Параметрическая модель

Тип статистической модели

В статистике параметрическая модель или параметрическое семейство или конечномерная модель — это особый класс статистических моделей . В частности, параметрическая модель — это семейство распределений вероятностей , имеющее конечное число параметров.

Определение

Статистическая модель — это набор вероятностных распределений на некотором пространстве выборок . Мы предполагаем, что набор 𝒫 индексируется некоторым набором Θ . Набор Θ называется набором параметров или, чаще, пространством параметров . Для каждого θ  ∈ Θ пусть F _θ обозначает соответствующий член набора; поэтому F _θ — это кумулятивная функция распределения . Тогда статистическую модель можно записать как

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\big \{}F_{\theta }\ {\big |}\ \theta \in \Theta {\big \}}.}$

Модель является параметрической, если Θ ⊆ ℝ ^k для некоторого положительного целого числа k .

Когда модель состоит из абсолютно непрерывных распределений, она часто задается в терминах соответствующих функций плотности вероятности :

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\big \{}f_{\theta }\ {\big |}\ \theta \in \Theta {\big \}}.}$

Примеры

• Семейство распределений Пуассона параметризуется одним числом λ > 0 :

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ p_{\lambda }(j)={\tfrac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda },\ j=0,1,2,3,\dots \ {\Big |}\;\;\lambda >0\ {\Big \}},}$

где p _λ — функция массы вероятности . Это семейство является экспоненциальным семейством .

• Нормальное семейство параметризуется как θ = ( μ , σ ) , где μ ∈ ℝ — параметр местоположения, а σ > 0 — параметр масштаба:

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\tfrac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\ {\Big |}\;\;\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\ {\Big \}}.}$

Это параметризованное семейство является одновременно экспоненциальным семейством и семейством масштаба местоположения .

• Модель перевода Вейбулла имеет трехмерный параметр θ = ( λ , β , μ ) :

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {\beta }{\lambda }}\left({\tfrac {x-\mu }{\lambda }}\right)^{\beta -1}\!\exp \!{\big (}\!-\!{\big (}{\tfrac {x-\mu }{\lambda }}{\big )}^{\beta }{\big )}\,\mathbf {1} _{\{x>\mu \}}\ {\Big |}\;\;\lambda >0,\,\beta >0,\,\mu \in \mathbb {R} \ {\Big \}}.}$

• Биномиальная модель параметризуется как θ = ( n , p ) , где n — неотрицательное целое число, а p — вероятность (т.е. p ≥ 0 и p ≤ 1 ):

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ p_{\theta }(k)={\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}\,p^{k}(1-p)^{n-k},\ k=0,1,2,\dots ,n\ {\Big |}\;\;n\in \mathbb {Z} _{\geq 0},\,p\geq 0\land p\leq 1{\Big \}}.}$

Этот пример иллюстрирует определение модели с некоторыми дискретными параметрами.

Общие замечания

Параметрическая модель называется идентифицируемой , если отображение θ ↦ P _θ обратимо, т.е. не существует двух различных значений параметров θ ₁ и θ ₂ таких, что P _{θ 1}  = P _{θ 2} .

Сравнение с другими классами моделей

Параметрические модели противопоставляются полупараметрическим , полунепараметрическим и непараметрическим моделям , все из которых состоят из бесконечного набора «параметров» для описания. Различие между этими четырьмя классами заключается в следующем: ^{[ необходима цитата ]}

• в « параметрической » модели все параметры находятся в конечномерных параметрических пространствах;
• модель является « непараметрической », если все параметры находятся в бесконечномерных пространствах параметров;
• « полупараметрическая » модель содержит конечномерные интересующие параметры и бесконечномерные мешающие параметры ;
• « Полунипараметрическая » модель имеет как конечномерные, так и бесконечномерные неизвестные интересующие нас параметры.

Некоторые статистики полагают, что понятия «параметрический», «непараметрический» и «полупараметрический» неоднозначны. ^[1] Также можно отметить, что множество всех вероятностных мер имеет мощность континуума , и поэтому можно параметризовать любую модель одним числом в интервале (0,1). ^{[2] Этой трудности можно избежать} , рассматривая только «гладкие» параметрические модели.

Смотрите также

• Параметрическое семейство
• Параметрическая статистика
• Статистическая модель
• Спецификация статистической модели

Примечания

1. Ле Кам и Янг 2000, §7.4
2. Бикель и др. 1998, стр. 2

Библиография

• Бикель, Питер Дж .; Доксум, Кьелл А. (2001), Математическая статистика: основные и избранные темы , т. 1 (Второе (обновленное издание 2007 г.) издание), Prentice-Hall
• Бикель, Питер Дж .; Клаассен, Крис А.Дж.; Ритов, Яаков; Веллнер, Джон А. (1998), Эффективная и адаптивная оценка для полупараметрических моделей , Springer
• Дэвисон, AC (2003), Статистические модели , Cambridge University Press
• Ле Кам, Люсьен ; Янг, Грейс Ло (2000), Асимптотика в статистике: некоторые основные концепции (2-е изд.), Springer
• Леманн, Эрих Л.; Каселла , Джордж (1998), Теория точечной оценки (2-е изд.), Springer
• Лизе, Фридрих; Мишке, Клаус-Й. (2008), Статистическая теория принятия решений: оценка, тестирование и выбор , Springer
• Пфанцагль, Иоганн; при содействии Р. Хамбёкера (1994), Параметрическая статистическая теория , Вальтер де Грюйтер , MR  1291393