В математике когомологии Эйхлера (также называемые параболическими когомологиями или каспидальными когомологиями ) — это теория когомологий для фуксовых групп , введенная Эйхлером (1957), которая является вариацией групповых когомологий, аналогичной образу когомологий с компактным носителем в обычной группе когомологий. Изоморфизм Эйхлера–Шимуры , введенный Эйхлером для комплексных когомологий и Шимурой (1959) для вещественных когомологий, является изоморфизмом между группой когомологий Эйхлера и пространством форм каспов. Существует несколько вариаций изоморфизма Эйхлера–Шимуры, поскольку можно использовать как вещественные, так и комплексные коэффициенты, а также можно использовать либо когомологии Эйхлера, либо обычные групповые когомологии, как в (Gunning 1961). Существует также вариация изоморфизмов Эйхлера–Шимуры, использующая l -адические когомологии вместо вещественных когомологий, которая связывает коэффициенты касповых форм с собственными значениями Фробениуса , действующего на этих группах. Делинь (1971) использовал это для сведения гипотезы Рамануджана к гипотезам Вейля , которые он позже доказал.
Если G — фуксова группа , а M — ее представление, то группа когомологий Эйхлера H1
П( G , M ) определяется как ядро отображения из H1
( G , M ) в Π c H1
( G c , M ), где произведение берется по точкам возврата c фундаментальной области G , а G c — подгруппа, фиксирующая точку возврата c .
Изоморфизм Эйхлера–Шимуры — это изоморфизм между пространством параболических форм на G веса n + 2 и первыми когомологиями Эйхлера группы G с коэффициентами в G -модуле , где ранг зависит от n (Шимура, «Введение в арифметическую теорию автоморфных функций», теорема 8.4)
