Параллелепипед

Шестигранник с гранями параллелограмма

В геометрии параллелепипед — трёхмерная фигура, образованная шестью параллелограммами ( иногда в этом значении употребляется также термин ромбоид ). По аналогии, он относится к параллелограмму так же, как куб относится к квадрату . ^[a]

Три эквивалентных определения параллелепипеда :

• шестигранник с тремя парами параллельных граней,
• многогранник с шестью гранями ( гексаэдр ), каждая из которых является параллелограммом, и
• призма , основанием которой является параллелограмм .

Прямоугольный кубоид (шесть прямоугольных граней), куб (шесть квадратных граней) и ромбоэдр (шесть ромбовидных граней) являются частными случаями параллелепипеда.

«Параллепипед» сейчас обычно произносится / ˌ p ær ə ˌ l ɛ l ɪ ˈ p ɪ p ɪ d / или / ˌ p ær ə ˌ l ɛ l ɪ ˈ p aɪ p ɪ d / ; ^[1] традиционно это было / ˌ p ær ə l ɛ l ˈ ɛ p ɪ p ɛ d / PARR -ə-lel- EP -ih-ped ^[2] из-за его этимологии в греческом языке παραλληλεπίπεδον параллелепипед (с кратким -i- ), тело, «имеющее параллельные плоскости».

Параллелепипеды являются подклассом призматоидов .

Характеристики

Любую из трех пар параллельных граней можно рассматривать как базовые плоскости призмы. Параллелепипед имеет три набора по четыре параллельных ребра; ребра внутри каждого набора имеют одинаковую длину.

Параллелепипеды получаются в результате линейных преобразований куба (для невырожденных случаев: биективные линейные преобразования) .

Поскольку каждая грань имеет точечную симметрию , параллелепипед является зоноэдром . Также весь параллелепипед имеет точечную симметрию C _i (см. также триклинный ). Каждая грань, видимая снаружи, является зеркальным отражением противоположной грани. Грани в общем случае хиральны , но параллелепипед — нет.

Заполняющая пространство мозаика возможна с помощью конгруэнтных копий любого параллелепипеда.

Объем

Параллелепипед, образованный тремя векторами

Параллелепипед — это призма с параллелограммом в качестве основания. Следовательно, объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту (см. рисунок). С ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle h}$

• ${\displaystyle B=\left|\mathbf {a} \right|\cdot \left|\mathbf {b} \right|\cdot \sin \gamma =\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|}$(где — угол между векторами и ), а ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$
• ${\displaystyle h=\left|\mathbf {c} \right|\cdot \left|\cos \theta \right|}$(где - угол между вектором и нормалью к основанию), получаем: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$

$${\displaystyle V=B\cdot h=\left(\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \gamma \right)\cdot \left|\mathbf {c} \right|\left|\cos \theta \right|=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\left|\cos \theta \right|=\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|.}$$Смешанное произведение трех векторов называется тройным произведением . Его можно описать определителем . Следовательно, для объема: ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})^{\mathsf {T}},~\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})^{\mathsf {T}},~\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3})^{\mathsf {T}},}$

Другой способ доказательства ( V1 ) — использовать скалярную составляющую в направлении вектора : Результат следующий. ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}V=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|\left|\operatorname {scal} _{\mathbf {a} \times \mathbf {b} }\mathbf {c} \right|=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|{\frac {\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|}{\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|}}=\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|.\end{aligned}}}$$

Альтернативное представление объема использует только геометрические свойства (углы и длины ребер):

где , , , и — длины ребер. ${\displaystyle \alpha =\angle (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$ ${\displaystyle \beta =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )}$ ${\displaystyle \gamma =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ ${\displaystyle a,b,c}$

Доказательство ( V2 )

Доказательство ( V2 ) использует свойства определителя и геометрическую интерпретацию скалярного произведения :

Пусть — матрица 3×3, столбцы которой — векторы (см. выше). Тогда справедливо следующее: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}V^{2}&=\left(\det M\right)^{2}=\det M\det M=\det M^{\mathsf {T}}\det M=\det(M^{\mathsf {T}}M)\\&=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} \end{bmatrix}}\\&=\ a^{2}\left(b^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}\cos ^{2}(\alpha )\right)\\&\quad -ab\cos(\gamma )\left(ab\cos(\gamma )c^{2}-ac\cos(\beta )\;bc\cos(\alpha )\right)\\&\quad +ac\cos(\beta )\left(ab\cos(\gamma )bc\cos(\alpha )-ac\cos(\beta )b^{2}\right)\\&=\ a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}b^{2}c^{2}\cos ^{2}(\alpha )\\&\quad -a^{2}b^{2}c^{2}\cos ^{2}(\gamma )+a^{2}b^{2}c^{2}\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )\\&\quad +a^{2}b^{2}c^{2}\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-a^{2}b^{2}c^{2}\cos ^{2}(\beta )\\&=\ a^{2}b^{2}c^{2}\left(1-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\gamma )+\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )+\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\beta )\right)\\&=\ a^{2}b^{2}c^{2}\;\left(1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\right).\end{aligned}}}$$

(Последние шаги используют , ..., , , , ...) ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =a^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab\cos \gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {c} =ac\cos \beta }$ ${\displaystyle \mathbf {b} \cdot \mathbf {c} =bc\cos \alpha }$

Соответствующий тетраэдр

Объем любого тетраэдра , имеющего три общих ребра параллелепипеда, равен одной шестой объема этого параллелепипеда (см. доказательство ).

Площадь поверхности

Площадь поверхности параллелепипеда равна сумме площадей ограничивающих его параллелограммов: (Обозначения см. в предыдущем разделе.) $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=2\cdot \left(|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |+|\mathbf {a} \times \mathbf {c} |+|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |\right)\\&=2\left(ab\sin \gamma +bc\sin \alpha +ca\sin \beta \right).\end{aligned}}}$$

Особые случаи по симметрии

• Параллелепипед с симметрией О _h известен как куб , имеющий шесть конгруэнтных квадратных граней.
• Параллелепипед с симметрией D4h _{известен} как квадратный кубоид , имеющий две квадратные грани и четыре конгруэнтные прямоугольные грани.
• Параллелепипед с симметрией D3d _{известен} как тригональный трапецоэдр , имеющий шесть конгруэнтных ромбических граней (также называемый равногранным ромбоэдром ).
• Для параллелепипедов с симметрией D _2h возможны два случая:
  • Прямоугольный кубоид : имеет шесть прямоугольных граней (также называется прямоугольным параллелепипедом , а иногда просто кубоидом ).
  • Прямая ромбическая призма : имеет две ромбические грани и четыре конгруэнтные прямоугольные грани.

    Примечание: полностью ромбический частный случай с двумя ромбическими гранями и четырьмя конгруэнтными квадратными гранями имеет то же название и ту же группу симметрии (D2h _, порядок 8). ${\displaystyle (a=b=c)}$

• Для параллелепипедов с симметрией C _2h возможны два случая:
  • Прямая параллелограммная призма : имеет четыре прямоугольные грани и две параллелограммные грани.
  • Наклонная ромбическая призма : имеет две ромбические грани, а из остальных граней две смежные равны, а две другие также равны (две пары являются зеркальным отражением друг друга).

Идеальный параллелепипед

Идеальный параллелепипед — это параллелепипед с рёбрами, диагоналями граней и пространственными диагоналями целой длины . В 2009 году было показано, что существуют десятки идеальных параллелепипедов, ^[3] отвечая на открытый вопрос Ричарда Гая . Один пример имеет рёбра 271, 106 и 103, малые диагонали граней 101, 266 и 255, большие диагонали граней 183, 312 и 323 и пространственные диагонали 374, 300, 278 и 272.

Известны некоторые идеальные параллелепипеды с двумя прямоугольными гранями. Но неизвестно, существуют ли такие, у которых все грани прямоугольные; такой случай назывался бы идеальным кубоидом .

Параллелотоп

Коксетер назвал обобщение параллелепипеда в высших измерениях параллелотопом . В современной литературе термин параллелепипед часто используется и в высших (или произвольных конечных) измерениях. ^[4]

В частности, в n -мерном пространстве он называется n -мерным параллелоэдром или просто n -параллелоэдром (или n -параллелепипедом). Таким образом, параллелограмм является 2-параллелоэдром, а параллелепипед - 3-параллелоэдром.

Диагонали n -параллелоэдра пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Инверсия в этой точке оставляет n -параллелоэдр неизменным. См . также Неподвижные точки групп изометрий в евклидовом пространстве .

Ребра, исходящие из одной вершины k -параллелоэдра, образуют k -фрейм векторного пространства, и параллелоэдр может быть восстановлен из этих векторов, взяв линейные комбинации векторов с весами от 0 до 1. ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}$

Объем n -параллелоэдра , вложенного в , можно вычислить с помощью определителя Грама . В качестве альтернативы объем является нормой внешнего произведения векторов: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle m\geq n}$ $${\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|.}$$

Если m = n , то это равно абсолютному значению определителя матрицы, образованной компонентами n векторов.

Формула для вычисления объема n -параллелоэдра P в , n + 1 вершинами которого являются , имеет вид : где — вектор-строка, образованный конкатенацией компонентов и 1. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}}$ $${\displaystyle \mathrm {Vol} (P)=\left|\det \left(\left[V_{0}\ 1\right]^{\mathsf {T}},\left[V_{1}\ 1\right]^{\mathsf {T}},\ldots ,\left[V_{n}\ 1\right]^{\mathsf {T}}\right)\right|,}$$ ${\displaystyle [V_{i}\ 1]}$ ${\displaystyle V_{i}}$

Аналогично, объем любого n - симплекса , имеющего n общих сходящихся ребер параллелоэдра, равен одному 1/ n ! объема этого параллелоэдра.

Этимология

Термин параллелепипед происходит от древнегреческого παραλληλεπίπεδον ( parallēlepípedon , «тело с параллельными плоскими поверхностями»), от parallēl («параллельный») + epipedon («плоская поверхность»), от epi- («на») + pedon («земля»). Таким образом, грани параллелепипеда плоские, а противоположные грани параллельны. ^{[5] [6]}

В английском языке термин parallelipipedon засвидетельствован в переводе « Начал» Евклида 1570 года Генри Биллингсли . Написание parallelepipedum используется в издании 1644 года «Cursus mathematicus» Пьера Эригона . В 1663 году современный параллелепипед засвидетельствован в «Chorea gigantum» Уолтера Чарльтона . ^[5]

Словарь Чарльза Хаттона (1795) показывает параллелопипед и параллелопипедон , показывая влияние объединяющей формы parallelo- , как если бы второй элемент был pipedon, а не epipedon . Ной Вебстер (1806) включает написание parallelopiped . Издание Оксфордского английского словаря 1989 года явно описывает parallelopiped (и parallelipiped ) как неправильные формы, но они перечислены без комментариев в издании 2004 года, и даны только произношения с ударением на пятом слоге pi ( /paɪ/ ).

Смотрите также

• Списки фигур

Примечания

1. В евклидовой геометрии определены четыре понятия: параллелепипед и куб в трех измерениях, параллелограмм и квадрат в двух измерениях, но в контексте более общей аффинной геометрии , в которой углы не различаются, существуют только параллелограммы и параллелепипеды .

1. "параллелепипед". Dictionary.com Unabridged (Online). nd
2. Оксфордский словарь английского языка 1904 г.; Второй интернационал Вебстера 1947 г.
3. Sawyer, Jorge F.; Reiter, Clifford A. (2011). «Совершенные параллелепипеды существуют». Mathematics of Computation . 80 (274): 1037–1040. arXiv : 0907.0220 . doi :10.1090/s0025-5718-2010-02400-7. S2CID  206288198..
4. Морган, CL (1974). Вложение метрических пространств в евклидово пространство. Журнал геометрии, 5(1), 101–107. https://doi.org/10.1007/bf01954540
5. "параллелепипед". Оксфордский словарь английского языка . 1933.
6. parallhlepi/pedon. Лидделл, Генри Джордж ; Скотт, Роберт ; Греко-английский словарь в проекте «Персей» .

Ссылки

• Коксетер, HSM Regular Polytopes , 3-е изд. Нью-Йорк: Довер, стр. 122, 1973. (Он определяет параллелотоп как обобщение параллелограмма и параллелепипеда в n-мерном пространстве.)

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Параллелепипед». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Параллелотоп». MathWorld .
• Бумажная модель параллелепипеда (развертка)