Параметр местоположения

Концепция в статистике

В статистике параметр местоположения распределения вероятностей — это скалярный или векторный параметр , который определяет «местоположение» или сдвиг распределения. В литературе по оценке параметров местоположения распределения вероятностей с таким параметром формально определяются одним из следующих эквивалентных способов: ${\displaystyle x_{0}}$

• либо как функция плотности вероятности , либо как функция массы вероятности ; ^[1] или ${\displaystyle f(x-x_{0})}$
• наличие кумулятивной функции распределения ; ^[2] или ${\displaystyle F(x-x_{0})}$
• определяется как результат преобразования случайной величины , где — случайная величина с определенным, возможно, неизвестным распределением ^[3] (см. также #Additive_noise). ${\displaystyle x_{0}+X}$ ${\displaystyle X}$

Прямым примером параметра местоположения является параметр нормального распределения . Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что функция плотности вероятности нормального распределения может быть вычтена из параметра и записана как: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f(x|\mu ,\sigma )}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle g(y-\mu |\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {y}{\sigma }}\right)^{2}}}$

таким образом выполняя первое из приведенных выше определений.

Приведенное выше определение указывает в одномерном случае, что при увеличении плотность вероятности или функция массы жестко смещаются вправо, сохраняя свою точную форму. ${\displaystyle x_{0}}$

Параметр местоположения также можно найти в семействах, имеющих более одного параметра, например в семействах масштаба местоположения . В этом случае функция плотности вероятности или функция массы вероятности будет частным случаем более общего вида

${\displaystyle f_{x_{0},\theta }(x)=f_{\theta }(x-x_{0})}$

где – параметр местоположения, θ представляет дополнительные параметры и представляет собой функцию, параметризованную на дополнительных параметрах. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f_{\theta }}$

Определение [4]

Пусть – любая функция плотности вероятности, и пусть и – любые заданные константы. Тогда функция ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma >0}$

${\displaystyle g(x|\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma }}f\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$

представляет собой функцию плотности вероятности.

Тогда семейство местоположений определяется следующим образом:

Пусть — любая функция плотности вероятности. Тогда семейство функций плотности вероятности называется семейством местоположения со стандартной функцией плотности вероятности , где называется параметром местоположения для семейства. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f(x-\mu ):\mu \in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mu }$

Аддитивный шум

Альтернативный подход к семействам местоположений основан на концепции аддитивного шума . Если — константа, а W — случайный шум с плотностью вероятности, то она имеет плотность вероятности , и поэтому его распределение является частью семейства местоположений. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f_{W}(w),}$ ${\displaystyle X=x_{0}+W}$ ${\displaystyle f_{x_{0}}(x)=f_{W}(x-x_{0})}$

Доказательства

Для непрерывного одномерного случая рассмотрим функцию плотности вероятности , где – вектор параметров. Параметр местоположения можно добавить, указав: ${\displaystyle f(x|\theta ),x\in [a,b]\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})=f(x-x_{0}|\theta ),\;x\in [a-x_{0},b-x_{0}]}$

можно доказать, что это PDF-файл, проверив, соответствует ли он двум условиям ^[5] и . интегрируется до 1, потому что: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})\geq 0}$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }g(x|\theta ,x_{0})dx=1}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }g(x|\theta ,x_{0})dx=\int _{a-x_{0}}^{b-x_{0}}g(x|\theta ,x_{0})dx=\int _{a-x_{0}}^{b-x_{0}}f(x-x_{0}|\theta )dx}$

теперь изменение переменной и соответствующее обновление интервала интегрирования дает: ${\displaystyle u=x-x_{0}}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(u|\theta )du=1}$

потому что это pdf по гипотезе. следует из совместного использования одного и того же изображения в формате PDF, поэтому его изображение содержится в формате . ${\displaystyle f(x|\theta )}$ ${\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})\geq 0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Смотрите также

• Главная тенденция
• Тест местоположения
• Инвариантная оценка
• Параметр масштаба
• Двухмоментные модели принятия решений

Рекомендации

1. Такеучи, Кей (1971). «Равномерно асимптотически эффективная оценка параметра местоположения». Журнал Американской статистической ассоциации . 66 (334): 292–301. дои : 10.1080/01621459.1971.10482258. S2CID  120949417.
2. Хубер, Питер Дж. (1992). «Надежная оценка параметра местоположения». Прорывы в статистике . Серия Спрингера по статистике. Спрингер: 492–518. дои : 10.1007/978-1-4612-4380-9_35. ISBN 978-0-387-94039-7.
3. Стоун, Чарльз Дж. (1975). «Адаптивные оценки максимального правдоподобия параметра местоположения». Анналы статистики . 3 (2): 267–284. дои : 10.1214/aos/1176343056 .
4. Казелла, Джордж; Бергер, Роджер (2001). Статистический вывод (2-е изд.). п. 116. ИСБН 978-0534243128.
5. Росс, Шелдон (2010). Введение в вероятностные модели . Амстердам Бостон: Академическая пресса. ISBN 978-0-12-375686-2. ОСЛК  444116127.