Патологический (математика)

Математические явления, свойства которых противоречат интуиции

Функция Вейерштрасса непрерывна всюду, но нигде не дифференцируема .

В математике , когда математическое явление противоречит некоторой интуиции, то явление иногда называют патологическим . С другой стороны, если явление не противоречит интуиции, его иногда называют благонравным или хорошим . Эти термины иногда полезны в математических исследованиях и преподавании, но строгого математического определения патологического или благонравного не существует. ^[1]

В анализе

Классическим примером патологии является функция Вейерштрасса , функция, которая непрерывна всюду, но нигде не дифференцируема . ^[1] Сумма дифференцируемой функции и функции Вейерштрасса снова непрерывна, но нигде не дифференцируема; поэтому таких функций по крайней мере столько же, сколько и дифференцируемых функций. Фактически, используя теорему Бэра о категории , можно показать, что непрерывные функции в общем случае нигде не дифференцируемы. ^[2]

Такие примеры считались патологическими, когда они были впервые обнаружены. Цитируя Анри Пуанкаре : ^[3]

Логика иногда порождает монстров. За полвека появилось множество странных функций, которые, кажется, стремятся иметь как можно меньше сходства с честными функциями, которые хоть как-то полезны. Больше никакой непрерывности, или же непрерывность, но никаких производных и т. д. Более того, с точки зрения логики именно эти странные функции являются наиболее общими; те, которые встречаются без поиска, больше не кажутся чем-то большим, чем частный случай, и им осталось совсем немного.

Раньше, когда изобреталась новая функция, то это делалось с какой-то практической целью. Теперь же их изобретают с целью показать ошибочность рассуждений наших предков, и мы никогда не добьемся от них чего-либо большего.

Если бы логика была единственным проводником учителя, ему пришлось бы начинать с самых общих, то есть с самых странных функций. Ему пришлось бы заставить новичка бороться с этим набором чудовищ. Если вы этого не сделаете, могли бы сказать логики, вы достигнете точности только постепенно.

—  Анри Пуанкаре , Наука и метод (1899), (перевод 1914 года), стр. 125

Со времен Пуанкаре было показано, что нигде не дифференцируемые функции появляются в основных физических и биологических процессах, таких как броуновское движение , а также в таких приложениях, как модель Блэка-Шоулза в финансах.

«Контрпримеры в анализе» — целая книга таких контрпримеров. ^[4]

Другим примером патологической функции является непрерывная функция Дюбуа-Реймона , которая не может быть представлена ​​в виде ряда Фурье . ^[5]

В голосовании и общественном выборе

Выборы, где системы голосования демонстрируют контринтуитивное или нежелательное поведение, часто называют патологическими. Эффект спойлера — хорошо известный пример электоральной патологии, поскольку результаты гонки между кандидатами A и B парадоксальным образом зависят от поведения или качества некоторого другого кандидата C.

Предпочтения или бюллетени на выборах также можно считать патологическими, если избиратели демонстрируют необычные предпочтения с контринтуитивными результатами. Наиболее заметной такой ситуацией является парадокс голосования , когда предпочтения группы, объединенные с использованием серии голосов большинства, дадут внутреннее противоречие. В качестве альтернативы может иметь место тирания большинства ; в таких ситуациях социально оптимальные и победители по правилу большинства могут конфликтовать друг с другом, заставляя избирательную систему выбирать между волей большинства и правами меньшинства. Однако на практике большинство патологических результатов выборов возникают не из-за таких «принудительных» выборов, а из-за плохо спроектированных избирательных систем.

Голосование по рейтингу ( единственный передаваемый голос ) часто описывается как необычайно патологическая функция социального выбора из-за ее тенденции исключать кандидатов, предпочитаемых большинством, за то, что они набрали слишком много голосов . ^{[6] [7] [8]}

В топологии

Одним из известных контрпримеров в топологии является рогатая сфера Александра , показывающая, что топологическое вложение сферы S ² в R ³ может не разделить пространство чисто. В качестве контрпримера это побудило математиков определить свойство приручаемости , которое подавляет дикое поведение , демонстрируемое рогатой сферой, диким узлом и другими подобными примерами. ^[9]

Как и многие другие патологии, рогатая сфера в некотором смысле играет на бесконечно тонкой, рекурсивно генерируемой структуре, которая в пределе нарушает обычную интуицию. В этом случае топология вечно нисходящей цепи взаимосвязанных петель непрерывных частей сферы в пределе полностью отражает топологию общей сферы, и можно было бы ожидать, что внешняя ее часть после встраивания будет работать так же. Но это не так: она не может быть просто связана .

Для получения базовой теории см. теорему Жордана–Шенфлиса .

«Контрпримеры в топологии» — целая книга таких контрпримеров. ^[10]

Хорошо себя вел

Математики (и специалисты в смежных науках) очень часто говорят о том, является ли математический объект — функция , множество , пространство того или иного вида — «хорошо себя ведущим» . Хотя этот термин не имеет фиксированного формального определения, он обычно относится к качеству удовлетворения перечня преобладающих условий, которые могут зависеть от контекста, математических интересов, моды и вкуса. Чтобы гарантировать, что объект «хорошо себя ведет», математики вводят дополнительные аксиомы, чтобы сузить область изучения. Это имеет преимущество в том, что упрощает анализ, но приводит к потере общности любых достигнутых выводов.

Как в чистой, так и в прикладной математике (например, оптимизации , численном интегрировании , математической физике ) хорошее поведение также означает отсутствие нарушения каких-либо предположений, необходимых для успешного применения любого обсуждаемого анализа.

Противоположный случай обычно называют «патологическим». Нередко встречаются ситуации, в которых большинство случаев (с точки зрения мощности или меры ) являются патологическими, но патологические случаи не будут возникать на практике, если только они не будут сконструированы намеренно.

Термин «хорошо себя ведет» обычно применяется в абсолютном смысле — либо что-то ведет себя хорошо, либо нет. Например:

• В алгоритмическом выводе хорошо себя ведет статистика, которая является монотонной, четко определенной и достаточной .
• В теореме Безу два многочлена ведут себя хорошо, и, таким образом, формула, даваемая теоремой для числа их пересечений, верна, если их наибольший общий делитель является константой.
• Мероморфная функция — это отношение двух хорошо ведущих себя функций в том смысле, что эти две функции являются голоморфными .
• Условия Каруша –Куна–Таккера являются необходимыми условиями первого порядка для того, чтобы решение в хорошо управляемой задаче нелинейного программирования было оптимальным; задача называется хорошо управляемой, если выполняются некоторые условия регулярности.
• В теории вероятности события, содержащиеся в соответствующей сигма-алгебре вероятностного пространства , ведут себя хорошо, как и измеримые функции.

Необычно, что этот термин может также применяться в сравнительном смысле:

• В исчислении :
  • Аналитические функции ведут себя лучше, чем общие гладкие функции .
  • Гладкие функции ведут себя лучше, чем общие дифференцируемые функции.
  • Непрерывные дифференцируемые функции ведут себя лучше, чем общие непрерывные функции. Чем больше раз функция может быть дифференцирована, тем она ведет себя лучше.
  • Непрерывные функции ведут себя лучше, чем функции, интегрируемые по Риману, на компактных множествах.
  • Интегрируемые по Риману функции ведут себя лучше, чем интегрируемые по Лебегу функции.
  • Интегрируемые по Лебегу функции ведут себя лучше, чем общие функции.
• В топологии непрерывные функции ведут себя лучше , чем разрывные.
  • Евклидово пространство ведет себя лучше, чем неевклидова геометрия .
  • Притягивающие неподвижные точки ведут себя лучше, чем отталкивающие неподвижные точки.
  • Топологии Хаусдорфа ведут себя лучше, чем топологии произвольной общей топологии .
  • Множества Бореля ведут себя лучше, чем произвольные наборы действительных чисел .
  • Пространства с целочисленной размерностью ведут себя лучше, чем пространства с фрактальной размерностью .
• В абстрактной алгебре :
  • Группы ведут себя лучше, чем магмы и полугруппы .
  • Абелевы группы ведут себя лучше, чем неабелевы группы.
  • Конечно-порожденные абелевы группы ведут себя лучше, чем неконечно-порожденные абелевы группы.
  • Конечномерные векторные пространства ведут себя лучше, чем бесконечномерные .
  • Поля ведут себя лучше, чем косые поля или общие кольца .
  • Разделяемые расширения поля ведут себя лучше, чем неразделяемые.
  • Нормированные алгебры с делением ведут себя лучше, чем общие композиционные алгебры.

Патологические примеры

Патологические примеры часто имеют некоторые нежелательные или необычные свойства, которые затрудняют их включение или объяснение в теорию. Такое патологическое поведение часто побуждает к новым исследованиям и изысканиям, которые приводят к новой теории и более общим результатам. Вот некоторые важные исторические примеры этого:

• Рейтинговое голосование обычно описывается как патологическая функция социального выбора из-за его тенденции исключать кандидатов, набравших слишком много голосов . ^[6]
• Открытие иррациональных чисел школой Пифагора в Древней Греции; например, длина диагонали единичного квадрата , то есть . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• Открытие комплексных чисел в XVI веке с целью нахождения корней кубических и четвертых полиномиальных функций .
• Некоторые числовые поля имеют кольца целых чисел , которые не образуют уникальную факторизационную область , например, расширенное поле . ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}$
• Открытие фракталов и других «грубых» геометрических объектов (см. Хаусдорфова размерность ).
• Функция Вейерштрасса , действительная функция на действительной прямой , которая непрерывна всюду, но нигде не дифференцируема . ^[1]
• Тестовые функции в реальном анализе и теории распределений, которые являются бесконечно дифференцируемыми функциями на действительной прямой, которые равны 0 всюду за пределами заданного ограниченного интервала . Примером такой функции является тестовая функция, $${\displaystyle \varphi (t)={\begin{cases}e^{-1/(1-t^{2})},&-1<t<1,\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$
• Множество Кантора — это подмножество интервала , имеющее меру ноль, но являющееся несчетным . ${\displaystyle [0,1]}$
• Толстое множество Кантора нигде не является плотным , но имеет положительную меру .
• Функция Фабия всюду гладкая , но нигде не аналитическая .
• Функция Вольтерра дифференцируема с ограниченной производной всюду, но производная не интегрируема по Риману .
• Кривая заполнения пространства Пеано представляет собой непрерывную сюръективную функцию, которая отображает единичный интервал на . ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$
• Функция Дирихле , которая является индикаторной функцией для рациональных чисел, является ограниченной функцией, которая не интегрируется по Риману .
• Функция Кантора — это монотонная непрерывная сюръективная функция, которая отображается на , но имеет нулевую производную почти всюду . ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$
• Функция Минковского со знаком вопроса непрерывна и строго возрастает, но имеет нулевую производную почти всюду.
• Классы удовлетворения, содержащие «интуитивно ложные» арифметические утверждения, могут быть построены для счетных , рекурсивно насыщенных моделей арифметики Пеано . [ ^{требуется ссылка ]}
• Кривая Осгуда — это кривая Жордана (в отличие от большинства заполняющих пространство кривых ) положительной площади .
• Экзотическая сфера гомеоморфна , но не диффеоморфна стандартной евклидовой n-сфере .

Во время их открытия каждый из них считался крайне патологическим; сегодня каждый из них был ассимилирован в современную математическую теорию. Эти примеры побуждают наблюдателей корректировать свои убеждения или интуицию, а в некоторых случаях требуют переоценки основополагающих определений и концепций. С течением истории они привели к более правильной, более точной и более мощной математике. Например, функция Дирихле интегрируема по Лебегу, а свертка с тестовыми функциями используется для аппроксимации любой локально интегрируемой функции гладкими функциями. ^{[Примечание 1]}

Является ли поведение патологическим, по определению зависит от личной интуиции. Патологии зависят от контекста, обучения и опыта, и то, что является патологическим для одного исследователя, может быть вполне стандартным поведением для другого.

Патологические примеры могут показать важность предположений в теореме. Например, в статистике распределение Коши не удовлетворяет центральной предельной теореме , хотя его симметричная колоколообразная форма кажется похожей на многие распределения, которые ей удовлетворяют; оно не удовлетворяет требованию иметь среднее значение и стандартное отклонение, которые существуют и являются конечными.

Некоторые из самых известных парадоксов , такие как парадокс Банаха-Тарского и парадокс Хаусдорфа , основаны на существовании неизмеримых множеств . Математики, если только они не занимают позицию меньшинства, отрицающего аксиому выбора , в целом смирились с тем, что живут с такими множествами. ^{[ необходима цитата ]}

Информатика

В информатике патологический имеет несколько иной смысл в отношении изучения алгоритмов . Здесь входные данные (или набор входных данных) называются патологическими, если они вызывают нетипичное поведение алгоритма, например, нарушение его средней сложности случая или даже его корректности. Например, хэш-таблицы обычно имеют патологические входные данные: наборы ключей, которые сталкиваются с хэш-значениями. Быстрая сортировка обычно имеет временную сложность, но ухудшается до , когда ей даются входные данные, которые вызывают неоптимальное поведение. ${\displaystyle O(n\log {n})}$ ${\displaystyle O(n^{2})}$

Термин часто используется уничижительно, как способ отвергнуть такие входы как специально разработанные для того, чтобы сломать рутину, которая в противном случае была бы разумной на практике (сравните с Byzantine ). С другой стороны, важно осознавать патологические входы, поскольку они могут быть использованы для проведения атаки типа «отказ в обслуживании» на компьютерную систему. Кроме того, термин в этом смысле является вопросом субъективного суждения, как и в других его смыслах. При достаточном времени выполнения, достаточно большом и разнообразном сообществе пользователей (или других факторах) вход, который может быть отвергнут как патологический, может фактически произойти (как это было видно в первом испытательном полете Ariane 5 ).

Исключения

Похожим, но отличным явлением является явление исключительных объектов (и исключительных изоморфизмов ), которое происходит, когда есть «небольшое» число исключений из общей закономерности (например, конечное множество исключений из в противном случае бесконечного правила). Напротив, в случаях патологии часто большинство или почти все случаи явления являются патологическими (например, почти все действительные числа иррациональны).

Субъективно исключительные объекты (такие как икосаэдр или спорадические простые группы ) обычно считаются «красивыми», неожиданными примерами теории, в то время как патологические явления часто считаются «уродливыми», как следует из названия. Соответственно, теории обычно расширяются, чтобы включить исключительные объекты. Например, исключительные алгебры Ли включены в теорию полупростых алгебр Ли : аксиомы рассматриваются как хорошие, исключительные объекты как неожиданные, но действительные.

Напротив, патологические примеры используются вместо того, чтобы указать на недостаток аксиом, требуя более сильных аксиом для их исключения. Например, требование послушности вложения сферы в проблему Шёнфлиса . В общем, можно изучать более общую теорию, включая патологии, которые могут предоставлять свои собственные упрощения (действительные числа имеют свойства, сильно отличающиеся от рациональных, и аналогично непрерывные отображения имеют свойства, сильно отличающиеся от гладких), но также и более узкую теорию, из которой были взяты исходные примеры.

Смотрите также

• Фрактальная кривая
• Список математического жаргона
• феномен Рунге
• явление Гиббса
• Парадоксальный набор

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Pathological". mathworld.wolfram.com . Получено 29.11.2019 .
2. "Категория Бэра и нигде не дифференцируемые функции (часть первая)". www.math3ma.com . Получено 29.11.2019 .
3. Клайн, Моррис (1990). Математическая мысль от древности до современности. Oxford University Press. стр. 973. OCLC  1243569759.
4. Гельбаум, Бернард Р. (1964). Контрпримеры в анализе. Джон М. Х. Олмстед. Сан-Франциско: Holden-Day. ISBN 0-486-42875-3. OCLC  527671.
5. Jahnke, Hans Niels (2003). История анализа . История математики. Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. стр. 187. ISBN 978-0-8218-2623-2.
6. Дорон, Гидеон; Кроник, Ричард (1977). «Единственный передаваемый голос: пример функции извращенного социального выбора». Американский журнал политической науки . 21 (2): 303–311. doi :10.2307/2110496. ISSN  0092-5853. JSTOR  2110496.
7. Фелсенталь, Дэн С.; Тайдман, Николаус (01.01.2014). «Взаимодействующий отказ двойной монотонности с направлением воздействия при пяти методах голосования». Математические социальные науки . 67 : 57–66. doi :10.1016/j.mathsocsci.2013.08.001. ISSN  0165-4896.
8. Нурми, Ханну (декабрь 1996 г.). «Это не просто отсутствие монотонности1». Представление . 34 (1): 48–52. doi :10.1080/00344899608522986. ISSN  0034-4893.
9. Weisstein, Eric W. "Alexander's Horned Sphere" (Рогатая сфера Александра). mathworld.wolfram.com . Получено 29.11.2019 .
10. Стин, Линн Артур (1995). Контрпримеры в топологии. J. Arthur Seebach. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-68735-X. OCLC  32311847.

Примечания

1. Приближения сходятся почти всюду и в пространстве локально интегрируемых функций.

Внешние ссылки

• Патологические структуры и фракталы – отрывок из статьи Фримена Дайсона «Характеристика нерегулярности», Science, май 1978 г.

В данной статье использованы материалы из pathological на PlanetMath , которые лицензированы в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .