Основное поле

Тип локального оператора в конформной теории поля

В теоретической физике первичное поле , также называемое первичным оператором или просто первичным , является локальным оператором в конформной теории поля , который аннулируется частью конформной алгебры, состоящей из понижающих генераторов. С точки зрения теории представлений первичное поле является оператором наименьшей размерности в данном представлении конформной алгебры . Все остальные операторы в представлении называются потомками ; они могут быть получены путем воздействия на первичное поле с повышающими генераторами.

История концепции

Первичные поля в D -мерной конформной теории поля были введены в 1969 году Маком и Саламом ^[1] , где они были названы интерполирующими полями . Затем их изучали Феррара, Гатто и Грилло ^[2], которые назвали их неприводимыми конформными тензорами , и Мак ^[3], который назвал их наименьшими весами . Поляков ^[4] использовал эквивалентное определение как полей, которые не могут быть представлены как производные других полей.

Современные термины первичные поля и потомки были введены Белавиным, Поляковым и Замолодчиковым ^[5] в контексте двумерной конформной теории поля . Эта терминология теперь используется как для D =2, так и для D >2.

Конформная теория поля вД>2 пространственно-временных измерения

В измерениях конформные первичные поля могут быть определены двумя эквивалентными способами. ^[6] ${\displaystyle d>2}$

Первое определение

Пусть будет генератором дилатаций и пусть будет генератором специальных конформных преобразований. Конформное первичное поле , в представлении группы Лоренца и с конформной размерностью удовлетворяет следующим условиям при  : ${\displaystyle {\hat {D}}}$ ${\displaystyle {\hat {K}}_{\mu }}$ ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{\rho }^{M}(x)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle x=0}$

1. ${\displaystyle \left[{\hat {D}},{\hat {\phi }}_{\rho }^{M}(0)\right]=-i\Delta {\hat {\phi }}_{\rho }^{M}(0)}$;
2. ${\displaystyle \left[{\hat {K}}_{\mu },{\hat {\phi }}_{\rho }^{M}(0)\right]=0}$.

Второе определение

Конформное первичное поле в представлении группы Лоренца и с конформной размерностью преобразуется при конформном преобразовании как ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{\rho }^{M}(x)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\mapsto \Omega ^{2}(x)\eta _{\mu \nu }}$

${\displaystyle {\hat {\phi '}}_{\rho }^{M}(x')=\Omega ^{\Delta }(x){\mathcal {D}}{\left[R(x)\right]^{M}}_{N}{\hat {\phi }}_{\rho }^{N}(x)}$

где и реализует действие в представлении . ${\displaystyle {R^{\mu }}_{\nu }(x)=\Omega ^{-1}(x){\frac {\partial x^{\mu }}{\partial x'^{\nu }}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}{\left[R(x)\right]^{M}}_{N}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle SO(d-1,1)}$ ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{\rho }^{M}(x)}$

Конформная теория поля вД=2 измерения

В двух измерениях конформные теории поля инвариантны относительно бесконечномерной алгебры Вирасоро с генераторами . Первичные операторы определяются как операторы, аннулируемые всеми с n >0, которые являются понижающими генераторами. Потомки получаются из первичных операторов путем действия с с n <0. ${\displaystyle L_{n},{\bar {L}}_{n},-\infty <n<\infty }$ ${\displaystyle L_{n},{\bar {L}}_{n}}$ ${\displaystyle L_{n},{\bar {L}}_{n}}$

Алгебра Вирасоро имеет конечномерную подалгебру, порожденную . Операторы, аннулируемые , называются квазипервичными. Каждое первичное поле является квазипервичным, но обратное неверно; на самом деле каждое первичное поле имеет бесконечно много квазипервичных потомков. Квазипервичные поля в двумерной конформной теории поля являются прямыми аналогами первичных полей в случае D >2 измерений. ${\displaystyle L_{n},{\bar {L}}_{n},-1\leq n\leq 1}$ ${\displaystyle L_{1},{\bar {L}}_{1}}$

Суперконформная теория поля[7]

В размерностях конформная алгебра допускает градуированные расширения, содержащие фермионные генераторы. Квантовые теории поля, инвариантные относительно таких расширенных алгебр, называются суперконформными. В суперконформных теориях поля рассматриваются суперконформные первичные операторы. ${\displaystyle D\leq 6}$

В измерениях суперконформные первичные операторы уничтожаются фермионными генераторами (по одному на каждый генератор суперсимметрии). Как правило, каждое суперконформное первичное представление будет включать несколько первичных операторов конформной алгебры, которые возникают при действии суперзарядов на суперконформный первичный оператор. Существуют также специальные киральные суперконформные первичные операторы, которые являются первичными операторами, уничтожаемыми некоторой комбинацией суперзарядов. ^[7] ${\displaystyle D>2}$ ${\displaystyle K_{\mu }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Q}$

В размерностях суперконформные теории поля инвариантны относительно супералгебр Вирасоро , которые включают бесконечно много фермионных операторов. Суперконформные первичные операторы уничтожаются всеми понижающими операторами, бозонными и фермионными. ${\displaystyle D=2}$

Границы унитарности

В унитарных (супер)конформных теориях поля размерности первичных операторов удовлетворяют нижним границам, называемым границами унитарности. ^{[8] [9]} Грубо говоря, эти границы говорят, что размерность оператора должна быть не меньше размерности аналогичного оператора в теории свободного поля. В четырехмерной конформной теории поля границы унитарности были впервые выведены Феррарой, Гатто и Грилло ^[10] и Маком. ^[3]

Ссылки

1. G Mack; Abdus Salam (1969). "Конечнокомпонентные полевые представления конформной группы". Annals of Physics . 53 (1): 174–202. Bibcode : 1969AnPhy..53..174M. doi : 10.1016/0003-4916(69)90278-4. ISSN  0003-4916.
2. Феррара, Серхио; Рауль Гатто; А. Ф. Грилло (1973). Конформная алгебра в пространстве-времени и операторное расширение произведения . Springer-Verlag. ISBN 9783540062165.
3. G. Mack (1977). "Все унитарные лучевые представления конформной группы SU(2, 2) с положительной энергией". Communications in Mathematical Physics . 55 (1): 1–28. doi :10.1007/bf01613145. S2CID  119941999 . Получено 2013-12-05 .
4. Поляков, AM (1974). "Негамильтонов подход к конформной квантовой теории поля". Советский журнал экспериментальной и теоретической физики . 39 : 10. Bibcode :1974JETP...39...10P. ISSN  1063-7761.
5. Белавин, А.А.; Поляков А.М.; Замолодчиков А.Б. (1984). «Бесконечная конформная симметрия в двумерной квантовой теории поля». Nuclear Physics B. 241 ( 2): 333–380. Bibcode :1984NuPhB.241..333B. doi :10.1016/0550-3213(84)90052-X. ISSN  0550-3213.
6. Кампос Дельгадо, Рубен (2022). «Об эквивалентности двух определений конформных первичных полей в d > 2 измерениях». Eur. Phys. J. Plus . 137 (9): 1038. arXiv : 2112.01837 . doi :10.1140/epjp/s13360-022-03228-y. S2CID  252258885.
7. Aharony, Ofer; Steven S. Gubser; Juan Maldacena; Hirosi Ooguri; Yaron Oz (2000). "Теории больших N полей, теория струн и гравитация". Physics Reports . 323 (3–4): 183–386. arXiv : hep-th/9905111 . Bibcode :2000PhR...323..183A. doi :10.1016/S0370-1573(99)00083-6. ISSN  0370-1573. S2CID  119101855 . Получено 05.12.2013 .
8. Минвалла, Шираз (1997). «Ограничения, налагаемые суперконформной инвариантностью на квантовые теории поля». Adv. Theor. Math. Phys . 2 : 781–846. arXiv : hep-th/9712074 . Получено 05.12.2013 .
9. Гринштейн, Бенджамин; Кеннет Интрилигатор; Айра З. Ротштейн (2008). «Комментарии о нечастицах». Physics Letters B. 662 ( 4): 367–374. arXiv : 0801.1140 . Bibcode : 2008PhLB..662..367G. doi : 10.1016/j.physletb.2008.03.020. ISSN  0370-2693. S2CID  5240874. Получено 05.12.2013 .
10. Феррара, С.; Р. Гатто; А. Грилло (1974). «Ограничение положительности аномальных измерений». Physical Review D. 9 ( 12): 3564–3565. Bibcode : 1974PhRvD...9.3564F. doi : 10.1103/PhysRevD.9.3564. ISSN  0556-2821 . Получено 05.12.2013 .