Нецентральные распределения — это семейства вероятностных распределений , которые связаны с другими «центральными» семействами распределений посредством параметра нецентральности . В то время как центральное распределение описывает, как распределяется тестовая статистика , когда тестируемая разница равна нулю , нецентральные распределения описывают распределение тестовой статистики, когда значение null ложно (поэтому альтернативная гипотеза верна). Это приводит к их использованию при расчете статистической мощности .
Если параметр нецентральности распределения равен нулю, это распределение идентично распределению в центральном семействе. [1] Например, t -распределение Стьюдента является центральным семейством распределений для нецентрального семейства t -распределений .
Параметры нецентральности используются в следующих распределениях:
В общем, параметры нецентральности встречаются в распределениях, которые являются преобразованиями нормального распределения . «Центральные» версии получены из нормальных распределений, среднее значение которых равно нулю; нецентральные версии обобщаются на произвольные средства. Например, стандартное (центральное) распределение хи-квадрат представляет собой распределение суммы квадратов независимых стандартных нормальных распределений, т. е. нормальных распределений со средним значением 0 и дисперсией 1. Нецентральное распределение хи-квадрат обобщает это на нормальные распределения с произвольным средним значением. и дисперсия.
Каждое из этих распределений имеет один параметр нецентральности. Однако существуют расширенные версии этих распределений, которые имеют два параметра нецентральности: дважды нецентральное бета-распределение, дважды нецентральное распределение F и дважды нецентральное t- распределение. [2] Эти типы распределений встречаются для распределений, которые определяются как частное двух независимых распределений. Когда оба исходных распределения являются центральными (либо с нулевым средним значением, либо с нулевым параметром нецентральности, в зависимости от типа распределения), результатом является центральное распределение. Когда один из них нецентрален, получается (единственное) нецентральное распределение, а если оба нецентральны, результатом является дважды нецентральное распределение. Например, t -распределение определяется (игнорируя постоянные значения) как частное нормального распределения и квадратный корень независимого распределения хи-квадрат . Расширение этого определения, чтобы охватить нормальное распределение с произвольным средним значением, дает нецентральное t-распределение , а дальнейшее расширение его, чтобы допустить нецентральное распределение хи-квадрат в знаменателе, в то же время дает дважды нецентральное t-распределение.
Существуют некоторые «нецентральные распределения», которые обычно не формулируются в терминах «параметра нецентральности»: см., например, нецентральные гипергеометрические распределения .
Параметр нецентральности t -распределения может быть отрицательным или положительным, в то время как нецентральные параметры трех других распределений должны быть больше нуля.