В эллиптической геометрии две прямые являются параллельными Клиффорду или паратактическими прямыми , если перпендикулярное расстояние между ними постоянно от точки к точке. Концепция была впервые изучена Уильямом Кингдоном Клиффордом в эллиптическом пространстве и появляется только в пространствах по крайней мере трех измерений. Поскольку параллельные прямые обладают свойством равноудаленности, термин «параллельный» был заимствован из евклидовой геометрии , хотя «прямые» эллиптической геометрии являются геодезическими кривыми и, в отличие от прямых евклидовой геометрии , имеют конечную длину.
Алгебра кватернионов обеспечивает описательную геометрию эллиптического пространства, в которой параллелизм Клиффорда становится явным.
Прямые на 1 в эллиптическом пространстве описываются версорами с фиксированной осью r : [1]
Для произвольной точки u в эллиптическом пространстве две параллели Клиффорда к этой прямой проходят через u . Правая параллель Клиффорда — это
и левая параллель Клиффорда -
Первоначальное определение Клиффорда было криволинейными параллельными линиями, но эта концепция обобщается до параллельных объектов Клиффорда более чем одного измерения. [2] В 4-мерном евклидовом пространстве параллельные объекты Клиффорда 1, 2, 3 или 4 измерений связаны изоклиническими вращениями . Параллелизм Клиффорда и изоклинические вращения являются тесно связанными аспектами симметрий SO(4) , которые характеризуют правильные 4-многогранники .
Вращение одной линии вокруг другой, которой она параллельна по Клиффорду, создает поверхность Клиффорда.
Параллели Клиффорда, проходящие через точки на поверхности, все лежат на поверхности. Таким образом, поверхность Клиффорда является линейчатой поверхностью , поскольку каждая точка находится на двух прямых, каждая из которых содержится в поверхности.
При наличии двух квадратных корней из минус единицы в кватернионах , обозначенных как r и s , поверхность Клиффорда через них задается формулой [1] [3]
Параллели Клиффорда были впервые описаны в 1873 году английским математиком Уильямом Кингдоном Клиффордом . [4]
В 1900 году Гвидо Фубини написал докторскую диссертацию о параллелизме Клиффорда в эллиптических пространствах . [5]
В 1931 году Хайнц Хопф использовал параллели Клиффорда для построения карты Хопфа . [6]
В 2016 году Ганс Гавличек показал, что существует взаимно-однозначное соответствие между параллельностями Клиффорда и плоскостями, внешними по отношению к квадрике Клейна . [7]
