Уравнения падающего тела

Математическое описание тела в свободном падении.

Набор уравнений , описывающих траектории объектов, находящихся под действием постоянной гравитационной силы в нормальных условиях на Земле . Предполагая постоянное ускорение g, обусловленное гравитацией Земли, закон всемирного тяготения Ньютона упрощается до F = mg , где F — сила, действующая на массу m гравитационным полем Земли с силой g . Предположение о постоянном g разумно для объектов, падающих на Землю на относительно коротких вертикальных расстояниях в нашей повседневной жизни, но неприменимо для больших расстояний, связанных с расчетом более удаленных эффектов, таких как траектории космических кораблей.

История

Галилей был первым, кто продемонстрировал, а затем сформулировал эти уравнения. Он использовал рампу для изучения катящихся мячей, причем рампа замедляла ускорение настолько, чтобы измерить время, необходимое мячу, чтобы перекатиться на известное расстояние. ^{[1] [2]} Он измерял прошедшее время с помощью водяных часов , используя «чрезвычайно точные весы» для измерения количества воды. ^{[примечание 1]}

Уравнения игнорируют сопротивление воздуха, которое оказывает сильное влияние на объекты, падающие в воздухе на значительное расстояние, заставляя их быстро приближаться к конечной скорости . Эффект сопротивления воздуха сильно варьируется в зависимости от размера и геометрии падающего объекта — например, уравнения безнадежно неверны для пера, которое имеет небольшую массу, но оказывает большое сопротивление воздуху. (В отсутствие атмосферы все объекты падают с одинаковой скоростью, что продемонстрировал астронавт Дэвид Скотт , уронив молоток и перо на поверхность Луны . )

Уравнения также игнорируют вращение Земли и не могут описать, например, эффект Кориолиса . Тем не менее, они обычно достаточно точны для обнаружения плотных и компактных объектов, падающих на высоту, не превышающую самых высоких искусственных сооружений.

Обзор

Первоначально неподвижный объект, которому разрешено свободно падать под действием силы тяжести, падает на расстояние, пропорциональное квадрату прошедшего времени. Это изображение длительностью полсекунды было снято с помощью стробоскопической вспышки с частотой 20 вспышек в секунду. За первые 0,05 с шарик падает на одну единицу расстояния (около 12 мм), за 0,10 с он упал всего на 4 единицы, за 0,15 с — на 9 единиц и так далее.

Вблизи поверхности Земли ускорение силы тяжести g  = 9,807 м/с ² ( метры в секунду в квадрате , что можно рассматривать как «метры в секунду в секунду»; или 32,18 фута/с ² как «футы в секунду»). секунда в секунду») примерно. Необходим согласованный набор единиц измерения g , d , t и v . Если принять единицы измерения СИ , то g измеряется в метрах в секунду в квадрате, поэтому d должно измеряться в метрах, t в секундах и v в метрах в секунду.

Во всех случаях предполагается, что тело трогается с места, сопротивлением воздуха пренебрегают. Как правило, в атмосфере Земли все приведенные ниже результаты будут весьма неточными всего лишь через 5 секунд падения (в это время скорость объекта будет немного меньше, чем значение в вакууме 49 м/с (9,8 м/с ²  × 5 с). ) из-за сопротивления воздуха). Сопротивление воздуха вызывает силу сопротивления любого тела, которое попадает в любую атмосферу, кроме идеального вакуума, и эта сила сопротивления увеличивается с увеличением скорости, пока не сравняется с силой гравитации, в результате чего объект падает с постоянной конечной скоростью .

Конечная скорость зависит от сопротивления атмосферы, коэффициента сопротивления объекта, (мгновенной) скорости объекта и площади, подвергаемой воздушному потоку.

Помимо последней формулы, эти формулы также предполагают, что g незначительно меняется с высотой при падении (т. е. они предполагают постоянное ускорение). Последнее уравнение более точное, когда значительные изменения относительного расстояния от центра планеты во время падения вызывают значительные изменения g . Это уравнение встречается во многих приложениях базовой физики.

Следующие уравнения исходят из общих уравнений линейного движения:

${\displaystyle d(t)=d_{0}+v_{0}t+{1 \over 2}at^{2}}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}+at}$

и уравнение всемирного тяготения (r+d= расстояние объекта над землей от центра масс планеты):

${\displaystyle F=G{{mM} \over {(r+d)^{2}}}=mg}$

Уравнения

Измерено время падения небольшой стальной сферы, падающей с разной высоты. Данные хорошо согласуются с предсказанным временем падения , где h — высота, а g — ускорение свободного падения. ${\displaystyle {\sqrt {2h/g}}}$

Пример

Первое уравнение показывает, что за одну секунду объект упадет на расстояние 1/2 × 9,8 × 1 ² = 4,9 м. Через две секунды он упадет на 1/2 × 9,8 × 2 ² = 19,6 м; и так далее. Предпоследнее уравнение становится крайне неточным на больших расстояниях. Если объект упал  на Землю с высоты 10 000 м, то результаты обоих уравнений различаются всего на 0,08  %; однако если он упал с геостационарной орбиты , составляющей 42  164 км, то разница изменится почти на 64  %.

Например, исходя из сопротивления ветра, конечная скорость парашютиста в положении свободного падения животом к земле (т. е. лицом вниз) составляет около 195 км/ч (122 мили в час или 54 м/с). Эта скорость является асимптотическим предельным значением процесса ускорения, поскольку действующие силы, действующие на тело, все теснее уравновешивают друг друга по мере приближения к конечной скорости. В этом примере скорость в 50  % от конечной скорости достигается всего примерно за 3 секунды, тогда как для достижения 90  % требуется 8 секунд, для достижения 99  % — 15 секунд и так далее.

Более высоких скоростей можно достичь, если парашютист подтянет конечности (см. также «фриполет» ). В этом случае конечная скорость увеличивается примерно до 320 км/ч (200 миль в час или 90 м/с), что почти соответствует конечной скорости сапсана, пикирующего на свою добычу. Согласно исследованию артиллерийского вооружения армии США, такая же конечная скорость достигается для типичной пули .30-06, падающей вниз - когда она возвращается на землю после выстрела вверх или сбрасывается с башни.

Для астрономических тел, отличных от Земли , и для коротких расстояний падения не на уровне «земли», g в приведенных выше уравнениях можно заменить на где G — гравитационная постоянная , M — масса астрономического тела, m — масса падающего тела, а r — радиус от падающего объекта до центра астрономического тела. ${\displaystyle {\frac {G(M+m)}{r^{2}}}}$

Отказ от упрощающего предположения о равномерном гравитационном ускорении дает более точные результаты. Из формулы для радиальных эллиптических траекторий находим :

Время t , необходимое объекту для падения с высоты r до высоты x , измеренное от центров двух тел, определяется выражением:

${\displaystyle t={\frac {{\frac {\pi }{2}}-\arcsin {\Big (}{\sqrt {\frac {x}{r}}}{\Big )}+{\sqrt {{\frac {x}{r}}\ (1-{\frac {x}{r}})}}}{\sqrt {2\mu }}}\,r^{3/2}}$

где – сумма стандартных гравитационных параметров двух тел. Это уравнение следует использовать всякий раз, когда существует значительная разница в ускорении свободного падения во время падения. Обратите внимание, что когда это уравнение дает , как и ожидалось; и когда он дает , это время столкновения. ${\displaystyle \mu =G(M+m)}$ ${\displaystyle x=r}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle t={\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\frac {r^{3}}{2\mu }}}}$

Ускорение относительно вращающейся Земли

Центростремительная сила приводит к тому, что ускорение, измеренное на вращающейся поверхности Земли, отличается от ускорения, измеренного для свободно падающего тела: кажущееся ускорение во вращающейся системе отсчета представляет собой полный вектор силы тяжести минус небольшой вектор в направлении на север. южной оси Земли, что соответствует пребыванию в неподвижном состоянии в этой системе отсчета.

Смотрите также

• De motu antiquiora и Две новые науки (самые ранние современные исследования движения падающих тел)
• Уравнения движения
• Свободное падение
• Сила тяжести
• Теорема о средней скорости , основа закона падения тел.
• Радиальная траектория

Примечания

1. См. работы Стиллмана Дрейка , где представлено всестороннее исследование Галилея и его времени, Научной революции .

Рекомендации

1. Джесперсен, Джеймс; Фитц-Рэндольф, Джейн. От солнечных часов к часам: понимание времени и частоты (PDF) . Монография 155 Национального института стандартов и технологий (Отчет) (изд. 1999 г.). Управление технологий Министерства торговли США и Национальный институт стандартов и технологий. стр. 188–190.
2. Макдугал, DW (2012). «Глава 2 - Великое открытие Галилея: как обстоят дела». Гравитация Ньютона: Вводное руководство по механике Вселенной, конспекты лекций по физике для студентов (PDF) . Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. дои : 10.1007/978-1-4614-5444-1_2.

Внешние ссылки

• Калькулятор уравнений падающего тела