папоротник Барнсли

Папоротник Барнсли — фрактал, названный в честь британского математика Майкла Барнсли , который впервые описал его в своей книге «Фракталы повсюду» . ^[1] Он сделал его похожим на чёрный селезёночный листопад, Asplenium adiantum-nigrum .

История

Папоротник является одним из основных примеров самоподобных множеств, т. е. это математически сгенерированный узор, который может быть воспроизведен при любом увеличении или уменьшении. Как и треугольник Серпинского , папоротник Барнсли показывает, как графически красивые структуры могут быть построены путем повторного использования математических формул с помощью компьютеров. Книга Барнсли 1988 года «Фракталы повсюду» основана на курсе, который он читал студентам и аспирантам в Школе математики Технологического института Джорджии , под названием «Фрактальная геометрия» . После публикации книги был разработан второй курс под названием «Теория фрактальной меры» . ^[1] Работа Барнсли стала источником вдохновения для графических художников, пытающихся имитировать природу с помощью математических моделей.

Код папоротника, разработанный Барнсли, является примером системы итерированных функций (IFS) для создания фрактала. Это следует из теоремы о коллаже . Он использовал фракталы для моделирования разнообразных явлений в науке и технике, но в особенности растительных структур.

IFS предоставляют модели для определенных растений, листьев и папоротников в силу самоподобия, которое часто встречается в ветвящихся структурах в природе. Но природа также демонстрирует случайность и изменчивость от одного уровня к другому; нет двух папоротников, которые были бы совершенно одинаковыми, а ветвящиеся листья становятся листьями в меньшем масштабе. Фракталы с V-переменными допускают такую случайность и изменчивость в разных масштабах, в то же время допуская непрерывную зависимость от параметров, что облегчает геометрическое моделирование. Эти факторы позволяют нам создавать гибридные биологические модели... ...мы предполагаем, что когда находится модель геометрического фрактала с V-переменными, которая хорошо соответствует геометрии данного растения, то существует определенная связь между этими кодовыми деревьями и информацией, хранящейся в генах растения.

—Майкл Барнсли и др. ^[2]

Строительство

Папоротник Барнсли использует четыре аффинных преобразования . Формула для одного преобразования следующая:

f_{w}(x,y)={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e\\f\end{bmatrix}}

Барнсли показывает код IFS для своего фрактала папоротника Black Spleenwort в виде матрицы значений, показанных в таблице. ^[3] В таблице столбцы « $a$ » — « $f$ » являются коэффициентами уравнения, а « $p$ » представляет собой фактор вероятности.

Они соответствуют следующим преобразованиям:

{\begin{aligned}f_{1}(x,y)&={\begin{bmatrix}0.00&0.00\\0.00&0.16\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\\[6px]f_{2}(x,y)&={\begin{bmatrix}0.85&0.04\\-0.04&0.85\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.00\\1.60\end{bmatrix}}\\[6px]f_{3}(x,y)&={\beg in{bmatrix}0.20&-0.26\\0.23&0.22\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.00\\1.60\end{bmatrix}}\\[6px]f_{4}(x,y)&={\begin{bmatrix}-0.15&0.28\\0.26&0.24\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.00\\0.44\end{bmatrix}}\end{выровнено}}

Поколение компьютеров

Фрактальный папоротник в четырех состояниях построения. Выделенные треугольники показывают, как половина одного листочка трансформируется в половину одного целого листа или ваи .

Хотя папоротник Барнсли теоретически можно было бы нарисовать вручную с помощью ручки и миллиметровой бумаги, число необходимых итераций достигает десятков тысяч, что делает использование компьютера практически обязательным. Многие различные компьютерные модели папоротника Барнсли популярны среди современных математиков. Пока математика запрограммирована правильно с использованием матрицы констант Барнсли, будет получена та же форма папоротника.

Первая нарисованная точка находится в начале координат ( $x 0 = 0, y 0 = 0$ ), а затем новые точки итеративно вычисляются путем случайного применения одного из следующих четырех преобразований координат: ^[4]^[5]

ф 1

х n + 1 = 0

у н + 1 = 0,16 у н

Это преобразование координат выбирается в 1% случаев и просто отображает любую точку в точку в первом сегменте линии у основания стебля. При итеративной генерации оно действует как сброс к основанию стебля. Важно, что оно не сбрасывается точно в (0,0), что позволяет ему заполнить базовый стебель, который транслируется и служит своего рода «ядром», из которого генерируются все остальные секции папоротника посредством преобразований $f 2$ , $f 3$ , $f 4$ .

ф 2

х n + 1 = 0,85 х n + 0,04 у n

y n + 1 = -0,04 x n + 0,85 y n + 1,6

Это преобразование кодирует самоподобие отношения всего папоротника с подструктурой, которая состоит из папоротника с удалением секции, включающей два нижних листа. В матричном представлении это можно увидеть как небольшое вращение по часовой стрелке, масштабированное, чтобы быть немного меньше и переведенное в положительном направлении $y$ . В итеративной генерации это преобразование применяется с вероятностью 85% и интуитивно отвечает за генерацию основного стебля и последовательную вертикальную генерацию листьев по обе стороны стебля от их «исходных» листьев у основания.

ф 3

х п + 1 = 0,2 х п - 0,26 у н

у н + 1 = 0,23 х п + 0,22 у н + 1,6

Это преобразование кодирует самоподобие всего папоротника с нижним левым листом. В матричном представлении это выглядит как поворот против часовой стрелки почти на 90°, уменьшенное до размера примерно 30% с переносом в положительном направлении $y$ . В итеративной генерации оно применяется с вероятностью 7% и интуитивно отвечает за генерацию нижнего левого листа.

ф 4

x n + 1 = -0,15 x n + 0,28 y n

у н + 1 = 0,26 х п + 0,24 у н + 0,44

Аналогично, это преобразование кодирует самоподобие всего папоротника с нижним правым листом. Из его детерминанта легко видеть, что оно включает отражение и может рассматриваться как подобное преобразование, как $f 3,$ хотя и с отражением относительно оси $y$ . В итеративной генерации оно применяется с вероятностью 7% и отвечает за генерацию нижнего правого листа.

Мутантные сорта

Папоротник Барнсли мутировал в папоротник семейства Thelypteridaceae .

Папоротник Барнсли мутировал в лептоспорангиатный папоротник .

Играя с коэффициентами, можно создавать мутантные разновидности папоротника. В своей статье о фракталах V-переменной Барнсли называет эту черту суперфракталом . [ ^2]

Один экспериментатор придумал таблицу коэффициентов, чтобы создать другой, удивительно естественно выглядящий папоротник, однако, напоминающий Cyclosorus или папоротник Thelypteridaceae . Это: ^[6]^[7]

Псевдокод

нарисовать все пиксели на экране белыми x = 0.0 y = 0.0 t = 0.0 xn = 0.0 yn = 0.0 пока t < максимальное количество итераций : r = random () между 0 и 1 если r < 0.01 : xn = 0.0 yn = 0.16 * y иначе если r < 0.86 : xn = 0.85 * x + 0.04 * y yn = - 0.04 * x + 0.85 * y + 1.6 иначе если r < 0.93 : xn = 0.2 * x - 0.26 * y yn = 0.23 * x + 0.22 * y + 1.6 иначе : xn = - 0.15 * x + 0.28 * y yn = 0.26 * x + 0.24 * y + 0.44 нарисовать зеленый пиксель на экране в точке ( xn , yn ) x = xn y = yn приращение t

Ссылки

^ ab Fractals Everywhere, Бостон, Массачусетс: Academic Press, 1993, ISBN 0-12-079062-9
^ ab Майкл Барнсли и др. , ""Фракталы и суперфракталы V-переменной"" (PDF) . (2,22 МБ)
^ Фракталы везде , таблица III.3, код IFS для папоротника.
^ Барнсли, Майкл (2000). Фракталы повсюду. Морган Кауфманн. стр. 86. ISBN 0-12-079069-6. Получено 2010-01-07 .
^ Вайсштейн, Эрик. "Папоротник Барнсли" . Получено 07.01.2010 .
^ Другие разновидности папоротника с указанными коэффициентами
^ Генератор папоротника из Барнсли