;s,\theta )=F(x/s;1,\theta ),\!}$

тогда s называется параметром масштаба , поскольку его значение определяет " масштаб " или статистическую дисперсию распределения вероятностей. Если s велико, то распределение будет более разбросанным; если s мало, то оно будет более концентрированным.

Анимация, демонстрирующая влияние параметра масштаба на распределение вероятностей, поддерживаемое на положительной действительной прямой.

Влияние параметра масштаба на смесь двух нормальных распределений вероятностей

Если плотность вероятности существует для всех значений полного набора параметров, то плотность (как функция только параметра масштаба) удовлетворяет условию

${\displaystyle f_{s}(x)=f(x/s)/s,\!}$

где f — плотность стандартизированной версии плотности, т.е. . ${\displaystyle f(x)\equiv f_{s=1}(x)}$

Оценщик параметра масштаба называется оценщиком масштаба .

Семьи с параметрами местоположения

В случае, когда параметризованное семейство имеет параметр местоположения , часто используется несколько иное определение, как следует ниже. Если мы обозначим параметр местоположения как , а параметр масштаба как , то мы требуем, чтобы где — cmd для параметризованного семейства. ^[1] Эта модификация необходима для того, чтобы стандартное отклонение нецентрального гауссиана было параметром масштаба, поскольку в противном случае среднее значение изменилось бы при изменении масштаба . Однако это альтернативное определение не используется последовательно. ^[2] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle F(x;s,m,\theta )=F((x-m)/s;1,0,\theta )}$ ${\displaystyle F(x,s,m,\theta )}$ ${\displaystyle x}$

Простые манипуляции

Мы можем записать в терминах следующим образом: ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle g(x)=x/s}$

${\displaystyle f_{s}(x)=f\left({\frac {x}{s}}\right)\cdot {\frac {1}{s}}=f(g(x))g'(x).}$

Поскольку f является функцией плотности вероятности, она интегрируется до единицы:

${\displaystyle 1=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{g(-\infty )}^{g(\infty )}f(x)\,dx.}$

По правилу подстановки интегрального исчисления мы имеем тогда

${\displaystyle 1=\int _{-\infty }^{\infty }f(g(x))g'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f_{s}(x)\,dx.}$

Так что также правильно нормализовано. ${\displaystyle f_{s}}$

Параметр скорости

Некоторые семейства распределений используют параметр скорости (или « обратный параметр масштаба »), который является просто обратной величиной параметра масштаба . Так, например, экспоненциальное распределение с параметром масштаба β и плотностью вероятности

${\displaystyle f(x;\beta )={\frac {1}{\beta }}e^{-x/\beta },\;x\geq 0}$

эквивалентно можно записать с параметром скорости λ как

${\displaystyle f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x},\;x\geq 0.}$

Примеры

• Равномерное распределение можно параметризовать с помощью параметра местоположения и параметра масштаба . ${\displaystyle (a+b)/2}$ ${\displaystyle |b-a|}$
• Нормальное распределение имеет два параметра: параметр местоположения и параметр масштаба . На практике нормальное распределение часто параметризуется в терминах квадрата масштаба , который соответствует дисперсии распределения . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$
• Гамма -распределение обычно параметризуется с помощью масштабного параметра или его обратной величины. ${\displaystyle \theta }$
• Особые случаи распределений, где параметр масштаба равен единице, могут называться «стандартными» при определенных условиях. Например, если параметр местоположения равен нулю, а параметр масштаба равен единице, нормальное распределение называется стандартным нормальным распределением, а распределение Коши — стандартным распределением Коши.

Оценка

Статистику можно использовать для оценки параметра шкалы, если она:

• Не зависит от местоположения,
• Масштабируется линейно с параметром масштаба, и
• Сходится по мере увеличения размера выборки.

Различные меры статистической дисперсии удовлетворяют этим требованиям. Чтобы сделать статистику последовательной оценкой для параметра масштаба, нужно в общем случае умножить статистику на постоянный масштабный коэффициент . Этот масштабный коэффициент определяется как теоретическое значение значения, полученного путем деления требуемого параметра масштаба на асимптотическое значение статистики. Обратите внимание, что масштабный коэффициент зависит от рассматриваемого распределения.

Например, чтобы использовать медианное абсолютное отклонение (MAD) для оценки стандартного отклонения нормального распределения , необходимо умножить его на коэффициент

${\displaystyle 1/\Phi ^{-1}(3/4)\approx 1.4826,}$

где Φ ⁻¹ — функция квантиля (обратная кумулятивной функции распределения ) для стандартного нормального распределения. (Подробнее см. MAD .) То есть, MAD не является состоятельной оценкой для стандартного отклонения нормального распределения, но 1,4826... MAD является состоятельной оценкой. Аналогично, среднее абсолютное отклонение необходимо умножить примерно на 1,2533, чтобы получить состоятельную оценку для стандартного отклонения. Для оценки стандартного отклонения потребовались бы другие факторы, если бы популяция не следовала нормальному распределению.

Смотрите также

• Центральная тенденция
• Инвариантная оценка
• Параметр местоположения
• Местоположение-масштаб семьи
• Спред, сохраняющий среднее значение
• Смесь чешуи
• Параметр формы
• Статистическая дисперсия

Ссылки

1. Прохоров, А. В. (7 февраля 2011 г.). «Масштабный параметр». Энциклопедия математики . Springer . Получено 7 февраля 2019 г. .
2. Коски, Тимо. "Масштабный параметр". Королевский технологический институт KTH . Получено 7 февраля 2019 г.

Дальнейшее чтение

• Mood, AM; Graybill, FA; Boes, DC (1974). "VII.6.2 Масштабная инвариантность ". Введение в теорию статистики (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill.