Оценка параметров сигнала с помощью методов вращательной инвариантности

Метод обработки сигнала

Пример разделения на подмассивы (2D ESPRIT)

Оценка параметров сигнала с помощью вращательно-инвариантных методов (ESPRIT) — это метод определения параметров смеси синусоид в фоновом шуме. Этот метод был впервые предложен для оценки частоты. ^[1] Однако с введением фазированных решеточных систем в повседневную технологию он также используется для оценки угла прихода . ^[2]

Одномерный ESPRIT

В примере , (комплекснозначные) выходные сигналы (измерения) , , системы связаны с (комплекснозначными) входными сигналами , , как , где обозначает шум, добавленный системой. Одномерная форма ESPRIT может быть применена, если веса имеют вид , фазы которого являются целыми кратными некоторой радиальной частоты . Эта частота зависит только от индекса входа системы, т. е . . Целью ESPRIT является оценка 's, учитывая выходы и количество входных сигналов, . Поскольку радиальные частоты являются фактическими целями, обозначается как . ${\textstyle t}$ ${\textstyle M}$ ${\textstyle y_{m}[t]}$ ${\textstyle m=1,\ldots ,M}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle x_{k}[t]}$ ${\textstyle k=1,\ldots ,K}$ $${\displaystyle y_{m}[t]=\sum _{k=1}^{K}a_{m,k}x_{k}[t]+n_{m}[t],}$$ ${\textstyle n_{m}[t]}$ ${\textstyle a_{m,k}=e^{-j(m-1)\omega _{k}}}$ ${\displaystyle \omega _{k}}$ ${\textstyle k}$ ${\displaystyle \omega _{k}}$ ${\textstyle y_{m}[t]}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle a_{m,k}}$ ${\textstyle a_{m}(\omega _{k})}$

Сопоставляя веса как и выходные сигналы в экземпляре как , где . Далее, когда весовые векторы помещаются в матрицу Вандермонда , а входные сигналы в экземпляре в вектор , мы можем записать С несколькими измерениями в экземплярах и обозначениями , и , уравнение модели становится ${\textstyle a_{m}(\omega _{k})}$ ${\displaystyle \mathbf {a} (\omega _{k})=[\,1\,\ e^{-j\omega _{k}}\,\ e^{-j2\omega _{k}}\,\ ...\,\ e^{-j(M-1)\omega _{k}}\,]^{\top }}$ ${\textstyle M}$ ${\textstyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {y} [t]=[\,y_{1}[t]\,\ y_{2}[t]\,\ ...\,\ y_{M}[t]\,]^{\top }}$ $${\displaystyle \mathbf {y} [t]=\sum _{k=1}^{K}\mathbf {a} (\omega _{k})x_{k}[t]+\mathbf {n} [t],}$$ ${\displaystyle \mathbf {n} [t]=[\,n_{1}[t]\,\ n_{2}[t]\,\ ...\,\ n_{M}[t]\,]^{\top }}$ ${\displaystyle \mathbf {a} (\omega _{1}),\ \mathbf {a} (\omega _{2}),\ ...,\ \mathbf {a} (\omega _{K})}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =[\,\mathbf {a} (\omega _{1})\,\ \mathbf {a} (\omega _{2})\,\ ...\,\ \mathbf {a} (\omega _{K})\,]}$ ${\displaystyle K}$ ${\textstyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {x} [t]=[\,x_{1}[t]\,\ ...\,\ x_{k}[t]\,]^{\top }}$ $${\displaystyle \mathbf {y} [t]=\mathbf {A} \,\mathbf {x} [t]+\mathbf {n} [t].}$$ ${\textstyle t=1,2,\dots ,T}$ ${\textstyle \mathbf {Y} =[\,\mathbf {y} [1]\,\ \mathbf {y} [2]\,\ \dots \,\ \mathbf {y} [T]\,]}$ ${\textstyle \mathbf {X} =[\,\mathbf {x} [1]\,\ \mathbf {x} [2]\,\ \dots \,\ \mathbf {x} [T]\,]}$ ${\textstyle \mathbf {N} =[\,\mathbf {n} [1]\,\ \mathbf {n} [2]\,\ \dots \,\ \mathbf {n} [T]\,]}$ $${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {A} \mathbf {X} +\mathbf {N} .}$$

Разделение на виртуальные подмассивы

Максимальное перекрытие двух подмассивов ( N обозначает количество датчиков в массиве, m — количество датчиков в каждом подмассиве, а и — матрицы выбора) ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$

Вектор веса имеет свойство, что смежные элементы связаны. Для всего вектора уравнение вводит две матрицы выбора и : и . Здесь — единичная матрица размера , а — вектор нуля. ${\textstyle \mathbf {a} (\omega _{k})}$ $${\displaystyle [\mathbf {a} (\omega _{k})]_{m+1}=e^{-j\omega _{k}}[\mathbf {a} (\omega _{k})]_{m}}$$ ${\displaystyle \mathbf {a} (\omega _{k})}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}=[\mathbf {I} _{M-1}\quad \mathbf {0} ]}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}=[\mathbf {0} \quad \mathbf {I} _{M-1}]}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{M-1}}$ ${\textstyle (M-1)}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Векторы содержат все элементы, кроме последнего [первого]. Таким образом, и Вышеуказанное соотношение является первым основным наблюдением, необходимым для ESPRIT. Второе основное наблюдение касается подпространства сигнала, которое может быть вычислено из выходных сигналов. ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}\mathbf {a} (\omega _{k})}$ ${\displaystyle [\mathbf {J} _{2}\mathbf {a} (\omega _{k})]}$ ${\displaystyle \mathbf {a} (\omega _{k})}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}\mathbf {a} (\omega _{k})=e^{-j\omega _{k}}\mathbf {J} _{1}\mathbf {a} (\omega _{k})}$ $${\displaystyle \mathbf {J} _{2}\mathbf {A} =\mathbf {J} _{1}\mathbf {A} \mathbf {H} ,\quad {\text{where}}\quad {\mathbf {H} }:={\begin{bmatrix}e^{-j\omega _{1}}&\\&e^{-j\omega _{2}}\\&&\ddots \\&&&e^{-j\omega _{K}}\end{bmatrix}}.}$$

Подпространство сигнала

Сингулярное разложение (SVD) задается как , где и являются унитарными матрицами и представляет собой диагональную матрицу размера , которая содержит сингулярные значения от наибольшего (сверху слева) в порядке убывания. Оператор обозначает комплексно-сопряженное транспонирование (эрмитово транспонирование). ${\textstyle \mathbf {Y} }$ $${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {V} ^{\dagger }}$$ ${\textstyle \mathbf {U} \in \mathbb {C} ^{M\times M}}$ ${\textstyle \mathbf {V} \in \mathbb {C} ^{T\times T}}$ ${\textstyle \mathbf {\Sigma } }$ ${\textstyle M\times T}$ ${\textstyle \dagger }$

Предположим, что . Обратите внимание, что у нас есть входные сигналы. Если бы не было шума, были бы только ненулевые сингулярные значения. Мы предполагаем, что наибольшие сингулярные значения возникают из этих входных сигналов, а другие сингулярные значения, как предполагается, возникают из шума. Матрицы в SVD из можно разбить на подматрицы, где некоторые подматрицы соответствуют подпространству сигнала, а некоторые соответствуют подпространству шума. где и содержат первые столбцы и , соответственно, а — диагональная матрица, содержащая наибольшие сингулярные значения. ${\textstyle T\geq M}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle \mathbf {Y} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} ={\begin{bmatrix}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }&\mathbf {U} _{\mathrm {N} }\end{bmatrix}},&&\mathbf {\Sigma } ={\begin{bmatrix}\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }&\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {N} }&\mathbf {0} \end{bmatrix}},&&\mathbf {V} ={\begin{bmatrix}\mathbf {V} _{\mathrm {S} }&\mathbf {V} _{\mathrm {N} }&\mathbf {V} _{\mathrm {0} }\end{bmatrix}}\end{aligned}},}$$ ${\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }\in \mathbb {C} ^{M\times K}}$ ${\textstyle \mathbf {V} _{\mathrm {S} }\in \mathbb {C} ^{N\times K}}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle \mathbf {U} }$ ${\textstyle \mathbf {V} }$ ${\textstyle \mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }\in \mathbb {C} ^{K\times K}}$ ${\textstyle K}$

Таким образом, SVD можно записать как, где , ⁣ , и представляют вклад входного сигнала в . Мы называем подпространство сигнала. В отличие от этого, , , и представляют вклад шума в . $${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {U} _{\mathrm {S} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }\mathbf {V} _{\mathrm {S} }^{\dagger }+\mathbf {U} _{\mathrm {N} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {N} }\mathbf {V} _{\mathrm {N} }^{\dagger },}$$ ${\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }}$ ${\textstyle \mathbf {V} _{\mathrm {S} }}$ ${\textstyle \mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }}$ ${\textstyle x_{k}[t]}$ ${\textstyle \mathbf {Y} }$ ${\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }}$ ${\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {N} }}$ ${\textstyle \mathbf {V} _{\mathrm {N} }}$ ${\textstyle \mathbf {\Sigma } _{\mathrm {N} }}$ ${\textstyle n_{m}[t]}$ ${\textstyle \mathbf {Y} }$

Следовательно, из системной модели можно записать и . Также из первой можно записать где . В дальнейшем важно только то, что существует такая обратимая матрица , а ее фактическое содержание не будет иметь значения. ${\textstyle \mathbf {A} \mathbf {X} =\mathbf {U} _{\mathrm {S} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }\mathbf {V} _{\mathrm {S} }^{\dagger }}$ ${\textstyle \mathbf {N} =\mathbf {U} _{\mathrm {N} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {N} }\mathbf {V} _{\mathrm {N} }^{\dagger }}$ $${\displaystyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }=\mathbf {A} \mathbf {F} ,}$$ ${\displaystyle {\mathbf {F} }=\mathbf {X} \mathbf {V} _{\mathrm {S} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }^{-1}}$ ${\textstyle \mathbf {F} }$

Примечание: Подпространство сигнала также может быть извлечено из спектрального разложения матрицы автокорреляции измерений, которая оценивается как $${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {YY} }={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}\mathbf {y} [t]\mathbf {y} [t]^{\dagger }={\frac {1}{T}}\mathbf {Y} \mathbf {Y} ^{\dagger }={\frac {1}{T}}\mathbf {U} {\mathbf {\Sigma } \mathbf {\Sigma } ^{\dagger }}\mathbf {U} ^{\dagger }={\frac {1}{T}}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }^{2}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }^{\dagger }+{\frac {1}{T}}\mathbf {U} _{\mathrm {N} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {N} }^{2}\mathbf {U} _{\mathrm {N} }^{\dagger }.}$$

Оценка радиальных частот

До сих пор мы установили два выражения: и . Теперь, где и обозначают усеченные подпространства сигнала, и Приведенное выше уравнение имеет форму разложения собственных значений , а фазы собственных значений в диагональной матрице используются для оценки радиальных частот. ${\textstyle \mathbf {J} _{2}\mathbf {A} =\mathbf {J} _{1}\mathbf {A} \mathbf {H} }$ ${\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }=\mathbf {A} \mathbf {F} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} _{2}\mathbf {A} =\mathbf {J} _{1}\mathbf {A} \mathbf {H} \implies \mathbf {J} _{2}(\mathbf {U} _{\mathrm {S} }\mathbf {F} ^{-1})=\mathbf {J} _{1}(\mathbf {U} _{\mathrm {S} }\mathbf {F} ^{-1})\mathbf {H} \implies \mathbf {S} _{2}=\mathbf {S} _{1}\mathbf {P} ,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {S} _{1}=\mathbf {J} _{1}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }}$ ${\displaystyle \mathbf {S} _{2}=\mathbf {J} _{2}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }}$ $${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {H} \mathbf {F} .}$$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$

Таким образом, решив для в соотношении , мы найдем собственные значения , где , а радиальные частоты оцениваются как фазы (аргумент) собственных значений. ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {S} _{2}=\mathbf {S} _{1}\mathbf {P} }$ ${\textstyle \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \ldots ,\ \lambda _{K}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \lambda _{k}=\alpha _{k}\mathrm {e} ^{j\omega _{k}}}$ ${\displaystyle \omega _{1},\ \omega _{2},\ \ldots ,\ \omega _{K}}$

Замечание: В общем случае необратимо. Можно использовать оценку наименьших квадратов . Альтернативой может быть общая оценка наименьших квадратов . ${\displaystyle \mathbf {S} _{1}}$ ${\displaystyle {\mathbf {P} }=(\mathbf {S} _{1}^{\dagger }{\mathbf {S} _{1}})^{-1}\mathbf {S} _{1}^{\dagger }{\mathbf {S} _{2}}}$

Краткое описание алгоритма

Вход: Измерения , количество входных сигналов (оцените, если еще не известно). ${\textstyle \mathbf {Y} :=[\,\mathbf {y} [1]\,\ \mathbf {y} [2]\,\ \dots \,\ \mathbf {y} [T]\,]}$ ${\textstyle K}$

1. Вычислите разложение по сингулярным значениям (SVD) и извлеките подпространство сигнала в качестве первых столбцов . ${\textstyle \mathbf {Y} =\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {V} ^{\dagger }}$ ${\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }\in \mathbb {C} ^{M\times K}}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle \mathbf {U} }$
2. Вычислить и , где и . ${\textstyle \mathbf {S} _{1}=\mathbf {J} _{1}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }}$ ${\textstyle \mathbf {S} _{2}=\mathbf {J} _{2}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}=[\mathbf {I} _{M-1}\quad \mathbf {0} ]}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}=[\mathbf {0} \quad \mathbf {I} _{M-1}]}$
3. Решите относительно ( см. замечание выше). ${\textstyle \mathbf {P} }$ ${\textstyle \mathbf {S} _{2}=\mathbf {S} _{1}\mathbf {P} }$
4. Вычислите собственные значения . ${\textstyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{K}}$ ${\textstyle \mathbf {P} }$
5. Фазы собственных значений дают радиальные частоты , т.е. . ${\textstyle \lambda _{k}=\alpha _{k}\mathrm {e} ^{j\omega _{k}}}$ ${\textstyle \omega _{k}}$ ${\textstyle \omega _{k}=\arg \lambda _{k}}$

Примечания

Выбор матриц отбора

В выводе выше были использованы матрицы выбора и . Однако любые подходящие матрицы и могут быть использованы, пока сохраняется инвариантность вращения , т.е. , или некоторое ее обобщение (см. ниже); соответственно, матрицы и могут содержать любые строки . ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}=[\mathbf {I} _{M-1}\quad \mathbf {0} ]}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}=[\mathbf {0} \quad \mathbf {I} _{M-1}]}$ ${\textstyle \mathbf {J} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$ ${\textstyle (}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}\mathbf {a} (\omega _{k})=e^{-j\omega _{k}}\mathbf {J} _{1}\mathbf {a} (\omega _{k})}$ ${\textstyle )}$ ${\textstyle \mathbf {J} _{1}\mathbf {A} }$ ${\textstyle \mathbf {J} _{2}\mathbf {A} }$ ${\textstyle \mathbf {A} }$

Обобщенная вращательная инвариантность

Вращательная инвариантность, используемая при выводе, может быть обобщена. До сих пор матрица определялась как диагональная матрица, которая хранит искомые комплексные экспоненты на своей главной диагонали. Однако может также иметь некоторую другую структуру. ^[3] Например, это может быть верхняя треугольная матрица. В этом случае представляет собой триангуляцию . ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\textstyle \mathbf {P} =\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {H} \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$

Смотрите также

• Классификация множественных сигналов
• Обобщенный метод пучка функций
• Независимый компонентный анализ

Ссылки

1. Paulraj, A.; Roy, R.; Kailath, T. (1985), «Оценка параметров сигнала с помощью методов вращательной инвариантности — Esprit», Девятнадцатая Асиломарская конференция по схемам, системам и компьютерам , стр. 83–89, doi :10.1109/ACSSC.1985.671426, ISBN 978-0-8186-0729-5, S2CID  2293566
2. Владимир Василишин. Оценка направления прибытия с использованием ESPRIT с разреженными массивами.// Труды Европейской радиолокационной конференции 2009 г. (EuRAD). – 30 сент.-2 окт. 2009 г. - С. 246 - 249. - [1]
3. Ху, Аньчжун; Лв, Тецзюнь; Гао, Хуэй; Чжан, Чжан; Ян, Шаоши (2014). «Подход на основе ESPRIT для двумерной локализации некогерентно распределенных источников в системах Massive MIMO». Журнал IEEE Selected Topics in Signal Processing . 8 (5): 996–1011. arXiv : 1403.5352 . Bibcode : 2014ISTSP...8..996H. doi : 10.1109/JSTSP.2014.2313409. ISSN  1932-4553. S2CID  11664051.

Дальнейшее чтение

• Paulraj, A.; Roy, R.; Kailath, T. (1985), «Оценка параметров сигнала с помощью методов вращательной инвариантности — Esprit», Девятнадцатая Асиломарская конференция по схемам, системам и компьютерам , стр. 83–89, doi :10.1109/ACSSC.1985.671426, ISBN 978-0-8186-0729-5, S2CID  2293566.
• Roy, R.; Kailath, T. (1989). "Esprit - Estimation Of Signal Parameters Via Rotational Invariance Techniques" (PDF) . IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing . 37 (7): 984–995. doi :10.1109/29.32276. S2CID  14254482. Архивировано из оригинала (PDF) 2020-09-26 . Получено 2011-07-25 ..
• Ибрагим, AM; Марей, MI; Мехамер, SF; Мансур, MM (2011). «Подход к защите на основе искусственной нейронной сети с использованием оценки параметров сигнала методом наименьших квадратов с помощью метода вращательной инвариантности для гибких систем передачи переменного тока с компенсацией линий электропередачи». Электроэнергетические компоненты и системы . 39 (1): 64–79. doi :10.1080/15325008.2010.513363. S2CID  109581436.
• Haardt, M., Zoltowski, MD, Mathews, CP, & Nossek, J. (1995, май). 2D-унитарный ESPRIT для эффективной 2D-оценки параметров. В icassp (стр. 2096-2099). IEEE.