Парадокс пьющего

Очевидный логический парадокс

Парадокс пьющего (также известный как теорема пьющего , принцип пьющего или принцип выпивки ) — теорема классической логики предикатов , которую можно сформулировать так: «В пабе есть кто-то, такой, что если он или она пьёт, то все в пабе пьют». Он был популяризирован математическим логиком Рэймондом Смаллианом , который назвал его «принципом выпивки» в своей книге 1978 года « Как называется эта книга?» ^[1]

Очевидно парадоксальная природа утверждения исходит из того, как оно обычно формулируется на естественном языке . Кажется нелогичным и то, что может быть человек, который заставляет других пить, и то, что может быть человек, такой, что в течение всей ночи один человек всегда будет пить последним . Первое возражение возникает из-за путаницы формальных утверждений «если, то» с причинно-следственной связью (см. Корреляция не подразумевает причинно-следственную связь или Логика релевантности для логик, которые требуют соответствующих отношений между посылкой и следствием, в отличие от классической логики, предполагаемой здесь). Формальное утверждение теоремы является вневременным, устраняя второе возражение, поскольку человек, для которого утверждение верно в один момент, не обязательно является тем же человеком, для которого оно верно в любой другой момент. ^{[ необходима цитата ]}

Формальное утверждение теоремы таково:

${\displaystyle \exists x\in P,[D(x)\rightarrow \forall y\in P,D(y)].\,}$

где D — произвольный предикат , а P — произвольное непустое множество.

Доказательства

Доказательство начинается с признания того, что либо все в пабе пьют, либо по крайней мере один человек в пабе не пьет. Следовательно, следует рассмотреть два случая: ^{[1] [2]}

1. Предположим, что все пьют. Для любого конкретного человека не может быть неправильным сказать, что если этот конкретный человек пьет, то все в пабе пьют — потому что все пьют. Поскольку все пьют, то этот человек должен пить, потому что когда этот человек пьет, все пьют, все включают этого человека. ^{[1] [2]}
2. В противном случае по крайней мере один человек не пьёт. Для любого непьющего человека утверждение , что если этот конкретный человек пьёт, то все в пабе пьют, формально истинно: его антецедент («этот конкретный человек пьёт») ложен, поэтому утверждение истинно из-за природы материальной импликации в формальной логике, которая гласит, что «Если P, то Q» всегда истинно, если P ложно. ^{[1] [2]} (Такого рода утверждения называются бессодержательно истинными .)

Немного более формальный способ выразить вышесказанное — сказать, что если все пьют, то любой может быть свидетелем справедливости теоремы. А если кто-то не пьет, то этот конкретный непьющий человек может быть свидетелем справедливости теоремы. ^[3]

Объяснение парадоксальности

Парадокс в конечном итоге основан на принципе формальной логики, согласно которому утверждение истинно всякий раз, когда А ложно, т. е. любое утверждение следует из ложного утверждения ^[1] ( ex falso quodlibet ). ${\displaystyle A\rightarrow B}$

Что важно для парадокса, так это то, что условное в классической (и интуиционистской) логике является материальным условным . Оно обладает свойством, которое истинно только если B истинно или если A ложно (в классической логике, но не в интуиционистской , это также является достаточным условием). ${\displaystyle A\rightarrow B}$

Таким образом, в данном случае утверждение «если они пьют, то все пьют» было воспринято как верное в одном случае, если все пили, и в другом случае, если они не пили, даже если их пьянство могло не иметь никакого отношения к пьянству кого-либо еще.

История и вариации

Смаллиан в своей книге 1978 года приписывает название «Принцип питья» своим аспирантам. ^[1] Он также обсуждает варианты (полученные путем замены D другими, более драматичными предикатами):

• «на земле есть женщина, которая, если станет бесплодной, весь род человеческий вымрет». Смаллиан пишет, что эта формулировка возникла из его разговора с философом Джоном Бэконом. ^[1]
• «Двойственная» версия Принципа: «существует по крайней мере один человек, такой, что если кто-то пьёт, то это он». ^[1]

Как «принцип „Пьющих“ Смаллиана» или просто «принцип пьющих» он появляется в работе Х. П. Барендрегта «Поиски правильности» (1996), сопровождаемый некоторыми машинными доказательствами. ^[2] С тех пор он регулярно появлялся в качестве примера в публикациях об автоматизированном рассуждении ; иногда его используют для противопоставления выразительности помощников доказательства . ^[4]

Непустой домен

В условиях, когда допускаются пустые домены, парадокс пьющего должен быть сформулирован следующим образом: ^[5]

Множество P удовлетворяет

${\displaystyle \exists x\in P.\ [D(x)\rightarrow \forall y\in P.\ D(y)]\,}$

тогда и только тогда, когда оно непусто.

Или словами:

Если и только если в пабе кто-то есть, то в пабе есть кто-то такой, что если он пьёт, то все в пабе пьют .

Смотрите также

• Список парадоксов
• Реификация (лингвистика)
• Временная логика
• Логика релевантности

Ссылки

1. Рэймонд Смаллиан (1978). Как называется эта книга? Загадка Дракулы и другие логические головоломки . Prentice Hall . глава 14. Как доказать что угодно. (тема) 250. Принцип выпивки. стр. 209-211. ISBN 0-13-955088-7.
2. HP Barendregt (1996). «В поисках правильности». Изображения SMC Research, 1996 г. (PDF) . Stichting Mathematich Centrum. стр. 54–55. ISBN 978-90-6196-462-9. Архивировано из оригинала (PDF) 2015-07-11 . Получено 2012-10-27 .
3. Питер Дж. Кэмерон (1999). Множества, логика и категории. Springer. стр. 91. ISBN 978-1-85233-056-9.
4. Freek Wiedijk. 2001. Mizar Light для HOL Light. В трудах 14-й Международной конференции по доказательству теорем в логиках высшего порядка (TPHOLs '01), Ричард Дж. Болтон и Пол Б. Джексон (редакторы). Springer-Verlag, Лондон, Великобритания, 378-394.
5. Мартин Эскардо; Пауло Олива. «Поисковые множества, компактность Дюбюка-Пеньона, принципы всеведения и парадокс пьющего» (PDF) . Вычислимость в Европе 2010: 2. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )