Парадокс близнецов

Мысленный эксперимент в специальной теории относительности

Во время годичной миссии на МКС астронавт Скотт Келли  (справа) постарел примерно на 8,5 миллисекунд меньше, чем его брат-близнец Марк  (слева), находящийся на Земле, из-за релятивистских эффектов. ^[1]

В физике парадокс близнецов — это мысленный эксперимент в специальной теории относительности с участием близнецов, один из которых совершает космическое путешествие на релятивистской скорости и возвращается домой, чтобы обнаружить, что близнец, который остался на Земле, постарел больше. Этот результат кажется загадочным, поскольку каждый близнец видит другого близнеца движущимся, и поэтому, как следствие неправильного ^{[2] [3]} и наивного ^{[4] [5]} применения замедления времени и принципа относительности , каждый должен парадоксальным образом обнаружить, что другой постарел меньше. Однако этот сценарий можно разрешить в стандартных рамках специальной теории относительности: траектория движущегося близнеца включает две разные инерциальные системы отсчета , одну для исходящего путешествия и одну для входящего путешествия. ^[6] Другой способ понять парадокс — осознать, что движущийся близнец испытывает ускорение , что делает его неинерциальным наблюдателем. В обоих представлениях нет симметрии между пространственно-временными траекториями близнецов. Таким образом, парадокс близнецов на самом деле не является парадоксом в смысле логического противоречия. До сих пор ведутся споры о разрешении парадокса близнецов. ^[7]

Начиная с Поля Ланжевена в 1911 году, существовали различные объяснения этого парадокса. Эти объяснения «можно сгруппировать в те, которые фокусируются на эффекте различных стандартов одновременности в разных системах отсчета, и те, которые определяют ускорение [испытываемое движущимся близнецом] как главную причину». ^[8] Макс фон Лауэ утверждал в 1913 году, что поскольку движущийся близнец должен находиться в двух отдельных инерциальных системах отсчета, одной на пути наружу, а другой на пути обратно, эта смена систем является причиной разницы в старении. ^[9] Объяснения, предложенные Альбертом Эйнштейном и Максом Борном, привлекали гравитационное замедление времени , чтобы объяснить старение как прямой эффект ускорения. ^[10] Однако было доказано, что ни общая теория относительности, ^{[11] [12] [13] [14] [15]} ни даже ускорение не являются необходимыми для объяснения эффекта, поскольку эффект все еще применяется, если два астронавта проходят мимо друг друга в точке поворота и синхронизируют свои часы в этой точке. Ситуацию в точке поворота можно представить как ситуацию, когда пара наблюдателей , один из которых движется от начальной точки, а другой движется к ней, проходят мимо друг друга, и где показания часов первого наблюдателя переносятся на показания второго, оба сохраняют постоянную скорость, а оба времени путешествия добавляются в конце их путешествия. ^[16]

История

В своей знаменитой статье по специальной теории относительности в 1905 году Альберт Эйнштейн вывел, что для двух неподвижных и синхронных часов , которые размещены в точках A и B, если часы в A перемещаются по линии AB и останавливаются в B, то часы, которые перемещаются из A, будут отставать от часов в B. Он заявил, что этот результат будет применим также, если путь от A до B будет многоугольным или круговым. ^{[A 1]} Эйнштейн считал это естественным следствием специальной теории относительности, а не парадоксом , как предполагали некоторые, и в 1911 году он переформулировал и развил этот результат следующим образом (с комментариями физика Роберта Резника после комментариев Эйнштейна): ^{[A 2] [17]}

Эйнштейн: Если бы мы поместили живой организм в ящик... можно было бы устроить так, что организм после любого произвольного длительного полета мог бы вернуться на свое исходное место в едва изменившемся состоянии, в то время как соответствующие организмы, которые оставались в своих исходных положениях, уже давно уступили бы место новым поколениям. Для движущегося организма длительное время путешествия было всего лишь мгновением, при условии, что движение происходило примерно со скоростью света.
Резник: Если неподвижный организм — человек, а путешествующий — его близнец, то путешественник возвращается домой и обнаруживает своего брата-близнеца намного старше себя. Парадокс основан на утверждении, что в теории относительности любой из близнецов может считать другого путешественником, и в этом случае каждый должен найти другого моложе — логическое противоречие. Это утверждение предполагает, что ситуации близнецов симметричны и взаимозаменяемы, что неверно. Более того, были проведены доступные эксперименты, которые подтверждают предсказание Эйнштейна.

В 1911 году Поль Ланжевен привел «яркий пример», описав историю путешественника, совершившего путешествие с фактором Лоренца γ = 100 (99,995% скорости света). Путешественник остается в снаряде в течение одного года своего времени, а затем меняет направление. По возвращении путешественник обнаружит, что он постарел на два года, в то время как на Земле прошло 200 лет. Во время путешествия и путешественник, и Земля продолжают посылать друг другу сигналы с постоянной скоростью, что помещает историю Ланжевена в версию парадокса близнецов с доплеровским смещением. Релятивистские эффекты на скорости сигналов используются для учета различных скоростей старения. Асимметрия, возникшая из-за того, что только путешественник подвергся ускорению, используется для объяснения того, почему вообще существует какая-либо разница, ^{[18] [19],} потому что «любое изменение скорости или любое ускорение имеет абсолютное значение». ^{[A 3]}

Макс фон Лауэ (1911, 1913) развил объяснение Ланжевена. Используя пространственно-временной формализм Германа Минковского , Лауэ продемонстрировал, что мировые линии инерциально движущихся тел максимизируют собственное время, прошедшее между двумя событиями. Он также писал, что асимметричное старение полностью объясняется тем фактом, что близнец-астронавт движется в двух отдельных системах отсчета, в то время как близнец-земля остается в одной системе отсчета, и время ускорения может быть сделано сколь угодно малым по сравнению со временем инерциального движения . ^{[A 4] [A 5] [A 6]} В конце концов, лорд Хэлсбери и другие устранили любое ускорение, введя подход «трех братьев». Путешествующий близнец передает показания своих часов третьему, движущемуся в противоположном направлении. Другой способ избежать эффектов ускорения — использование релятивистского эффекта Доплера (см. § Как это выглядит: релятивистский доплеровский сдвиг ниже) .

Ни Эйнштейн, ни Ланжевен не считали такие результаты проблематичными: Эйнштейн только назвал их «странными», тогда как Ланжевен представил их как следствие абсолютного ускорения. ^{[A 7]} Оба утверждали, что из разницы во времени, проиллюстрированной историей близнецов, нельзя построить никакого внутреннего противоречия. Другими словами, ни Эйнштейн, ни Ланжевен не считали историю близнецов вызовом самосогласованности релятивистской физики.

Конкретный пример

Рассмотрим космический корабль, летящий от Земли до ближайшей звездной системы: на расстояние d = 4 световых года со скоростью v = 0,8 c (т. е. 80% скорости света).

Чтобы упростить подсчеты, предполагается, что корабль достигает полной скорости за пренебрежимо малое время после отправления (хотя на самом деле потребовалось бы около 9 месяцев ускорения в 1  g, чтобы набрать скорость). Аналогично, в конце исходящего путешествия изменение направления, необходимое для начала обратного путешествия, предполагается происходящим за пренебрежимо малое время. Это также можно смоделировать, предположив, что корабль уже находится в движении в начале эксперимента и что событие возвращения моделируется ускорением дельта- распределения Дирака . ^[20]

Стороны будут наблюдать за ситуацией следующим образом: ^{[21] [22]}

Перспектива Земли

Центр управления полетами на Земле рассуждает о путешествии следующим образом: путешествие туда и обратно займет t = 2 d / v = 10 лет по земному времени ( т.е. все, кто останется на Земле, станут на 10 лет старше, когда корабль вернется). Количество времени, измеренное по часам корабля, и старение путешественников во время их путешествия будут уменьшены на коэффициент , обратный фактору Лоренца ( замедление времени ). В этом случае α = 0,6 , и путешественники постарели всего на 0,6 × 10 = 6 лет , когда они вернутся. ${\displaystyle \alpha =\scriptstyle {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

Точка зрения путешественников

Члены экипажа корабля также рассчитывают детали своего путешествия со своей точки зрения. Они знают, что далекая звездная система и Земля движутся относительно корабля со скоростью v во время путешествия. В их системе покоя расстояние между Землей и звездной системой составляет α d = 0,6 × 4 = 2,4 световых года ( сокращение длины ) как для прямого, так и для обратного путешествия. Каждая половина путешествия занимает α d / v = 2,4 / 0,8 = 3 года , а обратное путешествие занимает вдвое больше времени (6 лет). Их расчеты показывают, что они вернутся домой, постарев на 6 лет. Окончательный расчет путешественников относительно их старения полностью согласуется с расчетами тех, кто находится на Земле, хотя они переживают путешествие совсем иначе, чем те, кто остается дома.

Заключение

Независимо от того, какой метод они используют для предсказания показаний часов, все будут согласны с ними. Если близнецы родятся в день отплытия корабля, и один из них отправится в путешествие, а другой останется на Земле, они встретятся снова, когда путешественнику будет 6 лет, а близнецу-домоседу — 10 лет.

Разрешение парадокса в специальной теории относительности

Парадоксальный аспект ситуации близнецов возникает из того факта, что в любой момент часы путешествующего близнеца идут медленнее в инерциальной системе отсчета земного близнеца, но на основе принципа относительности можно было бы в равной степени утверждать, что часы земного близнеца идут медленнее в инерциальной системе отсчета путешествующего близнеца. ^{[23] [24] [25]} Одно из предлагаемых решений основано на том факте, что земной близнец находится в покое в той же инерциальной системе отсчета на протяжении всего путешествия, в то время как путешествующий близнец — нет: в простейшей версии мысленного эксперимента путешествующий близнец переключается в середине путешествия из состояния покоя в инерциальной системе отсчета, которая движется в одном направлении (от Земли), в состояние покоя в инерциальной системе отсчета, которая движется в противоположном направлении (к Земле). При таком подходе определение того, какой наблюдатель меняет системы отсчета, а какой нет, имеет решающее значение. Хотя оба близнеца могут обоснованно утверждать, что они покоятся в своей собственной системе отсчета, только путешествующий близнец испытывает ускорение при включении двигателей космического корабля. Это ускорение, измеряемое акселерометром, временно делает его систему покоя неинерциальной. Это выявляет важную асимметрию между перспективами близнецов: хотя мы можем предсказать разницу в старении с обеих точек зрения, нам нужно использовать разные методы для получения правильных результатов.

Роль ускорения

Хотя некоторые решения приписывают решающую роль ускорению движущегося близнеца во время поворота, ^{[23] [24] [25] [26]} другие отмечают, что эффект также возникает, если представить себе двух отдельных путешественников, одного идущего наружу, а другого идущего внутрь, которые проходят мимо друг друга и синхронизируют свои часы в точке, соответствующей «повороту» одного путешественника. В этой версии физическое ускорение движущихся часов не играет прямой роли; ^{[27] [28] [20]} «вопрос в том, насколько длинны мировые линии, а не в том, насколько они изогнуты». ^[29] Длина, о которой здесь идет речь, — это лоренц-инвариантная длина или «собственный временной интервал» траектории, которая соответствует прошедшему времени, измеренному часами, следующими по этой траектории (см. раздел Разница во прошедшем времени из-за различий в пространственно-временных путях близнецов ниже). В пространстве-времени Минковского путешествующий близнец должен ощущать другую историю ускорений, чем земной близнец, даже если это просто означает ускорения одинаковой величины, разделенные разным количеством времени, ^[29] однако «даже эта роль ускорения может быть устранена в формулировках парадокса близнецов в искривленном пространстве-времени, где близнецы могут свободно падать вдоль геодезических линий пространства-времени между встречами». ^[8]

Относительность одновременности

Диаграмма Минковского парадокса близнецов. Между траекториями близнецов есть разница: траектория корабля поровну разделена между двумя разными инерциальными системами, в то время как близнец на Земле остается в той же инерциальной системе.

Для поминутного понимания того, как разворачивается разница во времени между близнецами, нужно понимать, что в специальной теории относительности нет понятия абсолютного настоящего . Для разных инерциальных систем отсчета существуют разные наборы событий, которые одновременны в этой системе. Эта относительность одновременности означает, что переключение с одной инерциальной системы отсчета на другую требует корректировки того, какой срез пространства-времени считается «настоящим». На пространственно-временной диаграмме справа, нарисованной для системы отсчета земного близнеца, мировая линия этого близнеца совпадает с вертикальной осью (его положение в пространстве постоянно, перемещаясь только во времени). На первом этапе путешествия второй близнец движется вправо (черная наклонная линия); а на втором этапе — обратно влево. Синие линии показывают плоскости одновременности для путешествующего близнеца на первом этапе путешествия; красные линии — на втором этапе. Непосредственно перед поворотом путешествующий близнец вычисляет возраст земного близнеца, измеряя интервал по вертикальной оси от начала координат до верхней синей линии. Сразу после поворота, если он пересчитает, он измерит интервал от начала до нижней красной линии. В некотором смысле, во время разворота плоскость одновременности перескакивает с синего на красный и очень быстро проносится по большому сегменту мировой линии близнеца на Земле. При переходе из исходящей инерциальной системы во входящую инерциальную систему происходит скачок в возрасте близнеца на Земле ^{[23] [24] [28] [30] [31]} (6,4 года в примере выше).

Непространственно-временной подход

Как упоминалось выше, приключение парадокса близнецов «туда и обратно» может включать передачу показаний часов от «уходящего» астронавта к «приходящему» астронавту, тем самым устраняя эффект ускорения. Кроме того, физическое ускорение часов не вносит вклад в кинематические эффекты специальной теории относительности. Скорее, в специальной теории относительности разница во времени между двумя воссоединенными часами создается исключительно равномерным инерционным движением, как обсуждалось в оригинальной статье Эйнштейна 1905 года по теории относительности ^[27] , а также во всех последующих кинематических выводах преобразований Лоренца.

Поскольку пространственно-временные диаграммы включают в себя синхронизацию часов Эйнштейна (с его методологией решетки часов), будет иметь место необходимый скачок в показаниях земных часов, совершаемый «внезапно вернувшимся астронавтом», который наследует «новое значение одновременности» в соответствии с новой синхронизацией часов, продиктованной переходом в другую инерциальную систему отсчета, как объясняется в книге Джона А. Уиллера «Физика пространства-времени». ^[30]

Если вместо включения синхронизации часов Эйнштейна (решетка часов) астронавт (исходящий и входящий) и наземная сторона регулярно информируют друг друга о состоянии своих часов посредством отправки радиосигналов (которые распространяются со скоростью света), то все стороны заметят постепенное нарастание асимметрии в отсчете времени, начиная с точки «поворота». До «поворота» каждая сторона считает, что часы другой стороны регистрируют время иначе, чем ее собственное, но отмеченная разница симметрична между двумя сторонами. После «поворота» отмеченные различия не симметричны, и асимметрия растет постепенно, пока две стороны не воссоединятся. После окончательного воссоединения эту асимметрию можно увидеть в фактической разнице, показываемой на двух воссоединенных часах. ^[32]

Эквивалентность биологического старения и хронометража часов

Все процессы — химические, биологические, функционирование измерительной аппаратуры, человеческое восприятие, включающее глаз и мозг, передача силы — ограничены скоростью света. Часы функционируют на каждом уровне, в зависимости от скорости света и присущей им задержки даже на атомном уровне. Биологическое старение, таким образом, ничем не отличается от хронометража часов. ^[33] Это означает, что биологическое старение будет замедляться так же, как и часы.

Как это выглядит: релятивистское доплеровское смещение

Ввиду зависимости от кадра одновременности для событий в разных местах пространства, некоторые методы лечения предпочитают более феноменологический подход, описывающий то, что наблюдали бы близнецы, если бы каждый из них посылал серию регулярных радиоимпульсов, равномерно разнесенных во времени в соответствии с часами излучателя. ^[28] Это эквивалентно вопросу: если бы каждый из близнецов посылал друг другу видеотрансляцию себя, что они видят на своих экранах? Или, если бы каждый из близнецов всегда носил часы, показывающие его возраст, какое время каждый из них увидел бы на изображении своего далекого близнеца и своих часов?

Вскоре после отправления путешествующий близнец видит оставшегося дома близнеца без какой-либо задержки по времени. По прибытии изображение на экране корабля показывает оставшегося близнеца таким, каким он был через 1 год после запуска, потому что радиосигнал, излучаемый Землей через 1 год после запуска, достигает другой звезды через 4 года и встречает там корабль. Во время этого этапа путешествия путешествующий близнец видит, как его собственные часы продвигаются на 3 года, а часы на экране продвигаются на 1 год, так что кажется, что они продвигаются со скоростью 1 ⁄ 3 от обычной, всего 20 секунд изображения на минуту корабля. Это объединяет эффекты замедления времени из-за движения (с коэффициентом ε = 0,6 , пять лет на Земле равны 3 годам на корабле) и эффект увеличения задержки света-времени (которая увеличивается от 0 до 4 лет).

Конечно, наблюдаемая частота передачи также составляет 1 ⁄ 3 частоты передатчика (уменьшение частоты; «красное смещение»). Это называется релятивистским эффектом Доплера . Частота тиканья часов (или волновых фронтов), которую можно увидеть от источника с частотой покоя f _rest , равна

${\displaystyle f_{\mathrm {obs} }=f_{\mathrm {rest} }{\sqrt {\left({1-v/c}\right)/\left({1+v/c}\right)}}}$

когда источник движется прямо прочь. Это f _obs = 1 ⁄ 3 f _rest для v / c = 0,8.

Что касается близнеца, оставшегося дома, он получает замедленный сигнал с корабля в течение 9 лет с частотой 1 ⁄ 3 частоты передатчика. В течение этих 9 лет часы путешествующего близнеца на экране, кажется, продвигаются вперед на 3 года, поэтому оба близнеца видят изображение своего брата или сестры, стареющего со скоростью всего 1 ⁄ 3 их собственной скорости. Выражаясь другими словами, они оба будут видеть, как часы другого идут со скоростью 1 ⁄ 3 их собственной скорости. Если они вычтут из расчета тот факт, что задержка светового времени передачи увеличивается со скоростью 0,8 секунды в секунду, оба могут вычислить, что другой близнец стареет медленнее, со скоростью 60%.

Затем корабль поворачивает обратно домой. Часы оставшегося близнеца показывают на экране корабля «1 год после запуска», а за 3 года обратного пути они увеличиваются до «10 лет после запуска», поэтому кажется, что часы на экране идут в 3 раза быстрее обычного.

Когда источник движется по направлению к наблюдателю, наблюдаемая частота выше («смещена в синюю сторону») и определяется выражением

${\displaystyle f_{\mathrm {obs} }=f_{\mathrm {rest} }{\sqrt {\left({1+v/c}\right)/\left({1-v/c}\right)}}}$

Это f _obs = 3 f _rest для v / c = 0,8.

Что касается экрана на Земле, он показывает, что путешествие назад началось через 9 лет после запуска, а путевые часы на экране показывают, что на корабле прошло 3 года. Год спустя корабль вернулся домой, а часы показывают 6 лет. Таким образом, во время путешествия назад оба близнеца видят, что часы их брата идут в 3 раза быстрее, чем их собственные. Исключая тот факт, что задержка света уменьшается на 0,8 секунды каждую секунду, каждый близнец вычисляет, что другой близнец стареет со скоростью 60% от его собственной скорости старения.

Световые пути для изображений, переданных во время полета
Слева: Земля-корабль. Справа: Корабль-Земля.
Красные линии указывают на получение низкочастотных изображений, синие линии указывают на получение высокочастотных изображений

Диаграммы x – t (пространство–время) справа показывают пути световых сигналов, проходящих между Землей и кораблем (1-я диаграмма) и между кораблем и Землей (2-я диаграмма). Эти сигналы переносят изображения каждого близнеца и его возрастные часы к другому близнецу. Вертикальная черная линия — это путь Земли через пространство-время, а две другие стороны треугольника показывают путь корабля через пространство-время (как на диаграмме Минковского выше). Что касается отправителя, он передает их через равные интервалы (скажем, раз в час) в соответствии со своими собственными часами; но согласно часам близнеца, принимающего эти сигналы, они не принимаются через равные интервалы.

После того, как корабль достигнет своей крейсерской скорости 0,8 c , каждый близнец будет видеть, как проходит 1 секунда на полученном изображении другого близнеца за каждые 3 секунды своего собственного времени. То есть каждый будет видеть, как изображение часов другого замедляется, не просто замедляется на ε- фактор 0,6, но даже медленнее, потому что задержка времени света увеличивается на 0,8 секунды в секунду. Это показано на рисунках красными световыми путями. В какой-то момент изображения, полученные каждым близнецом, меняются так, что каждый будет видеть, как проходит 3 секунды на изображении за каждую секунду своего собственного времени. То есть принятый сигнал был увеличен по частоте за счет доплеровского сдвига. Эти высокочастотные изображения показаны на рисунках синими световыми путями.

Асимметрия в изображениях с допплеровским смещением

Асимметрия между Землей и космическим кораблем проявляется на этой диаграмме тем, что корабль получает больше изображений со смещением в синюю сторону (быстрое старение). Иными словами, космический корабль видит изменение изображения с красного смещения (более медленное старение изображения) на синее смещение (более быстрое старение изображения) в средней точке своего путешествия (при развороте, через 3 года после отправления); Земля видит изменение изображения корабля с красного смещения на синее смещение через 9 лет (почти в конце периода отсутствия корабля). В следующем разделе мы увидим еще одну асимметрию в изображениях: близнец Земли видит, что близнец корабля стареет на одинаковую величину на изображениях со смещением в красную и синюю стороны; близнец корабля видит, что близнец Земли стареет на разную величину на изображениях со смещением в красную и синюю сторону.

Расчет прошедшего времени по диаграмме Доплера

Близнец на корабле видит низкочастотные (красные) изображения в течение 3 лет. За это время он увидит, как близнец Земли на изображении постарел на 3/3 = 1 год . Затем он видит высокочастотные (синие) изображения во время обратного путешествия продолжительностью 3 года. За это время он увидит, как близнец Земли на изображении постарел на 3 × 3 = 9 лет. Когда путешествие закончится, изображение близнеца Земли постарело на 1 + 9 = 10 лет.

Двойник Земли видит 9 лет медленных (красных) изображений двойника корабля, в течение которых двойник корабля стареет (на изображении) на 9/3 = 3 года. Затем он видит быстрые (синие) изображения в течение оставшегося 1 года до возвращения корабля. На быстрых изображениях двойник корабля стареет на 1 × 3 = 3 года. Общее старение двойника корабля на изображениях, полученных Землей, составляет 3 + 3 = 6 лет , поэтому двойник корабля возвращается моложе (на 6 лет по сравнению с 10 годами на Земле).

Различие между тем, что они видят, и тем, что они вычисляют

Чтобы избежать путаницы, обратите внимание на разницу между тем, что видит каждый из близнецов, и тем, что каждый из них мог бы подсчитать. Каждый видит изображение своего близнеца, которое, как он знает, возникло в предыдущее время и которое, как он знает, смещено Доплером. Он не воспринимает прошедшее время на изображении как возраст своего близнеца сейчас.

• Если он хочет вычислить, когда его близнецу было столько лет, сколько показано на изображении ( т.е. сколько лет было тогда ему самому), он должен определить, как далеко находился его близнец, когда был послан сигнал, — другими словами, он должен учесть одновременность для отдаленного события.
• Если он хочет вычислить, как быстро старел его близнец, когда передавалось изображение, он делает поправку на доплеровский сдвиг. Например, когда он получает высокочастотные изображения (показывающие, что его близнец быстро стареет) с частотой , он не делает вывод, что близнец старел так быстро, когда было сгенерировано изображение, так же как он не делает вывод, что сирена скорой помощи излучает частоту, которую он слышит. Он знает, что эффект Доплера увеличил частоту изображения в 1 / (1 − v / c ). Поэтому он вычисляет, что его близнец старел со скоростью ${\displaystyle \scriptstyle {f_{\mathrm {rest} }{\sqrt {\left({1+v/c}\right)/\left({1-v/c}\right)}}}}$

${\displaystyle f_{\mathrm {rest} }{\sqrt {\left({1+v/c}\right)/\left({1-v/c}\right)}}\times \left(1-v/c\right)=f_{\mathrm {rest} }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\equiv \epsilon f_{\mathrm {rest} }}$

когда изображение было передано. Аналогичный расчет показывает, что его близнец старел с той же сниженной скоростью εf _rest на всех низкочастотных изображениях.

Одновременность расчета доплеровского сдвига

Может быть трудно увидеть, где одновременность вошла в расчет сдвига Доплера, и действительно, расчет часто предпочтительнее, потому что не нужно беспокоиться об одновременности. Как показано выше, близнец корабля может преобразовать свою полученную скорость с доплеровским смещением в более медленную скорость часов удаленных часов как для красных, так и для синих изображений. Если он проигнорирует одновременность, он может сказать, что его близнец старел с пониженной скоростью на протяжении всего путешествия и, следовательно, должен быть моложе, чем он. Теперь он возвращается к исходной точке и должен учитывать изменение в своем представлении об одновременности при повороте. Скорость, которую он может вычислить для изображения (с поправкой на эффект Доплера), является скоростью часов близнеца Земли в момент его отправки, а не в момент его получения. Поскольку он получает неравное количество изображений со смещением в красную и синюю области спектра, он должен понимать, что излучение со смещением в красную и синюю области спектра не испускалось в течение равных периодов времени для близнеца Земли, и поэтому он должен учитывать одновременность на расстоянии.

Точка зрения путешествующего близнеца

Во время поворота путешествующий близнец находится в ускоренной системе отсчета . Согласно принципу эквивалентности , путешествующий близнец может анализировать фазу поворота, как если бы оставшийся дома близнец свободно падал в гравитационном поле, а путешествующий близнец был неподвижен. В статье Эйнштейна 1918 года представлен концептуальный набросок этой идеи. ^{[A 8]} С точки зрения путешественника, расчет для каждого отдельного этапа, игнорирующий поворот, приводит к результату, в котором земные часы стареют меньше, чем путешественник. Например, если земные часы стареют на 1 день меньше на каждом этапе, то отставание земных часов составит 2 дня. Физическое описание того, что происходит при повороте, должно производить противоположный эффект, вдвое больший: опережение земных часов на 4 дня. Тогда часы путешественника будут отставать от земных часов на 2 дня, что согласуется с расчетами, выполненными в рамках модели домоседа.

Механизмом для продвижения часов домоседа-близнеца является гравитационное замедление времени . Когда наблюдатель обнаруживает, что инерциально движущиеся объекты ускоряются относительно себя, эти объекты находятся в гравитационном поле с точки зрения теории относительности. Для путешествующего близнеца при повороте это гравитационное поле заполняет вселенную. В приближении слабого поля часы тикают с частотой t' = t (1 + Φ / c ² ) , где Φ — разность гравитационного потенциала. В этом случае Φ = gh , где g — ускорение путешествующего наблюдателя при повороте, а h — расстояние до домоседа-близнеца. Ракета выстреливает в сторону домоседа-близнеца, тем самым помещая этого близнеца в более высокий гравитационный потенциал. Из-за большого расстояния между близнецами часы домоседа-близнеца будут казаться достаточно ускоренными, чтобы учесть разницу в собственном времени, испытываемую близнецами. Не случайно, что этого ускорения достаточно для объяснения описанного выше сдвига одновременности. Решение общей теории относительности для статического однородного гравитационного поля и решение специальной теории относительности для конечного ускорения дают идентичные результаты. ^[34]

Другие вычисления были сделаны для путешествующего близнеца (или для любого наблюдателя, который иногда ускоряется), которые не включают принцип эквивалентности, и которые не включают никаких гравитационных полей. Такие вычисления основаны только на специальной теории относительности, а не на общей теории. Один подход вычисляет поверхности одновременности, рассматривая световые импульсы, в соответствии с идеей Германа Бонди о k-исчислении . ^[35] Второй подход вычисляет простой, но технически сложный интеграл для определения того, как путешествующий близнец измеряет прошедшее время на часах, остающихся дома. Краткое описание этого второго подхода дано в отдельном разделе ниже.

Разница в прошедшем времени как результат различий в пространственно-временных траекториях близнецов

Парадокс близнецов, использующий ракету, следующую профилю ускорения в терминах координатного времени T и устанавливая c=1: Фаза 1 (a=0,6, T=2); Фаза 2 (a=0, T=2); Фаза 3-4 (a=-0,6, 2T=4); Фаза 5 (a=0, T=2); Фаза 6 (a=0,6, T=2). Близнецы встречаются в T=12 и τ=9,33. Синие числа указывают координатное время T в инерциальной системе отсчета близнеца-домоседа, красные числа — собственное время τ близнеца-ракеты, а «a» — собственное ускорение. Тонкие красные линии представляют линии одновременности в терминах различных мгновенных инерциальных систем отсчета близнеца-ракеты. Точки, отмеченные синими числами 2, 4, 8 и 10, указывают моменты времени, когда ускорение меняет направление.

Следующий абзац показывает несколько вещей:

• как использовать точный математический подход при расчете разницы в прошедшем времени
• как точно доказать зависимость прошедшего времени от различных путей, пройденных близнецами в пространстве-времени
• как количественно оценить разницу в прошедшем времени
• как вычислить собственное время как функцию (интеграл) координатного времени

Пусть часы K будут связаны с «близнецом, оставшимся дома». Пусть часы K' будут связаны с ракетой, которая совершает путешествие. В момент отправления оба часа устанавливаются на 0.

Фаза 1: Ракета (с часами K' ) движется с постоянным собственным ускорением a в течение времени T _a , измеряемого часами K , пока не достигнет некоторой скорости V .

Фаза 2 : Ракета продолжает движение со скоростью V в течение некоторого времени T _c по часам K.

Фаза 3: Ракета запускает двигатели в противоположном направлении K в течение времени T _a по часам K до тех пор, пока она не достигнет состояния покоя относительно часов K. Постоянное собственное ускорение имеет значение − a , другими словами, ракета замедляется .

Фаза 4: Ракета продолжает запускать двигатели в противоположном направлении от K в течение того же времени T _a по часам K до тех пор, пока K' не обретет ту же скорость V относительно K , но теперь в направлении K (со скоростью − V ).

Фаза 5: Ракета продолжает двигаться по инерции к точке K со скоростью V в течение того же времени T _c по часам K.

Фаза 6: Ракета снова запускает двигатели в направлении K , поэтому она замедляется с постоянным собственным ускорением a в течение времени T _a , по-прежнему согласно часам K , пока оба часа не воссоединятся.

Зная, что часы K остаются инерциальными (неподвижными), общее накопленное собственное время Δ τ часов K' будет определяться интегральной функцией координатного времени Δ t

${\displaystyle \Delta \tau =\int {\sqrt {1-(v(t)/c)^{2}}}\ dt\ }$

где v ( t ) - это координатная скорость часов K' как функция t в соответствии с часами K , и, например, во время фазы 1, задается как

${\displaystyle v(t)={\frac {at}{\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2}}}}.}$

Этот интеграл можно рассчитать для 6 фаз: ^[36]

Фаза 1 ${\displaystyle :\quad c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)\,}$

Фаза 2 ${\displaystyle :\quad T_{c}\ {\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}$

Фаза 3 ${\displaystyle :\quad c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)\,}$

Фаза 4 ${\displaystyle :\quad c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)\,}$

Фаза 5 ${\displaystyle :\quad T_{c}\ {\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}$

Фаза 6 ${\displaystyle :\quad c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)\,}$

где a — собственное ускорение, ощущаемое часами K' во время фазы(фаз) ускорения, и где между V , a и T _a выполняются следующие соотношения :

${\displaystyle V=a\ T_{a}/{\sqrt {1+(a\ T_{a}/c)^{2}}}}$

${\displaystyle a\ T_{a}=V/{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}$

Таким образом, ходовые часы K' покажут прошедшее время

${\displaystyle \Delta \tau =2T_{c}{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}+4c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)}$

что можно выразить как

${\displaystyle \Delta \tau =2T_{c}/{\sqrt {1+(a\ T_{a}/c)^{2}}}+4c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)}$

тогда как стационарные часы K показывают прошедшее время

${\displaystyle \Delta t=2T_{c}+4T_{a}\,}$

что для каждого возможного значения a , T _a , T _c и ​​V больше, чем показание часов K' :

${\displaystyle \Delta t>\Delta \tau \,}$

Разница во времени прохождения: как ее рассчитать с корабля

Парадокс близнецов, использующий ракету, следующую профилю ускорения в терминах собственного времени τ и устанавливая c=1: Фаза 1 (a=0,6, τ=2); Фаза 2 (a=0, τ=2); Фаза 3-4 (a=-0,6, 2τ=4); Фаза 5 (a=0, τ=2); Фаза 6 (a=0,6, τ=2). Близнецы встречаются при T=17,3 и τ=12.

В стандартной формуле собственного времени

${\displaystyle \Delta \tau =\int _{0}^{\Delta t}{\sqrt {1-\left({\frac {v(t)}{c}}\right)^{2}}}\ dt,\ }$

Δ τ представляет собой время неинерциального (перемещающегося) наблюдателя K' как функцию прошедшего времени Δ t инерциального (находящегося дома) наблюдателя K , для которого наблюдатель K' имеет скорость v ( t ) в момент времени t .

Для расчета прошедшего времени Δ t инерциального наблюдателя K как функции прошедшего времени Δ τ неинерциального наблюдателя K' , где доступны только величины, измеряемые K' , можно использовать следующую формулу: ^[20]

${\displaystyle \Delta t^{2}=\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right]\,\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{-\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right],\ }$

где a(τ) — собственное ускорение неинерциального наблюдателя K' , измеренное им самим (например, с помощью акселерометра) в течение всего кругового пути. Неравенство Коши–Шварца можно использовать для того, чтобы показать, что неравенство Δ t > Δ τ следует из предыдущего выражения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta t^{2}&=\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right]\,\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{-\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right]\\&>\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,e^{-\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')\,d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right]^{2}=\left[\int _{0}^{\Delta \tau }d{\bar {\tau }}\right]^{2}=\Delta \tau ^{2}.\end{aligned}}}$

Используя дельта-функцию Дирака для моделирования фазы бесконечного ускорения в стандартном случае путешественника, имеющего постоянную скорость v во время поездки туда и обратно, формула дает известный результат:

${\displaystyle \Delta t={\frac {1}{\sqrt {1-{\tfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\Delta \tau .\ }$

В случае, когда ускоренный наблюдатель K' удаляется от K с нулевой начальной скоростью, общее уравнение сводится к более простому виду:

${\displaystyle \Delta t=\int _{0}^{\Delta \tau }e^{\pm \int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }},\ }$

что в гладкой версии парадокса близнецов, где путешественник имеет постоянные собственные фазы ускорения, последовательно заданные как a , − a , − a , a , приводит к ^[20]

${\displaystyle \Delta t={\tfrac {4}{a}}\sinh({\tfrac {a}{4}}\Delta \tau )\ }$

где используется условное обозначение c = 1 в соответствии с приведенным выше выражением с фазами ускорения T _a = Δ t /4 и инерционными (выбег) фазами T _c = 0.

Ротационная версия

Близнецы Боб и Алиса обитают на космической станции на круговой орбите вокруг огромного тела в космосе. Боб надевает скафандр и покидает станцию. Пока Алиса остается внутри станции, продолжая вращаться вместе с ней, как и прежде, Боб использует ракетную двигательную установку, чтобы прекратить движение по орбите и зависнуть там, где он был. Когда станция завершает орбиту и возвращается к Бобу, он воссоединяется с Алисой. Теперь Алиса моложе Боба. ^[37] В дополнение к вращательному ускорению Боб должен замедлиться, чтобы стать неподвижным, а затем снова ускориться, чтобы соответствовать орбитальной скорости космической станции.

Отсутствие парадокса близнецов в абсолютной системе отсчета

Вывод Эйнштейна о фактической разнице в зарегистрированном времени часов (или старении) между воссоединившимися сторонами побудил Поля Ланжевена постулировать фактическую, хотя и экспериментально неразличимую, абсолютную систему отсчета:

В 1911 году Ланжевен писал: «Равномерное перемещение в эфире не имеет экспериментального смысла. Но из этого не следует делать вывод, как это иногда случалось преждевременно, что понятие эфира должно быть отвергнуто, что эфир не существует и недоступен эксперименту. Только равномерная скорость относительно него не может быть обнаружена, но любое изменение скорости... имеет абсолютный смысл» ^{[38] .}

В 1913 году были опубликованы посмертные «Последние эссе» Анри Пуанкаре , в которых он вновь изложил свою позицию: «Сегодня некоторые физики хотят принять новую конвенцию. Дело не в том, что они вынуждены это делать; они считают эту новую конвенцию более удобной; вот и все. А те, кто не придерживается этого мнения, могут законно сохранить старую». ^[39]

В теории относительности Пуанкаре и Хендрика Лоренца , которая предполагает абсолютную (хотя экспериментально неразличимую) систему отсчета, не возникает никакого парадокса, поскольку замедление хода часов (вместе с сокращением длины и скорости) рассматривается как реальность, отсюда и фактическая разница во времени между воссоединенными часами.

В этой интерпретации сторона, находящаяся в покое со всем космосом (находящаяся в покое с барицентром вселенной или в покое с возможным эфиром), будет иметь максимальную скорость отсчета времени и несокращенную длину. Все эффекты специальной теории относительности Эйнштейна (согласованная мера скорости света, а также симметрично измеренное замедление часов и сокращение длины в инерциальных системах отсчета) встают на свои места.

Эта интерпретация относительности, которую Джон А. Уилер называет «теорией эфира B (сокращение длины плюс сокращение времени)», не получила такой поддержки, как эйнштейновская, которая просто игнорировала любую более глубокую реальность, стоящую за симметричными измерениями в инерциальных системах отсчета. Не существует физического теста, который отличал бы одну интерпретацию от другой. ^[40]

В 2005 году Роберт Б. Лафлин (лауреат Нобелевской премии по физике, Стэнфордский университет) писал о природе пространства: «По иронии судьбы, самая творческая работа Эйнштейна, общая теория относительности, сводится к концептуализации пространства как среды, когда его изначальная предпосылка [в специальной теории относительности] состояла в том, что такой среды не существует... Слово «эфир» имеет крайне негативные коннотации в теоретической физике из-за его прошлой ассоциации с оппозицией относительности. Это прискорбно, потому что, лишенное этих коннотаций, оно довольно хорошо отражает то, как большинство физиков на самом деле думают о вакууме. ... Относительность на самом деле ничего не говорит о существовании или несуществовании материи, пронизывающей вселенную, а только о том, что любая такая материя должна иметь релятивистскую симметрию (т. е. измеренную)». ^[41]

В «Специальной теории относительности» (1968) А. П. Френч писал: «Однако следует отметить, что мы апеллируем к реальности ускорения А и к наблюдаемости инерционных сил, связанных с ним. Существовали бы такие эффекты, как парадокс близнецов (в частности — разница в отсчете времени между воссоединенными часами), если бы не было системы неподвижных звезд и далеких галактик? Большинство физиков сказали бы «нет». Наше окончательное определение инерциальной системы отсчета действительно может заключаться в том, что это система, имеющая нулевое ускорение по отношению к материи вселенной в целом». ^[42]

Смотрите также

• Парадокс космического корабля Белла
• Гипотеза часов
• Парадокс Эренфеста
• Герберт Дингл
• Парадокс лестницы
• Список парадоксов
• Парадокс Саппли
• Замедление времени
• Время для звезд

Первичные источники

1. Эйнштейн, Альберт (1905). «Об электродинамике движущихся тел». Annalen der Physik . 17 (10): 891 (конец §4). Bibcode :1905AnP...322..891E. doi : 10.1002/andp.19053221004 .
2. Эйнштейн, Альберт (1911). «Теория относительности». Naturforschende Gesellschaft, Цюрих, Vierteljahresschrift . 56 : 1–14.
3. Ланжевен, П. (1911), «Эволюция пространства и времени», Scientia , X : 31–54(перевод Дж. Б. Сайкса, 1973 г., с французского оригинала: «L'évolution de l'espace et du temps»).
4. фон Лауэ, Макс (1911). «Zwei Einwände gegen die Relativitätstheorie und ihre Widerlegung (Два возражения против теории относительности и их опровержение)». Physikalische Zeitschrift . 13 : 118–120.
5. фон Лауэ, Макс (1913). Das Relativitätsprinzip (Принцип относительности) (2-е изд.). Брауншвейг, Германия: Фридрих Видег. ОКЛК  298055497.
6. фон Лауэ, Макс (1913). «Das Relativitätsprinzip (Принцип относительности)». Ярбюхер философии . 1 : 99–128.
7. «Мы увидим, как этот абсолютный характер ускорения проявится в другой форме». («Nous allons voir se Manifer sous une autre forme ce caractère absolu de l'accélération»), стр. 82 Langevin 1911 г.
8. Эйнштейн, А. (1918), «Диалог о возражениях против теории относительности», Die Naturwissenschaften 48 , стр. 697–702, 29 ноября 1918 г.

Вторичные источники

1. "Астронавт Скотт Келли вернется из космоса, проведя год в космосе, будучи одновременно старше и моложе своего брата-близнеца". 15 марта 2015 г. Архивировано из оригинала 23 октября 2024 г. Получено 15 октября 2024 г.
2. Кроуэлл, Бенджамин (2000). Современная революция в физике (иллюстрированное издание). Свет и материя. стр. 23. ISBN 978-0-9704670-6-5.Выдержка из страницы 23
3. Serway, Raymond A.; Moses, Clement J.; Moyer, Curt A. (2004). Современная физика (3-е изд.). Cengage Learning. стр. 21. ISBN 978-1-111-79437-8.Выдержка из страницы 21
4. D'Auria, Riccardo; Trigiante, Mario (2011). От специальной теории относительности до диаграмм Фейнмана: курс теоретической физики элементарных частиц для начинающих (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. стр. 541. ISBN 978-88-470-1504-3.Выдержка из страницы 541
5. Оганян, Ханс К.; Руффини, Ремо (2013). Гравитация и пространство-время (3-е изд.). Cambridge University Press. стр. 176. ISBN 978-1-139-61954-7.Выдержка из страницы 176
6. Хоули, Джон Ф.; Холкомб, Кэтрин А. (2005). Основы современной космологии (иллюстрированное издание). Oxford University Press. стр. 203. ISBN 978-0-19-853096-1.Выдержка из страницы 203
7. П. Мохаззаби, К. Луо; Журнал прикладной математики и физики, 2021, 9, 2187-2192
8. Debs, Talal A.; Redhead, Michael LG (1996). «Парадокс близнецов и условность одновременности». American Journal of Physics . 64 (4): 384–392. Bibcode : 1996AmJPh..64..384D. doi : 10.1119/1.18252.
9. Миллер, Артур И. (1981). Специальная теория относительности Альберта Эйнштейна. Возникновение (1905) и ранняя интерпретация (1905–1911). Чтение: Эддисон–Уэсли. стр. 257–264. ISBN 0-201-04679-2.
10. Макс Джаммер (2006). Концепции одновременности: от античности до Эйнштейна и далее. Издательство Университета Джонса Хопкинса. стр. 165. ISBN 0-8018-8422-5.
11. Шутц, Бернард (2003). Гравитация с нуля: Вводное руководство по гравитации и общей теории относительности (иллюстрированное издание). Cambridge University Press. стр. 207. ISBN 978-0-521-45506-0.Выдержка из страницы 207
12. Баез, Джон (1996). «Может ли специальная теория относительности справиться с ускорением?» . Получено 30 мая 2017 г.
13. «Как теория относительности разрешает парадокс близнецов?». Scientific American .
14. Дэвид Холлидей и др., Основы физики , John Wiley and Sons, 1997
15. Пол Дэвис «О времени» , Touchstone 1995, стр. 59.
16. Джон Симонетти. «Часто задаваемые вопросы о специальной теории относительности — парадокс близнецов». Virginia Tech Physics . Получено 25 мая 2020 г.
17. Резник, Роберт (1968). "Дополнительная тема B: Парадокс близнецов". Введение в специальную теорию относительности . место: Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. стр. 201. ISBN 0-471-71725-8. LCCN  67031211.. через Августа Копффа , Хаймана Леви (переводчик), Математическая теория относительности (Лондон: Methuen & Co., Ltd., 1923), стр. 52, как цитируется по Г. Дж. Уитроу , Естественная философия времени (Нью-Йорк: Harper Torchbooks, 1961), стр. 215.
18. Дж. Б. Кеннеди (2014). Пространство, время и Эйнштейн: Введение (пересмотренное издание). Routledge. стр. 39. ISBN 978-1-317-48944-3.Выдержка из страницы 39
19. Ричард А. Молд (2001). Базовая теория относительности (иллюстрировано, под ред.). Springer Science & Business Media. стр. 39. ISBN 978-0-387-95210-9.Выдержка из страницы 39
20. E. Minguzzi (2005) - Дифференциальное старение от ускорения: явная формула - Am. J. Phys. 73 : 876-880 arXiv:physics/0411233 (Обозначения исходных переменных были адаптированы для соответствия этой статье.)
21. Джейн, Махеш С. (2009). Учебник инженерной физики, часть I. PHI Learning Pvt. стр. 74. ISBN 978-8120338623.Выдержка из страницы 74
22. Сардесаи, ПЛ (2004). Введение в теорию относительности. New Age International. С. 27–28. ISBN 8122415202.Выдержка из страницы 27
23. Оганян, Ганс (2001). Специальная теория относительности: современное введение . Лейквилл, Миннесота: Учебная программа и инструкция по физике. ISBN 0971313415.
24. Харрис, Рэнди (2008). Современная физика . Сан-Франциско, Калифорния: Pearson Addison-Wesley. ISBN 978-0805303087.
25. Rindler, W (2006). Введение в специальную теорию относительности . Оксфорд, Великобритания: Oxford University Press. ISBN 9780198567318.
26. Weidner, Richard (1985). Физика . Needham Heights, MA: Allyn and Bacon. ISBN 0205111556.
27. Эйнштейн, А., Лоренц, HA, Минковский, Х. и Вейль, Х. (1923). Арнольд Зоммерфельд . ​​ред. Принцип относительности. Dover Publications: Минеола, Нью-Йорк. стр. 38–49.
28. Когут, Джон Б. (2012). Введение в теорию относительности: для физиков и астрономов. Academic Press. стр. 35. ISBN 978-0-08-092408-3.Выдержка из страницы 35
29. Maudlin, Tim (2012). Философия физики: пространство и время . Принстон: Princeton University Press. стр. 77–83. ISBN 9780691143095.
30. Wheeler, J., Taylor, E. (1992). Физика пространства-времени, второе издание. WH Freeman: Нью-Йорк, стр. 38, 170-171.
31. Эйнштейн, А., Лоренц, HA, Минковский, Х. и Вейль, Х. (1923). Арнольд Зоммерфельд. ​​ред. Принцип относительности. Dover Publications: Mineola, NY. стр. 38.
32. Уильям Герайнт Воган Россер (1991). Введение в специальную теорию относительности, Taylor & Francis Inc., США, стр. 67-68.
33. Тейлор, Эдвин Ф.; Уилер, Джон Арчибальд (1992). Физика пространства-времени (2-е, иллюстрированное издание). WH Freeman. стр. 150. ISBN 978-0-7167-2327-1.
34. Джонс, Престон; Ванекс, Л. Ф. (февраль 2006 г.). «Парадокс часов в статическом однородном гравитационном поле». Foundations of Physics Letters . 19 (1): 75–85. arXiv : physics/0604025 . Bibcode : 2006FoPhL..19...75J. doi : 10.1007/s10702-006-1850-3. S2CID  14583590.
35. Долби, Карл Э. и Гулл, Стивен Ф. (2001). «О времени радара и двойном «парадоксе»". Американский журнал физики . 69 (12): 1257–1261. arXiv : gr-qc/0104077 . Bibcode : 2001AmJPh..69.1257D. doi : 10.1119/1.1407254. S2CID  119067219.
36. C. Lagoute и E. Davoust (1995) Межзвездный путешественник, Am. J. Phys. 63 :221-227
37. Майкл Пол Хобсон, Джордж Эфстатиу , Энтони Н. Ласенби (2006). Общая теория относительности: Введение для физиков. Cambridge University Press. стр. 227. ISBN 0-521-82951-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)См. упражнение 9.25 на стр. 227.
38. Ланжевен, П. (1911), «Эволюция пространства и времени», Scientia, X: стр.47 (перевод Дж. Б. Сайкса, 1973).
39. Пуанкаре, Анри. (1913), Математика и естествознание: последние очерки ( Dernières pensées ).
40. Уилер, Дж., Тейлор, Э. (1992). Физика пространства-времени, второе издание. WH Freeman: Нью-Йорк, стр. 88.
41. Лафлин, Роберт Б. (2005). Другая Вселенная: переосмысление физики снизу вверх. Basic Books, Нью-Йорк, Нью-Йорк. С. 120–121.
42. Френч, AP (1968). Специальная теория относительности. WW Norton, Нью-Йорк. стр. 156.

Дальнейшее чтение

Идеальные часы

Идеальные часы — это часы, действие которых зависит только от их мгновенной скорости и не зависит от какого-либо ускорения часов.

• Вольфганг Риндлер (2006). «Замедление времени». Относительность: специальная, общая и космологическая . Oxford University Press. стр. 43. ISBN 0-19-856731-6.

Гравитационное замедление времени; замедление времени при круговом движении

• Джон А. Пикок (2001). Космологическая физика. Cambridge University Press. стр. 8. ISBN 0-521-42270-1.
• Сильвио Бонометто; Витторио Горини; Уго Мошелла (2002). Современная космология. ЦРК Пресс. п. 12. ISBN 0-7503-0810-9.
• Патрик Корнилл (2003). Advanced Electromagnetism and Vacuum Physics. World Scientific. стр. 180. ISBN 981-238-367-0.

Внешние ссылки

• Обзор Twin Paradox Архивировано 24 сентября 2015 г. на Wayback Machine в разделе Usenet Physics FAQ
• Парадокс близнецов: парадоксальна ли симметрия замедления времени? Из Einsteinlight: Относительность в анимациях и видеоклипах.
• Анимация FLASH: от Джона де Пиллиса. (Сцена 1): «Вид» с точки зрения близнеца Земли. (Сцена 2): «Вид» с точки зрения путешествующего близнеца.
• Калькулятор науки относительности - Парадокс двойных часов