stringtranslate.com

Пара Рут–Аарон

В математике пара Рут–Аарона состоит из двух последовательных целых чисел (например, 714 и 715), для которых суммы простых множителей каждого целого числа равны:

714 = 2 × 3 × 7 × 17,
715 = 5 × 11 × 13,

и

2 + 3 + 7 + 17 = 5 + 11 + 13 = 29.

Существуют различные вариации определения в зависимости от того, сколько раз следует учитывать простые числа, которые встречаются несколько раз в разложении.

Название было дано Карлом Померансом Бейбу Руту и ​​Хэнку Аарону , поскольку общее количество хоумранов Рута в регулярном сезоне составило 714, рекорд, который Аарон побил 8 апреля 1974 года, когда он сделал свой 715-й хоумран в карьере. Померанс был математиком в Университете Джорджии в то время, когда Аарон (игрок близлежащей Atlanta Braves ) побил рекорд Рута, и студент одного из коллег Померанса заметил, что суммы простых множителей 714 и 715 были равны. [1]

Примеры

Если учитывать только отдельные простые множители , то первые несколько пар Рут–Аарона будут следующими:

( 5 , 6 ), ( 24 , 25 ), ( 49 , 50 ), ( 77 , 78 ), ( 104 , 105 ), ( 153 , 154 ), (369, 370), (492, 493), (714) , 715), (1682, 1683), (2107, 2108)

(Меньшее из каждой пары указано в OEIS : A006145 ).

Подсчитав повторяющиеся простые множители (например, 8 = 2×2×2 и 9 = 3×3, где 2+2+2 = 3+3), первые несколько пар Рут–Аарона будут следующими:

( 5 , 6 ), ( 8 , 9 ), ( 15 , 16 ), (77, 78), ( 125 , 126 ), (714, 715), (948, 949), (1330, 1331)

(Меньшее из каждой пары указано в OEIS : A039752 ).

Пересечение двух списков начинается так:

(5, 6), (77, 78), (714, 715), (5405, 5406).

(Меньшее из каждой пары указано в OEIS : A039753 ).

Любая пара Рут–Аарона целых чисел, свободных от квадратов, принадлежит обоим спискам с одинаковой суммой простых множителей. Пересечение также содержит пары, которые не являются свободными от квадратов, например (7129199, 7129200) = (7×11 2 ×19×443, 2 4 ×3×5 2 ×13×457). Здесь 7+11+19+443 = 2+3+5+13+457 = 480, а также 7+11+11+19+443 = 2+2+2+2+3+5+5+13+457 = 491.

Плотность

Пары Рут-Аарона разрежены (то есть их плотность равна 0). Это было высказано Нельсоном и др. в 1974 году [2] и доказано в 1978 году Полом Эрдёшем и Померансом. [3]

Тройняшки Рут–Аарон

Существуют также триплеты Рут–Аарона (перекрывающиеся пары Рут–Аарона). Первый и, возможно, второй при подсчете различных простых множителей:

89460294 = 2×3×7×11×23×8419,
89460295 = 5 × 4201 × 4259,
89460296 = 2×2×2×31×43×8389,
и 2 + 3 + 7 + 11 + 23 + 8419 = 5 + 4201 + 4259 = 2 + 31 + 43 + 8389 = 8465.
151165960539 = 3×11×11×83×2081×2411,
151165960540 = 2×2×5×7×293×1193×3089,
151165960541 = 23×29×157×359×4021,
и 3 + 11 + 83 + 2081 + 2411 = 2 + 5 + 7 + 293 + 1193 + 3089 = 23 + 29 + 157 + 359 + 4021 = 4589.

Первые две тройки Рут–Аарона при подсчете повторяющихся простых множителей:

417162 = 2×3×251×277,
417163 = 17 × 53 × 463,
417164 = 2×2×11×19×499,
и 2 + 3 + 251 + 277 = 17 + 53 + 463 = 2 + 2 + 11 + 19 + 499 = 533.
6913943284 = 2×2×37×89×101×5197,
6913943285 = 5×283×1259×3881,
6913943286 = 2×3×167×2549×2707,
и 2 + 2 + 37 + 89 + 101 + 5197 = 5 + 283 + 1259 + 3881 = 2 + 3 + 167 + 2549 + 2707 = 5428.

По состоянию на 2006 год известны только 4 вышеуказанных триплета. [ необходима ссылка ]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Аарон Намберс -- Numberphile
  2. ^ Нельсон, К.; Пенни, Д.Э.; и Померанс, К. «714 и 715». J. Recr. Math. 7, 87–89, 1974.
  3. ^ Эрдеш, П. и Померанс, К. «О крупнейших простых множителях n и n  + 1». Aequationes Mathematicae 17, 311–321, 1978.

Внешние ссылки