stringtranslate.com

Парадокс Паррондо

Парадокс Паррондо , парадокс в теории игр , описывается так: комбинация проигрышных стратегий становится выигрышной стратегией . [1] Он назван в честь своего создателя, Хуана Паррондо , который открыл парадокс в 1996 году. Более пояснительное описание:

Существуют пары игр, в каждой из которых вероятность проигрыша выше, чем вероятность выигрыша, и для которых можно построить выигрышную стратегию, играя в эти игры поочередно.

Паррондо придумал парадокс в связи с его анализом броуновского храповика , мысленного эксперимента о машине, которая якобы может извлекать энергию из случайных тепловых движений, популяризированного физиком Ричардом Фейнманом . Однако парадокс исчезает при строгом анализе. [2] Выигрышные стратегии, состоящие из различных комбинаций проигрышных стратегий, исследовались в биологии до того, как был опубликован парадокс Паррондо. [3]

Наглядные примеры

Простой пример

Рассмотрим две игры: Игра А и Игра Б , со следующими правилами:

  1. В игре А вы теряете 1 доллар каждый раз, когда играете.
  2. В игре B вы подсчитываете, сколько денег у вас осталось — если это четное число, вы выигрываете 3 доллара, в противном случае вы проигрываете 5 долларов.

Допустим, вы начинаете со 100 долларами в кармане. Если вы начнете играть исключительно в Игру А, вы, очевидно, потеряете все свои деньги за 100 раундов. Аналогично, если вы решите играть исключительно в Игру Б, вы также потеряете все свои деньги за 100 раундов.

Однако рассмотрите возможность играть в игры поочередно, начав с игры B, затем A, затем B и так далее (BABABA...). Должно быть легко увидеть, что вы будете стабильно зарабатывать в общей сложности $2 за каждые две игры.

Таким образом, даже несмотря на то, что каждая игра является проигрышной, если играть в нее по отдельности, поскольку на результаты игры B влияет игра A, последовательность, в которой играют игры, может повлиять на то, как часто игра B приносит вам деньги, и, следовательно, результат будет отличаться от случая, когда каждая из игр играется сама по себе.

Пример пилообразной формы

Рисунок 1

Рассмотрим пример, в котором есть две точки A и B, имеющие одинаковую высоту, как показано на рисунке 1. В первом случае у нас есть плоский профиль, соединяющий их. Здесь, если мы оставим несколько круглых шариков в середине, которые будут двигаться вперед и назад случайным образом, они будут катиться случайным образом, но к обоим концам с равной вероятностью. Теперь рассмотрим второй случай, когда у нас есть пилообразный профиль между двумя точками. Здесь также шарики будут катиться к любому концу в зависимости от локального наклона. Теперь, если мы наклоним весь профиль вправо, как показано на рисунке 2, совершенно ясно, что оба эти случая станут смещенными в сторону B.

Теперь рассмотрим игру, в которой мы чередуем два профиля, разумно выбирая время между переключением с одного профиля на другой.

Рисунок 2

Когда мы оставляем несколько шариков на первом профиле в точке E , они распределяются на плоскости, показывая предпочтительные движения к точке B. Однако, если мы применим второй профиль, когда некоторые шарики пересекли точку C , но ни один не пересек точку D , мы в конечном итоге получим большинство шариков обратно в точку E (откуда мы начали изначально), но некоторые также в долине по направлению к точке A, учитывая достаточное время для шариков, чтобы скатиться в долину. Затем мы снова применяем первый профиль и повторяем шаги (точки C , D и E теперь смещены на один шаг, чтобы соотнестись с конечной долиной, ближайшей к A ). Если ни один шарик не пересечет точку C до того, как первый шарик пересечет точку D , мы должны применить второй профиль незадолго до того, как первый шарик пересечет точку D , чтобы начать заново.

Из этого легко следует, что в конечном итоге у нас будут шарики в точке A , но ни одного в точке B. Следовательно, если мы определим наличие шариков в точке A как выигрыш, а наличие шариков в точке B как проигрыш, мы явно выиграем, попеременно (в правильно выбранное время) играя в две проигрышные игры.

Пример с подбрасыванием монеты

Третий пример парадокса Паррондо взят из области азартных игр. Рассмотрим две игры, Игру А и Игру В, со следующими правилами. Для удобства определим, что будет нашим капиталом в момент времени t , непосредственно перед игрой.

  1. Победа в игре приносит нам 1 доллар, а проигрыш требует от нас отдать 1 доллар. Из этого следует, что если мы выигрываем на шаге t и если мы проигрываем на шаге t .
  2. В Игре А мы подбрасываем несимметричную монету, Монету 1, с вероятностью выигрыша , где — некоторая малая положительная константа. Это явно проигрышная игра в долгосрочной перспективе.
  3. В игре B мы сначала определяем, является ли наш капитал кратным некоторому целому числу . Если это так, мы подбрасываем несимметричную монету, Монету 2, с вероятностью выигрыша . Если нет, мы подбрасываем другую несимметричную монету, Монету 3, с вероятностью выигрыша . Роль модуля обеспечивает периодичность, как в зубьях храповика.

Очевидно, что, играя в Игру А, мы почти наверняка проиграем в долгосрочной перспективе. Хармер и Эбботт [1] показывают с помощью моделирования, что если и Игра В также почти наверняка проигрышная игра. Фактически, Игра В представляет собой цепь Маркова , и анализ ее матрицы перехода состояний (снова при М=3) показывает, что вероятность использования монеты 2 в устойчивом состоянии составляет 0,3836, а вероятность использования монеты 3 составляет 0,6164. [4] Поскольку монета 2 выбирается почти в 40% случаев, она оказывает непропорционально большое влияние на выигрыш в Игре В и приводит к тому, что она становится проигрышной игрой.

Однако когда эти две проигрышные игры играются в некоторой чередующейся последовательности — например, две игры A, за которыми следуют две игры B (AABBAABB...), комбинация двух игр, как это ни парадоксально, является выигрышной игрой. Не все чередующиеся последовательности A и B приводят к выигрышным играм. Например, одна игра A, за которой следует одна игра B (ABABAB...), является проигрышной игрой, в то время как одна игра A, за которой следуют две игры B (ABBABB...), является выигрышной игрой. Этот пример с подбрасыванием монеты стал канонической иллюстрацией парадокса Паррондо — две игры, обе проигрышные, когда играются по отдельности, становятся выигрышной игрой, когда играются в определенной чередующейся последовательности.

Разрешение парадокса

Кажущийся парадокс был объяснен с помощью ряда сложных подходов, включая цепи Маркова, [5] мигающие храповики, [6] имитацию отжига , [7] и теорию информации. [8] Один из способов объяснить кажущийся парадокс заключается в следующем:

Роль теперь становится особенно заметной. Она служит исключительно для того, чтобы вызвать зависимость между Играми A и B, так что игрок с большей вероятностью войдет в состояния, в которых Игра B имеет положительное ожидание, что позволяет ему преодолеть потери от Игры A. С этим пониманием парадокс разрешается сам собой: отдельные игры проигрывают только при распределении, которое отличается от того, которое фактически встречается при игре в составную игру. Подводя итог, парадокс Паррондо является примером того, как зависимость может посеять хаос в вероятностных вычислениях, сделанных при наивном предположении независимости. Более подробное изложение этого момента, наряду с несколькими связанными примерами, можно найти у Филипса и Фельдмана. [9]

Приложения

Парадокс Паррондо широко используется в теории игр, а его применение в инженерии, динамике населения, [3] финансовом риске и т. д. является областями активных исследований. Игры Паррондо малопригодны на практике, например, для инвестирования в фондовые рынки [10], поскольку исходные игры требуют, чтобы выплата по крайней мере от одной из взаимодействующих игр зависела от капитала игрока. Однако игры не обязательно должны ограничиваться их первоначальной формой, и работа по обобщению этого явления продолжается. Были отмечены сходства с накачкой волатильности и проблемой двух конвертов [11] . Простые модели доходности ценных бумаг из учебников по финансам использовались для доказательства того, что отдельные инвестиции с отрицательной медианной долгосрочной доходностью можно легко объединить в диверсифицированные портфели с положительной медианной долгосрочной доходностью. [12] Аналогичным образом, модель, которая часто используется для иллюстрации правил оптимальных ставок, использовалась для доказательства того, что разделение ставок между несколькими играми может превратить отрицательную медианную долгосрочную доходность в положительную. [13] В эволюционной биологии как бактериальная случайная фазовая вариация [14] , так и эволюция менее точных сенсоров [15] были смоделированы и объяснены в терминах парадокса. В экологии периодическое чередование определенных организмов между кочевым и колониальным поведением было предложено как проявление парадокса. [16] Было интересное применение в моделировании многоклеточного выживания как следствие парадокса [17] и некоторые интересные дискуссии о его осуществимости. [18] [19] Приложения парадокса Паррондо можно также найти в теории надежности. [20]

Имя

В ранней литературе о парадоксе Паррондо обсуждалось, является ли слово «парадокс» подходящим описанием, учитывая, что эффект Паррондо можно понять в математических терминах. «Парадоксальный» эффект можно математически объяснить в терминах выпуклой линейной комбинации.

Однако Дерек Эбботт , ведущий исследователь по этой теме, дает следующий ответ относительно использования слова «парадокс» в этом контексте:

Действительно ли парадокс Паррондо является «парадоксом»? Этот вопрос иногда задают математики, тогда как физики обычно не беспокоятся о таких вещах. Первое, что следует отметить, это то, что «парадокс Паррондо» — это всего лишь название, как и « парадокс Браесса » или « парадокс Симпсона ». Во-вторых, как и в случае с большинством этих названных парадоксов, все они на самом деле являются кажущимися парадоксами. Люди опускают слово «кажущийся» в этих случаях, поскольку оно труднопроизносимо, и это в любом случае очевидно. Поэтому никто не утверждает, что это парадоксы в строгом смысле. В широком смысле парадокс — это просто что-то, что противоречит интуиции. Игры Паррондо, безусловно, противоречат интуиции — по крайней мере, пока вы не будете интенсивно изучать их в течение нескольких месяцев. Правда в том, что мы все еще продолжаем находить новые удивительные вещи, которые радуют нас, по мере того, как мы исследуем эти игры. У меня был один математик, который жаловался, что игры всегда были очевидны для него, и поэтому мы не должны использовать слово «парадокс». Он либо гений, либо никогда не понимал этого на самом деле. В любом случае, не стоит спорить с такими людьми. [21]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ ab Harmer, GP; Abbott, D. (1999). «Проигрышные стратегии могут выиграть благодаря парадоксу Паррондо». Nature . 402 (6764): 864. doi : 10.1038/47220 . S2CID  41319393.
  2. ^ Шу, Цзянь-Джун; Ван, К.-В. (2014). «За пределами парадокса Паррондо». Scientific Reports . 4 (4244): 4244. arXiv : 1403.5468 . Bibcode : 2014NatSR...4E4244S. doi : 10.1038/srep04244. PMC 5379438. PMID  24577586 . 
  3. ^ ab Jansen, VAA; Yoshimura, J. (1998). «Популяции могут сохраняться в среде, состоящей только из стоковых местообитаний». Труды Национальной академии наук США . 95 (7): 3696–3698. Bibcode : 1998PNAS ...95.3696J. doi : 10.1073/pnas.95.7.3696 . PMC 19898. PMID  9520428. .
  4. ^ Д. Майнор, «Парадокс Паррондо — надежда для неудачников!», The College Mathematics Journal 34(1) (2003) 15-20
  5. ^ Хармер, ГП; Эбботт, Д. (1999). «Парадокс Паррондо». Статистическая наука . 14 (2): 206–213. doi : 10.1214/ss/1009212247 .
  6. ^ GP Harmer, D. Abbott , PG Taylor и JMR Parrondo , в Proc. 2nd Int. Conf. Unsolved Problems of Noise and Fluctuations , D. Abbott и LB Kish , eds., American Institute of Physics, 2000
  7. ^ Хармер, ГП; Эбботт, Д .; Тейлор, ПГ (2000). «Парадокс игр Паррондо». Труды Лондонского королевского общества A. 456 ( 1994): 1–13. Bibcode : 2000RSPSA.456..247H. doi : 10.1098/rspa.2000.0516. S2CID  54202597.
  8. ^ GP Harmer, D. Abbott , PG Taylor, CEM Pearce и JMR Parrondo, Информационная энтропия и дискретный временной храповой механизм Паррондо , в Proc. Стохастическая и хаотическая динамика в озерах , Эмблсайд, Великобритания, PVE McClintock , ред., Американский институт физики, 2000
  9. ^ Томас К. Филипс и Эндрю Б. Фельдман, Парадокс Паррондо не парадоксален, Рабочие документы Исследовательской сети социальных наук (SSRN), август 2004 г.
  10. ^ Айенгар, Р.; Кохли, Р. (2004). «Почему парадокс Паррондо не имеет значения для теории полезности, покупки акций и возникновения жизни». Complexity . 9 (1): 23–27. doi :10.1002/cplx.10112.
  11. ^ Победа во время проигрыша: новая стратегия решает парадокс «двух конвертов» на Physorg.com
  12. ^ Штутцер, Майкл. «Парадокс диверсификации» (PDF) . Получено 28 августа 2019 г.
  13. ^ Штутцер, Майкл. "Простой парадокс Паррондо" (PDF) . Получено 28 августа 2019 г.
  14. ^ Вольф, Дениз М.; Вазирани, Виджай В.; Аркин, Адам П. (2005-05-21). «Разнообразие во времена невзгод: вероятностные стратегии в играх на выживание микробов». Журнал теоретической биологии . 234 (2): 227–253. Bibcode : 2005JThBi.234..227W. doi : 10.1016/j.jtbi.2004.11.020. PMID  15757681.
  15. ^ Чонг, Кан Хао; Тан, Зонг Сюань; Се, Нэн-ган; Джонс, Майкл К. (2016-10-14). «Парадоксальный эволюционный механизм в стохастически переключающихся средах». Scientific Reports . 6 : 34889. Bibcode :2016NatSR...634889C. doi :10.1038/srep34889. ISSN  2045-2322. PMC 5064378 . PMID  27739447. 
  16. ^ Тан, Зонг Сюань; Чонг, Кан Хао (13.01.2017). «Кочевые и колониальные стратегии жизни обеспечивают парадоксальное выживание и рост, несмотря на разрушение среды обитания». eLife . 6 : e21673. doi : 10.7554/eLife.21673 . ISSN  2050-084X. PMC 5319843 . PMID  28084993. 
  17. ^ Джонс, Майкл С.; Кох, Джин Мин; Чонг, Кан Хао (2018-06-05). «Многоклеточное выживание как следствие парадокса Паррондо». Труды Национальной академии наук . 115 (23): E5258–E5259. Bibcode : 2018PNAS..115E5258C. doi : 10.1073/pnas.1806485115 . ISSN  0027-8424. PMC 6003326. PMID 29752380  . 
  18. ^ Нельсон, Пол; Масел, Джоанна (2018-05-11). «Ответ Чонгу и др.: Выживание одноклеточных организмов исключает парадокс Паррондо». Труды Национальной академии наук . 115 (23): E5260. Bibcode : 2018PNAS..115E5260N. doi : 10.1073 /pnas.1806709115 . ISSN  0027-8424. PMC 6003321. PMID  29752383. 
  19. ^ Чонг, Кан Хао; Кох, Цзинь Мин; Джонс, Майкл С. (21.02.2019). «Играют ли арктические зайцы в игры Паррондо?». Fluctuation and Noise Letters . 18 (3): 1971001. Bibcode : 2019FNL....1871001C. doi : 10.1142/S0219477519710019. ISSN  0219-4775. S2CID  127161619.
  20. ^ Ди Крещенцо, Антонио (2007). «Парадокс Паррондо в теории надежности» (PDF) . The Mathematical Scientist . 32 (1): 17–22.[ постоянная мертвая ссылка ‍ ]
  21. ^ Эбботт, Дерек. «Официальная страница парадокса Паррондо». Университет Аделаиды. Архивировано из оригинала 21 июня 2018 г.

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки