Покрытие пространства

Тип непрерывного отображения в топологии

Интуитивно понятно, что покрытие локально проецирует «стопку блинов» над открытым районом на ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

В топологии покрытие или проекция покрытия — это отображение между топологическими пространствами , которое интуитивно локально действует как проекция нескольких копий пространства на себя. В частности, покрытия — это специальные типы локальных гомеоморфизмов . Если является покрытием, то говорят, что это покрывающее пространство или покрытие , и говорят, что это база покрытия или просто база . Злоупотребляя терминологией , и иногда могут также называться покрывающими пространствами . Поскольку покрытия являются локальными гомеоморфизмами, покрывающее пространство — это специальный вид этального пространства . ${\displaystyle p:{\tilde {X}}\to X}$ ${\displaystyle ({\tilde {X}},p)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle p}$

Покрывающие пространства впервые возникли в контексте комплексного анализа (в частности, техники аналитического продолжения ), где они были введены Риманом как области, на которых естественно многозначные комплексные функции становятся однозначными. Эти пространства теперь называются римановыми поверхностями . ^{[1] : 10}

Покрывающие пространства являются важным инструментом в нескольких областях математики. В современной геометрии покрывающие пространства (или разветвленные покрытия , которые имеют немного более слабые условия) используются при построении многообразий , орбифолдов и морфизмов между ними. В алгебраической топологии покрывающие пространства тесно связаны с фундаментальной группой : с одной стороны, поскольку все покрытия обладают свойством гомотопического подъема , покрывающие пространства являются важным инструментом в вычислении гомотопических групп . Стандартным примером в этом ключе является вычисление фундаментальной группы окружности с помощью покрытия с помощью (см. ниже). ^{[2] : 29} При определенных условиях покрывающие пространства также демонстрируют соответствие Галуа с подгруппами фундаментальной группы. ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Определение

Пусть — топологическое пространство. Покрытие — это непрерывное отображение ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$

такой, что для каждого существует открытая окрестность и дискретное пространство такое, что и является гомеоморфизмом для каждого . Открытые множества называются листами , которые однозначно определяются с точностью до гомеоморфизма, если связно . ^{[2] : 56} Для каждого дискретное множество называется слоем . Если связно (и непусто), можно показать, что является сюръективным , а мощность одинакова для всех ; это значение называется степенью покрытия. Если линейно связно , то покрытие называется линейно связным покрытием . Это определение эквивалентно утверждению, что является локально тривиальным расслоением волокон . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D_{x}}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{x})=\displaystyle \bigsqcup _{d\in D_{x}}V_{d}}$ ${\displaystyle \pi |_{V_{d}}:V_{d}\rightarrow U_{x}}$ ${\displaystyle d\in D_{x}}$ ${\displaystyle V_{d}}$ ${\displaystyle U_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle D_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle \pi }$

Некоторые авторы также требуют, чтобы сюръективность была в случае, когда она не связана. ^[3] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle X}$

Примеры

• Для каждого топологического пространства тождественное отображение является покрытием. Аналогично для любого дискретного пространства проекционное взятие является покрытием. Покрытия этого типа называются тривиальными покрытиями ; если имеет конечное число (скажем ) элементов, покрытие называется тривиальным -листным покрытием . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {id} :X\rightarrow X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \pi :X\times D\rightarrow X}$ ${\displaystyle (x,i)\mapsto x}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$

Пространство является покрывающим пространством . Непересекающиеся открытые множества гомеоморфно отображаются на . Слой состоит из точек . ${\displaystyle Y=[0,1]\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X=[0,1]\times S^{1}}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y_{i}}$

• Карта с является покрытием единичной окружности . База покрытия есть , а покрывающее пространство есть . Для любой точки такой, что , множество является открытой окрестностью . Прообраз под есть ${\displaystyle r:\mathbb {R} \to S^{1}}$ ${\displaystyle r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2})\in S^{1}}$ ${\displaystyle x_{1}>0}$ ${\displaystyle U:=\{(x_{1},x_{2})\in S^{1}\mid x_{1}>0\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle r}$

  ${\displaystyle r^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{n\in \mathbb {Z} }\left(n-{\frac {1}{4}},n+{\frac {1}{4}}\right)}$

и листы покрытия предназначены для Волокно является ${\displaystyle V_{n}=(n-1/4,n+1/4)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle r^{-1}(x)=\{t\in \mathbb {R} \mid (\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))=x\}.}$

• Другим покрытием единичной окружности является отображение с для некоторого Для открытой окрестности точки имеем: ${\displaystyle q:S^{1}\to S^{1}}$ ${\displaystyle q(z)=z^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in S^{1}}$

${\displaystyle q^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{i=1}^{n}U}$.

• Отображение, которое является локальным гомеоморфизмом , но не накрывает единичную окружность, имеет вид с . Существует лист открытой окрестности , который не отображается гомеоморфно на . ${\displaystyle p:\mathbb {R_{+}} \to S^{1}}$ ${\displaystyle p(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle U}$

Характеристики

Локальный гомеоморфизм

Так как покрытие отображает каждое из непересекающихся открытых множеств гомеоморфно на себя , то оно является локальным гомеоморфизмом, т.е. является непрерывным отображением и для каждого существует открытая окрестность , такая, что является гомеоморфизмом. ${\displaystyle \pi :E\rightarrow X}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle V\subset E}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \pi |_{V}:V\rightarrow \pi (V)}$

Отсюда следует, что покрывающее пространство и базовое пространство локально обладают одинаковыми свойствами. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

• Если — связное и неориентируемое многообразие , то существует покрытие степени , при котором — связное и ориентируемое многообразие. ^{[2] : 234} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$
• Если — связная группа Ли , то существует покрытие , которое также является гомоморфизмом групп Ли и является группой Ли. ^{[4] : 174} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}:=\{\gamma :\gamma {\text{ is a path in X with }}\gamma (0)={\boldsymbol {1_{X}}}{\text{ modulo homotopy with fixed ends}}\}}$
• Если является графом , то это следует для покрытия , которое также является графом. ^{[2] : 85} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :E\rightarrow X}$ ${\displaystyle E}$
• Если — связное многообразие , то существует покрытие , при котором — связное и односвязное многообразие. ^{[5] : 32} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$
• Если — связная риманова поверхность , то существует покрытие , которое также является голоморфным отображением ^{[5] : 22} и является связной и односвязной римановой поверхностью. ^{[5] : 32} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$

Факторизация

Пусть и будут линейно связными, локально линейно связными пространствами, а и будут непрерывными отображениями, такими, что диаграмма ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle r}$

ездит на работу.

• Если и являются покрытиями, то также является . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$
• Если и являются покрытиями, то также является . ^{[6] : 485} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle q}$

Продукт покрытий

Пусть и — топологические пространства, а и — покрытия, тогда есть покрытие. ^{[6] : 339} Однако, в общем случае, не все покрытия имеют этот вид. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle p':E'\rightarrow X'}$ ${\displaystyle p\times p':E\times E'\rightarrow X\times X'}$ ${\displaystyle (p\times p')(e,e')=(p(e),p'(e'))}$ ${\displaystyle X\times X'}$

Эквивалентность покрытий

Пусть — топологическое пространство, а — покрытия. Оба покрытия называются эквивалентными , если существует гомеоморфизм , такой, что диаграмма ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle p':E'\rightarrow X}$ ${\displaystyle h:E\rightarrow E'}$

коммутирует. Если такой гомеоморфизм существует, то называют покрывающие пространства и изоморфными . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E'}$

Подъемное свойство

Все покрытия удовлетворяют требованиям по подъемной силе , а именно:

Пусть будет единичным интервалом и будет покрытием. Пусть будет непрерывным отображением и будет подъемом , т.е. непрерывным отображением таким, что . Тогда существует однозначно определенное непрерывное отображение , для которого и которое является подъемом , т.е. . ^{[2] : 60} ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle F:Y\times I\rightarrow X}$ ${\displaystyle {\tilde {F}}_{0}:Y\times \{0\}\rightarrow E}$ ${\displaystyle F|_{Y\times \{0\}}}$ ${\displaystyle p\circ {\tilde {F}}_{0}=F|_{Y\times \{0\}}}$ ${\displaystyle {\tilde {F}}:Y\times I\rightarrow E}$ ${\displaystyle {\tilde {F}}(y,0)={\tilde {F}}_{0}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p\circ {\tilde {F}}=F}$

Если — линейно связное пространство, то для следует, что отображение является поднятием пути в , а для — поднятием гомотопии путей в . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y=\{0\}}$ ${\displaystyle {\tilde {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y=I}$ ${\displaystyle X}$

Как следствие, можно показать, что фундаментальная группа единичной окружности является бесконечной циклической группой , которая порождается гомотопическими классами петли с . ^{[2] : 29} ${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})}$ ${\displaystyle \gamma :I\rightarrow S^{1}}$ ${\displaystyle \gamma (t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$

Пусть будет путе-связным пространством и будет связным покрытием. Пусть будут любые две точки, которые соединены путем , то есть и . Пусть будет единственным подъемом , тогда отображение ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ ${\displaystyle \gamma (1)=y}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle L_{\gamma }:p^{-1}(x)\rightarrow p^{-1}(y)}$с ${\displaystyle L_{\gamma }({\tilde {\gamma }}(0))={\tilde {\gamma }}(1)}$

является биективным . ^{[2] : 69}

Если — линейно связное пространство и связное покрытие, то индуцированный групповой гомоморфизм ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$

${\displaystyle p_{\#}:\pi _{1}(E)\rightarrow \pi _{1}(X)}$с , ${\displaystyle p_{\#}([\gamma ])=[p\circ \gamma ]}$

инъективна , а подгруппа состоит из гомотопических классов петель в , чьи подъемы являются петлями в . ^{[2] : 61} ${\displaystyle p_{\#}(\pi _{1}(E))}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$

Разветвленное покрытие

Определения

Голоморфные отображения между римановыми поверхностями

Пусть и — римановы поверхности , т.е. одномерные комплексные многообразия , и пусть — непрерывное отображение. называется голоморфным в точке , если для любых карт из и из , при этом отображение является голоморфным . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \phi _{x}:U_{1}\rightarrow V_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi _{f(x)}:U_{2}\rightarrow V_{2}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \phi _{x}(U_{1})\subset U_{2}}$ ${\displaystyle \phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$

Если он голоморфен , мы говорим, что он голоморфен. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f}$

Карта называется локальным выражением в . ${\displaystyle F=\phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$

Если — непостоянное голоморфное отображение между компактными римановыми поверхностями , то — сюръективное и открытое отображение , ^{[5] : 11} т.е. для каждого открытого множества образ также открыт. ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle f(U)\subset Y}$

Точка разветвления и точка ветвления

Пусть будет непостоянным голоморфным отображением между компактными римановыми поверхностями. Для каждого существуют карты для и и существует однозначно определенный , такой что локальное выражение в имеет вид . ^{[5] : 10} Число называется индексом ветвления в , а точка называется точкой ветвления, если . Если для , то является неразветвленным . Точка изображения точки ветвления называется точкой ветвления. ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle k_{x}\in \mathbb {N_{>0}} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z\mapsto z^{k_{x}}}$ ${\displaystyle k_{x}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle k_{x}\geq 2}$ ${\displaystyle k_{x}=1}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=f(x)\in Y}$

Степень голоморфного отображения

Пусть — непостоянное голоморфное отображение между компактными римановыми поверхностями. Степень — это мощность слоя неразветвленной точки , т.е. . ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \operatorname {deg} (f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y=f(x)\in Y}$ ${\displaystyle \operatorname {deg} (f):=|f^{-1}(y)|}$

Это число хорошо определено, поскольку для каждого волокна оно дискретно ^{[5] : 20} , а для любых двух неразветвленных точек оно равно: ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle y_{1},y_{2}\in Y}$ ${\displaystyle |f^{-1}(y_{1})|=|f^{-1}(y_{2})|.}$

Его можно рассчитать следующим образом:

${\displaystyle \sum _{x\in f^{-1}(y)}k_{x}=\operatorname {deg} (f)}$ ^{[5] : 29}

Разветвленное покрытие

Определение

Непрерывное отображение называется разветвленным покрытием , если существует замкнутое множество с плотным дополнением , такое, что является покрытием. ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle E\subset Y}$ ${\displaystyle f_{|X\smallsetminus f^{-1}(E)}:X\smallsetminus f^{-1}(E)\rightarrow Y\smallsetminus E}$

Примеры

• Пусть и , тогда с — разветвленное покрытие степени , где с — точка ветвления. ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f(z)=z^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z=0}$
• Каждое непостоянное голоморфное отображение между компактными римановыми поверхностями степени является разветвленным накрытием степени . ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

Универсальное покрытие

Определение

Пусть — односвязное покрытие. Если — другое односвязное покрытие, то существует однозначно определенный гомеоморфизм , такой, что диаграмма ${\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle \beta :E\rightarrow X}$ ${\displaystyle \alpha :{\tilde {X}}\rightarrow E}$

ездит на работу. ^{[6] : 482}

Это означает, что с точностью до эквивалентности однозначно определено и в силу этого универсального свойства обозначается как универсальное покрытие пространства . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

Существование

Универсальное покрытие не всегда существует, но следующие свойства гарантируют его существование:

Пусть — связное, локально односвязное топологическое пространство; тогда существует универсальное покрытие . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X}$

${\displaystyle {\tilde {X}}}$определяется как и по . ^{[2] : 64} ${\displaystyle {\tilde {X}}:=\{\gamma :\gamma {\text{ is a path in }}X{\text{ with }}\gamma (0)=x_{0}\}/{\text{ homotopy with fixed ends}}}$ ${\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle p([\gamma ]):=\gamma (1)}$

Топология на строится следующим образом: Пусть будет путем с . Пусть будет односвязной окрестностью конечной точки , тогда для любого пути внутри от до определяются однозначно с точностью до гомотопии . Теперь рассмотрим , тогда с является биекцией и может быть снабжена финальной топологией . ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle \gamma :I\rightarrow X}$ ${\displaystyle \gamma (0)=x_{0}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x=\gamma (1)}$ ${\displaystyle y\in U}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\tilde {U}}:=\{\gamma .\sigma _{y}:y\in U\}/{\text{ homotopy with fixed ends}}}$ ${\displaystyle p_{|{\tilde {U}}}:{\tilde {U}}\rightarrow U}$ ${\displaystyle p([\gamma .\sigma _{y}])=\gamma .\sigma _{y}(1)=y}$ ${\displaystyle {\tilde {U}}}$ ${\displaystyle p_{|{\tilde {U}}}}$

Фундаментальная группа действует свободно через и с является гомеоморфизмом, т.е. . ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=\Gamma }$ ${\displaystyle ([\gamma ],[{\tilde {x}}])\mapsto [\gamma .{\tilde {x}}]}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle \psi :\Gamma \backslash {\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle \psi ([\Gamma {\tilde {x}}])={\tilde {x}}(1)}$ ${\displaystyle \Gamma \backslash {\tilde {X}}\cong X}$

Примеры

Гавайская серьга. Показаны только десять самых больших кругов.

• ${\displaystyle r:\mathbb {R} \to S^{1}}$причем — универсальное покрытие единичной окружности . ${\displaystyle r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$ ${\displaystyle S^{1}}$
• ${\displaystyle p:S^{n}\to \mathbb {R} P^{n}\cong \{+1,-1\}\backslash S^{n}}$причем является универсальным покрытием проективного пространства для . ${\displaystyle p(x)=[x]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ ${\displaystyle n>1}$
• ${\displaystyle q:\mathrm {SU} (n)\ltimes \mathbb {R} \to U(n)}$с — универсальное покрытие унитарной группы . ^{[7] : 5, Теорема 1} $${\displaystyle q(A,t)={\begin{bmatrix}\exp(2\pi it)&0\\0&I_{n-1}\end{bmatrix}}_{\vphantom {x}}A}$$ ${\displaystyle U(n)}$
• Так как , то фактор-отображение является универсальным покрытием . ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)\cong S^{3}}$ $${\displaystyle f:\mathrm {SU} (2)\rightarrow \mathrm {SU} (2)/\mathbb {Z_{2}} \cong \mathrm {SO} (3)}$$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$
• Топологическое пространство, не имеющее универсального покрытия, — это гавайская сережка : можно показать, что ни одна окрестность начала координат не является односвязной. ^{[6] : 487, Пример 1} $${\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:{\Bigl (}x_{1}-{\frac {1}{n}}{\Bigr )}^{2}+x_{2}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\right\}}$$ ${\displaystyle (0,0)}$

G-покрытия

Пусть G — дискретная группа, действующая на топологическом пространстве X. Это означает, что каждый элемент g из G связан с гомеоморфизмом H _g из X на себя таким образом, что H _{g h} всегда равно H _g ∘ H _h для любых двух элементов g и h из G. (Или, другими словами, групповое действие группы G на пространстве X — это просто групповой гомоморфизм группы G в группу Homeo( X ) самогомеоморфизмов X .) Естественно спросить, при каких условиях проекция из X на пространство орбит X / G является накрывающим отображением. Это не всегда верно, поскольку действие может иметь неподвижные точки. Примером этого является циклическая группа порядка 2, действующая на произведение X × X действием скручивания, где нетождественный элемент действует посредством ( x , y ) ↦ ( y , x ) . Таким образом, изучение связи между фундаментальными группами X и X / G не столь прямолинейно.

Однако группа G действует на фундаментальный группоид X , и поэтому исследование лучше всего проводить, рассматривая группы, действующие на группоидах, и соответствующие орбитные группоиды . Теория для этого изложена в главе 11 книги Топология и группоиды, упомянутой ниже. Главный результат состоит в том, что для разрывных действий группы G на хаусдорфовом пространстве X , допускающем универсальное покрытие, фундаментальный группоид пространства орбит X / G изоморфен орбитному группоиду фундаментального группоида X , т. е. фактору этого группоида по действию группы G. Это приводит к явным вычислениям, например, фундаментальной группы симметричного квадрата пространства.

Гладкие покрытия

Пусть E и M — гладкие многообразия с границей или без нее . Покрытие называется гладким, если оно является гладким отображением , а листы отображаются диффеоморфно на соответствующее открытое подмножество M. (Это контрастирует с определением покрытия, которое просто требует, чтобы листы отображались гомеоморфно на соответствующее открытое подмножество.) ${\displaystyle \pi :E\to M}$

Трансформация палубы

Определение

Пусть будет покрытием. Преобразование палубы — это гомеоморфизм , такой, что диаграмма непрерывных отображений ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle d:E\rightarrow E}$

коммутирует. Вместе с композицией карт набор преобразований колоды образует группу , которая совпадает с . ${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (p)}$

Теперь предположим, что есть накрывающее отображение и (и, следовательно, также ) связно и локально путево связно. Действие на каждом слое свободно . Если это действие транзитивно на некотором слое, то оно транзитивно на всех слоях, и мы называем покрытие регулярным (или нормальным или Галуа ). Каждое такое регулярное покрытие является главным -расслоением , где рассматривается как дискретная топологическая группа. ${\displaystyle p:C\to X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (p)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\operatorname {Aut} (p)}$

Каждое универсальное покрытие является регулярным, причем группа преобразований палубы изоморфна фундаментальной группе . ${\displaystyle p:D\to X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Примеры

• Пусть будет покрытием для некоторого , тогда карта для будет преобразованием колоды и . ${\displaystyle q:S^{1}\to S^{1}}$ ${\displaystyle q(z)=z^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle d_{k}:S^{1}\rightarrow S^{1}:z\mapsto z\,e^{2\pi ik/n}}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$
• Пусть будет покрытием , тогда отображение для является преобразованием колоды и . ${\displaystyle r:\mathbb {R} \to S^{1}}$ ${\displaystyle r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$ ${\displaystyle d_{k}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :t\mapsto t+k}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (r)\cong \mathbb {Z} }$
• В качестве другого важного примера рассмотрим комплексную плоскость и комплексную плоскость за вычетом начала координат. Тогда отображение с является регулярным покрытием. Преобразования палубы являются умножениями с корнями -й степени из единицы , и поэтому группа преобразований палубы изоморфна циклической группе . Аналогично отображение с является универсальным покрытием. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle p:\mathbb {C} ^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle p(z)=z^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \exp :\mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \exp(z)=e^{z}}$

Характеристики

Пусть будет путе-связным пространством и будет связным покрытием. Поскольку преобразование палубы является биективным , оно переставляет элементы волокна с и однозначно определяется тем, куда оно отправляет одну точку. В частности, только тождественное отображение фиксирует точку в волокне. ^{[2] : 70} Благодаря этому свойству каждое преобразование палубы определяет групповое действие на , т.е. пусть будет открытой окрестностью a и открытой окрестностью an , тогда является групповым действием . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle d:E\rightarrow E}$ ${\displaystyle p^{-1}(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\tilde {U}}\subset E}$ ${\displaystyle e\in p^{-1}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\times E\rightarrow E:(d,{\tilde {U}})\mapsto d({\tilde {U}})}$

Нормальные покрытия

Определение

Покрытие называется нормальным, если . Это означает, что для каждого и любых двух существует преобразование палубы , такое, что . ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\backslash E\cong X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle e_{0},e_{1}\in p^{-1}(x)}$ ${\displaystyle d:E\rightarrow E}$ ${\displaystyle d(e_{0})=e_{1}}$

Характеристики

Пусть — линейно связное пространство, а — связное покрытие. Пусть — подгруппа группы , тогда — нормальное покрытие тогда и только тогда, когда — нормальная подгруппа группы . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Если — нормальное покрытие и , то . ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\cong \pi _{1}(X)/H}$

Если — линейно-связное покрытие и , то , причем — нормализатор . [ ^{2] : 71} ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\cong N(H)/H}$ ${\displaystyle N(H)}$ ${\displaystyle H}$

Пусть будет топологическим пространством. Группа действует разрывно на , если каждое имеет открытую окрестность с , такую, что для каждого с имеет . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle V\subset E}$ ${\displaystyle V\neq \emptyset }$ ${\displaystyle d_{1},d_{2}\in \Gamma }$ ${\displaystyle d_{1}V\cap d_{2}V\neq \emptyset }$ ${\displaystyle d_{1}=d_{2}}$

Если группа действует разрывно на топологическом пространстве , то фактор-отображение с является нормальным накрытием. ^{[2] : 72} При этом — фактор-пространство , а — орбита действия группы. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle q:E\rightarrow \Gamma \backslash E}$ ${\displaystyle q(e)=\Gamma e}$ ${\displaystyle \Gamma \backslash E=\{\Gamma e:e\in E\}}$ ${\displaystyle \Gamma e=\{\gamma (e):\gamma \in \Gamma \}}$

Примеры

• Покрытие с является обычным покрытием для каждого . ${\displaystyle q:S^{1}\to S^{1}}$ ${\displaystyle q(z)=z^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
• Каждое односвязное покрытие является нормальным покрытием.

Расчет

Пусть — группа, действующая разрывно на топологическом пространстве , и пусть — нормальное накрытие. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle q:E\rightarrow \Gamma \backslash E}$

• Если линейно связно, то . ^{[2] : 72} ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \Gamma }$

• Если односвязно, то . ^{[2] : 71} ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \pi _{1}(\Gamma \backslash E)}$

Примеры

• Пусть . Антиподальное отображение с порождает вместе с композицией отображений группу и индуцирует групповое действие , которое действует разрывно на . Из этого следует, что фактор-отображение является нормальным накрытием и для универсального накрытия, следовательно, для . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle g:S^{n}\rightarrow S^{n}}$ ${\displaystyle g(x)=-x}$ ${\displaystyle D(g)\cong \mathbb {Z/2Z} }$ ${\displaystyle D(g)\times S^{n}\rightarrow S^{n},(g,x)\mapsto g(x)}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z_{2}} \backslash S^{n}\cong \mathbb {R} P^{n}}$ ${\displaystyle q:S^{n}\rightarrow \mathbb {Z_{2}} \backslash S^{n}\cong \mathbb {R} P^{n}}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \mathbb {Z/2Z} \cong \pi _{1}({\mathbb {R} P^{n}})}$ ${\displaystyle n>1}$
• Пусть — специальная ортогональная группа , тогда отображение является нормальным накрытием и, поскольку , оно является универсальным накрытием, следовательно , . ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ ${\displaystyle f:\mathrm {SU} (2)\rightarrow \mathrm {SO} (3)\cong \mathbb {Z_{2}} \backslash \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)\cong S^{3}}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/2Z} \cong \pi _{1}(\mathrm {SO} (3))}$
• При групповом действии на , где — полупрямое произведение , получается универсальное покрытие бутылки Клейна , следовательно . ${\displaystyle (z_{1},z_{2})*(x,y)=(z_{1}+(-1)^{z_{2}}x,z_{2}+y)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z^{2}} }$ ${\displaystyle \mathbb {R^{2}} }$ ${\displaystyle (\mathbb {Z^{2}} ,*)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R^{2}} \rightarrow (\mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} )\backslash \mathbb {R^{2}} \cong K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} \cong \pi _{1}(K)}$
• Пусть будет тором , вложенным в . Тогда получается гомеоморфизм , который индуцирует разрывное групповое действие , посредством чего . Отсюда следует, что отображение является нормальным накрытием бутылки Клейна, следовательно . ${\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C^{2}} }$ ${\displaystyle \alpha :T\rightarrow T:(e^{ix},e^{iy})\mapsto (e^{i(x+\pi )},e^{-iy})}$ ${\displaystyle G_{\alpha }\times T\rightarrow T}$ ${\displaystyle G_{\alpha }\cong \mathbb {Z/2Z} }$ ${\displaystyle f:T\rightarrow G_{\alpha }\backslash T\cong K}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/2Z} }$
• Пусть вложено в . Поскольку действие группы разрывно, причем взаимно просты , отображение является универсальным покрытием пространства линзы , следовательно . ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {C^{2}} }$ ${\displaystyle S^{3}\times \mathbb {Z/pZ} \rightarrow S^{3}:((z_{1},z_{2}),[k])\mapsto (e^{2\pi ik/p}z_{1},e^{2\pi ikq/p}z_{2})}$ ${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f:S^{3}\rightarrow \mathbb {Z_{p}} \backslash S^{3}=:L_{p,q}}$ ${\displaystyle L_{p,q}}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/pZ} \cong \pi _{1}(L_{p,q})}$

переписка Галуа

Пусть — связное и локально односвязное пространство, тогда для каждой подгруппы существует линейно связное покрытие с . ^{[2] : 66} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \alpha :X_{H}\rightarrow X}$ ${\displaystyle \alpha _{\#}(\pi _{1}(X_{H}))=H}$

Пусть и — два линейно связных покрытия, тогда они эквивалентны тогда и только тогда, когда подгруппы и сопряжены друг другу . ^{[6] : 482} ${\displaystyle p_{1}:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle p_{2}:E'\rightarrow X}$ ${\displaystyle H=p_{1\#}(\pi _{1}(E))}$ ${\displaystyle H'=p_{2\#}(\pi _{1}(E'))}$

Пусть — связное и локально односвязное пространство, тогда с точностью до эквивалентности между покрытиями имеет место биекция: ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \displaystyle \{{\text{Subgroup of }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{path-connected covering }}p:E\rightarrow X\}\\H&\longrightarrow &\alpha :X_{H}\rightarrow X\\p_{\#}(\pi _{1}(E))&\longleftarrow &p\\\displaystyle \{{\text{normal subgroup of }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{normal covering }}p:E\rightarrow X\}\end{matrix}}}$

Для последовательности подгрупп получается последовательность покрытий . Для подгруппы с индексом покрытие имеет степень . ${\displaystyle \displaystyle \{{\text{e}}\}\subset H\subset G\subset \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}\longrightarrow X_{H}\cong H\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X_{G}\cong G\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X\cong \pi _{1}(X)\backslash {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle H\subset \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \displaystyle [\pi _{1}(X):H]=d}$ ${\displaystyle \alpha :X_{H}\rightarrow X}$ ${\displaystyle d}$

Классификация

Определения

Категория покрытий

Пусть будет топологическим пространством. Объектами категории являются покрытия и морфизмы между двумя покрытиями и являются непрерывными отображениями , такими, что диаграмма ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Cov(X)}}}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle q:F\rightarrow X}$ ${\displaystyle f:E\rightarrow F}$

ездит на работу.

G-набор

Пусть будет топологической группой . Категория — это категория множеств, которые являются G-множествами . Морфизмы — это G-отображения между G-множествами. Они удовлетворяют условию для каждого . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {G-Set}}}$ ${\displaystyle \phi :X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \phi (gx)=g\,\phi (x)}$ ${\displaystyle g\in G}$

Эквивалентность

Пусть — связное и локально односвязное пространство, а — фундаментальная группа . Поскольку определяет, поднимая пути и оценивая в конечной точке подъема, действие группы на слое покрытия, функтор является эквивалентностью категорий . ^{[2] : 68–70} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle G=\pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F:{\boldsymbol {Cov(X)}}\longrightarrow {\boldsymbol {G-Set}}:p\mapsto p^{-1}(x)}$

Приложения

Блокировка карданного подвеса происходит, потому что любая карта T ³ → RP ³ не является покрывающей картой. В частности, соответствующая карта переносит любой элемент T ³ , то есть упорядоченную тройку (a, b, c) углов (действительные числа mod 2 π ), в композицию трех вращений осей координат R _x (a)∘R _y (b)∘R _z (c) на эти углы соответственно. Каждое из этих вращений и их композиция являются элементом группы вращения SO(3), которая топологически является RP ³ . Эта анимация показывает набор из трех карданных подвесов, установленных вместе для обеспечения трех степеней свободы. Когда все три карданных подвеса выстроены в линию (в одной плоскости), система может двигаться только в двух измерениях из этой конфигурации, а не в трех, и находится в блокировке карданного подвеса . В этом случае она может наклоняться или рыскать, но не крениться (вращаться в плоскости, в которой лежат все оси).

Важное практическое применение покрывающих пространств происходит в картах на SO(3) , группе вращений . Эта группа широко встречается в инженерии, поскольку 3-мерные вращения широко используются в навигации , морской технике , и аэрокосмической технике , среди многих других применений. Топологически SO(3) является действительным проективным пространством RP ³ , с фундаментальной группой Z /2, и только (нетривиальным) покрывающим пространством гиперсферы S ³ , которая является группой Spin(3) , и представлена ​​единичными кватернионами . Таким образом, кватернионы являются предпочтительным методом для представления пространственных вращений – см. кватернионы и пространственное вращение .

Однако часто желательно представлять вращения набором из трех чисел, известных как углы Эйлера (в многочисленных вариантах), как потому, что это концептуально проще для того, кто знаком с плоским вращением, так и потому, что можно построить комбинацию из трех карданных подвесов для создания вращений в трех измерениях. Топологически это соответствует отображению из 3-тора T ³ трех углов в реальное проективное пространство RP ³ вращений, и полученная карта имеет недостатки из-за того, что эта карта не может быть покрывающей картой. В частности, неспособность карты быть локальным гомеоморфизмом в определенных точках называется gimbal lock и демонстрируется в анимации справа — в некоторых точках (когда оси копланарны) ранг карты равен 2, а не 3, что означает, что из этой точки можно реализовать только 2 измерения вращений путем изменения углов. Это вызывает проблемы в приложениях и формализуется понятием покрывающего пространства.

Смотрите также

• Решетка Бете — универсальное покрытие графа Кэли.
• Покрывающий граф , покрывающее пространство для неориентированного графа и его частный случай — двудольное двойное покрытие.
• Группа прикрытия
• Связь Галуа
• Факторное пространство (топология)

Литература

• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-79160-X. OCLC  45420394.
• Форстер, Отто (1981). Лекции по римановым поверхностям . Нью-Йорк. ISBN 0-387-90617-7. OCLC  7596520.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Манкрес, Джеймс Р. (2018). Топология . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. ISBN 978-0-13-468951-7. OCLC  964502066.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Кюнель, Вольфганг (2011). Matrizen und Lie-Gruppen Eine geometrische Einführung (на немецком языке). Висбаден: Vieweg+Teubner Verlag. дои : 10.1007/978-3-8348-9905-7. ISBN 978-3-8348-9905-7. OCLC  706962685.

Ссылки

1. Форстер, Отто (1981). "Глава 1: Покрытие пространств". Лекции по римановым поверхностям . GTM. Перевод Брюса Джиллиана. Нью-Йорк: Springer. ISBN 9781461259633.
2. Хэтчер, Аллен (2001). Алгебраическая топология . Кембридж: Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-79160-X.
3. Роуленд, Тодд. «Covering Map». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram, созданного Эриком В. Вайсштейном. https://mathworld.wolfram.com/CoveringMap.html
4. Кюнель, Вольфганг (6 декабря 2010 г.). Matrizen und Lie-Gruppen . Штутгарт: Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH. ISBN 978-3-8348-9905-7.
5. Форстер, Отто (1991). Лекции по римановым поверхностям . Мюнхен: Springer Berlin. ISBN 978-3-540-90617-9.
6. Манкрес, Джеймс (2000). Топология . Верхняя Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-468951-7.
7. Aguilar, Marcelo Alberto; Socolovsky, Miguel (23 ноября 1999 г.). «Универсальная охватывающая группа U(n) и проективные представления». International Journal of Theoretical Physics . 39 (4). Springer US (опубликовано в апреле 2000 г.): 997–1013. arXiv : math-ph/9911028 . Bibcode :1999math.ph..11028A. doi :10.1023/A:1003694206391. S2CID  18686364.