Парадокс Бурали-Форти

Парадокс в теории множеств

В теории множеств , области математики , парадокс Бурали-Форти демонстрирует, что построение «множества всех порядковых чисел » приводит к противоречию и, следовательно, показывает антиномию в системе, которая допускает его построение. Он назван в честь Чезаре Бурали-Форти , который в 1897 году опубликовал статью, доказывающую теорему, которая, ему неизвестная, противоречила ранее доказанному результату Кантора. Бертран Рассел впоследствии заметил это противоречие, и когда он опубликовал его в своей книге « Принципы математики» 1903 года , он заявил, что оно было предложено ему статьей Бурали-Форти, в результате чего оно стало известно под именем Бурали-Форти.

Изложено в терминах ординалов фон Неймана.

Мы докажем это от противного.

1. Пусть Ω — множество, состоящее из всех порядковых чисел.
2. Ω является транзитивным, потому что для каждого элемента x из Ω (который является порядковым числом и может быть любым порядковым числом) и каждого элемента y из x (т.е. согласно определению ординалов фон Неймана для каждого порядкового числа y < x ) мы имеем что y является элементом Ω , поскольку любое порядковое число содержит только порядковые числа по определению этой порядковой конструкции.
3. Ω хорошо упорядочен по отношению принадлежности, поскольку все его элементы также хорошо упорядочены по этому отношению.
4. Итак, на шагах 2 и 3 мы получаем, что Ω является порядковым классом, а на шаге 1 — порядковым числом, поскольку все порядковые классы, являющиеся множествами, также являются порядковыми числами.
5. Это означает, что Ω является элементом Ω .
6. Согласно определению ординалов фон Неймана, Ω < Ω — это то же самое, что Ω является элементом Ω . Последнее утверждение доказывается шагом 5.
7. Но ни один порядковый класс не меньше самого себя, включая Ω из-за шага 4 ( Ω — порядковый класс), т. е. Ω ≮ Ω .

Мы вывели два противоречивых предложения ( Ω < Ω и Ω ≮ Ω ) из множества Ω и, следовательно, опровергли, что Ω является множеством.

В более общем смысле

Версия парадокса, приведенная выше, является анахронизмом, поскольку она предполагает определение ординалов, данное Джоном фон Нейманом , согласно которому каждый ординал представляет собой набор всех предыдущих ординалов, что не было известно в то время, когда парадокс был сформулирован Бурали-Форти. . Вот версия с меньшим количеством предпосылок: предположим, что мы связываем с каждым хорошо упорядоченным объектом, называемым его типом порядка, неопределенным образом (типы порядка представляют собой порядковые числа). Типы порядка (порядковые номера) сами по себе хорошо упорядочены естественным образом, и этот порядок должен иметь тип порядка . В наивной теории множеств легко показать (и это остается верным в ZFC , но не в New Foundations ), что тип порядка всех порядковых чисел, меньших фиксированного, является самим собой. Таким образом, тип порядка всех порядковых чисел меньше самого себя. Но это означает, что , будучи типом порядка правильного начального сегмента ординалов, строго меньше типа порядка всех ординалов, но последний сам по определению является типом порядка. Это противоречие. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Если мы используем определение фон Неймана, согласно которому каждый порядковый номер идентифицируется как набор всех предыдущих порядковых номеров, парадокс неизбежен: оскорбительное утверждение о том, что тип порядка всех порядковых чисел меньше фиксированного, само по себе должно быть истинным. Совокупность ординалов фон Неймана, как и совокупность в парадоксе Рассела , не может быть множеством ни в одной теории множеств с классической логикой. Но совокупность типов порядка в «Новых основах» (определяемых как классы эквивалентности правильного упорядочения при сходстве) на самом деле представляет собой набор, и парадокса удается избежать, поскольку тип порядка ординалов меньше оказывается не равным . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Разрешение парадокса

Современные аксиомы формальной теории множеств, такие как ZF и ZFC, обходят эту антиномию, не допуская построения множеств с использованием таких терминов, как «все множества со свойством » ${\displaystyle P}$ , что возможно в наивной теории множеств и как это возможно с аксиомами Готлоба Фреге - в частности Основной закон V – в «Grundgesetze der Arithmetik». Система Куайна New Foundations (NF) использует другое решение . Россер (1942) показал, что в оригинальной версии системы Куайна «Математическая логика» (МЛ), являющейся продолжением «Новых основ», можно вывести парадокс Бурали-Форти, показав, что эта система противоречива. Пересмотр ML Куайном после открытия Россера не страдает этим дефектом, и действительно впоследствии Хао Ван доказал его эквивалентность ML .

Смотрите также

• Абсолютная бесконечность

Рекомендации

• Бурали-Форти, Чезаре (1897), «Una questionse sui numeri transfiniti», Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 11 : 154–164, doi : 10.1007/BF03015911, S2CID  121527917
• Ирвинг Копи (1958) «Парадокс Бурали-Форти», Philosophy of Science 25 (4): 281–286, doi : 10.1086/287617
• Мур, Грегори Х; Гарсиадиего, Алехандро (1981), «Парадокс Бурали-Форти: переоценка его происхождения», Historia Mathematica , 8 (3): 319–350, doi : 10.1016/0315-0860(81)90070-7
• Россер, Баркли (1942), «Парадокс Бурали-Форти», Журнал символической логики , 7 (1): 1–17, doi : 10.2307/2267550, JSTOR  2267550, MR  0006327, S2CID  13389728

Внешние ссылки

• Стэнфордская энциклопедия философии : «Парадоксы и современная логика» — Андреа Кантини.