Параболические координаты

Зеленым цветом показаны конфокальные параболы, открывающиеся вверх. Красным цветом показаны конфокальные параболы, открывающиеся вниз. ${\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$

Параболические координаты — это двумерная ортогональная система координат , в которой координатные линии представляют собой софокусные параболы . Трехмерная версия параболических координат получается вращением двумерной системы вокруг оси симметрии парабол.

Параболические координаты нашли множество применений, например, при рассмотрении эффекта Штарка и потенциальной теории ребер.

Двумерные параболические координаты

Двумерные параболические координаты определяются уравнениями в декартовых координатах: ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

${\displaystyle x=\sigma \tau }$

${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)}$

Кривые константы образуют конфокальные параболы. ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$

открывающиеся вверх (т. е. в сторону ), тогда как кривые константы образуют конфокальные параболы ${\displaystyle +y}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$

которые открываются вниз (т.е. в сторону ). Фокусы всех этих парабол расположены в начале координат. ${\displaystyle -y}$

Декартовы координаты можно преобразовать в параболические координаты следующим образом: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \sigma =\operatorname {sign} (x){\sqrt {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-y}}}$

${\displaystyle \tau ={\sqrt {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+y}}}$

Двумерные масштабные коэффициенты

Масштабные коэффициенты для параболических координат равны ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}$

Следовательно, бесконечно малый элемент площади равен

${\displaystyle dA=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau }$

а лапласиан равен

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)}$

Другие дифференциальные операторы, такие как и, могут быть выражены в координатах путем подстановки масштабных коэффициентов в общие формулы, найденные в ортогональных координатах . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

Трехмерные параболические координаты

Координатные поверхности трехмерных параболических координат. Красный параболоид соответствует τ=2, синий параболоид соответствует σ=1, а желтая полуплоскость соответствует φ=-60°. Три поверхности пересекаются в точке P (показана черной сферой) с декартовыми координатами примерно (1,0, -1,732, 1,5).

Двумерные параболические координаты образуют основу для двух наборов трехмерных ортогональных координат . Параболические цилиндрические координаты создаются путем проецирования в -направлении. Вращение вокруг оси симметрии парабол создает набор конфокальных параболоидов, систему координат трехмерных параболических координат. Выражается в декартовых координатах: ${\displaystyle z}$

${\displaystyle x=\sigma \tau \cos \varphi }$

${\displaystyle y=\sigma \tau \sin \varphi }$

${\displaystyle z={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)}$

где параболы теперь совмещены с осью -, вокруг которой осуществлялось вращение. Следовательно, азимутальный угол определяется ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {y}{x}}}$

Поверхности констант образуют софокусные параболоиды. ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle 2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$

которые открываются вверх (т. е. в сторону ), тогда как поверхности констант образуют конфокальные параболоиды ${\displaystyle +z}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle 2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$

которые открываются вниз (т.е. в сторону ). Фокусы всех этих параболоидов расположены в начале координат. ${\displaystyle -z}$

Риманов метрический тензор , связанный с этой системой координат, равен

${\displaystyle g_{ij}={\begin{bmatrix}\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0&0\\0&\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0\\0&0&\sigma ^{2}\tau ^{2}\end{bmatrix}}}$

Трехмерные масштабные коэффициенты

Трехмерные масштабные коэффициенты:

${\displaystyle h_{\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}$

${\displaystyle h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}$

${\displaystyle h_{\varphi }=\sigma \tau }$

Видно, что масштабные факторы и такие же, как и в двумерном случае. Тогда бесконечно малый элемент объема равен ${\displaystyle h_{\sigma }}$ ${\displaystyle h_{\tau }}$

${\displaystyle dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\varphi }\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi =\sigma \tau \left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi }$

а лапласиан определяется выражением

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}}$

Другие дифференциальные операторы, такие как и, могут быть выражены в координатах путем подстановки масштабных коэффициентов в общие формулы, найденные в ортогональных координатах . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$

Смотрите также

• Параболические цилиндрические координаты
• Ортогональная система координат
• Криволинейные координаты

Библиография

• Морс П.М. , Фешбах Х. (1953). Методы теоретической физики. Часть I. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 660. ИСБН 0-07-043316-Х. LCCN  52011515.
• Маргенау Х. , Мерфи Г.М. (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. стр. 185–186. LCCN  55010911.
• Корн Г.А., Корн ТМ (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 180. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Зауэр Р., Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Нью-Йорк: Springer Verlag. п. 96. LCCN  67025285.
• Цвиллингер Д. (1992). Справочник по интеграции . Бостон, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. п. 114. ИСБН 0-86720-293-9. То же, что и Морс и Фешбах (1953), с заменой ξ _k на _uk .
• Мун П., Спенсер Д.Э. (1988). «Параболические координаты (μ, ν, ψ)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е печатное изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 34–36 (табл. 1.08). ISBN 978-0-387-18430-2.

Внешние ссылки

• «Параболические координаты», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Описание параболических координат в MathWorld