Первая вариация

В прикладной математике и вариационном исчислении первая вариация функционала J ( y ) определяется как линейный функционал, отображающий функцию h в ${\displaystyle \delta J(y)}$

${\displaystyle \delta J(y,h)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {J(y+\varepsilon h)-J(y)}{\varepsilon }}=\left.{\frac {d}{d\varepsilon }}J(y+\varepsilon h)\right|_{\varepsilon =0},}$

где y и h — функции, а ε — скаляр. Это можно узнать как производную Гато функционала.

Пример

Вычислите первую вариацию

${\displaystyle J(y)=\int _{a}^{b}yy'dx.}$

Из определения выше,

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta J(y,h)&=\left.{\frac {d}{d\varepsilon }}J(y+\varepsilon h)\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.{\frac {d}{d\varepsilon }}\int _{a}^{b}(y+\varepsilon h)(y^{\prime }+\varepsilon h^{\prime })\ dx\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.{\frac {d}{d\varepsilon }}\int _{a}^{b}(yy^{\prime }+y\varepsilon h^{\prime }+y^{\prime }\varepsilon h+\varepsilon ^{2}hh^{\prime })\ dx\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.\int _{a}^{b}{\frac {d}{d\varepsilon }}(yy^{\prime }+y\varepsilon h^{\prime }+y^{\prime }\varepsilon h+\varepsilon ^{2}hh^{\prime })\ dx\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.\int _{a}^{b}(yh^{\prime }+y^{\prime }h+2\varepsilon hh^{\prime })\ dx\right|_{\varepsilon =0}\\&=\int _{a}^{b}(yh^{\prime }+y^{\prime }h)\ dx\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Вариационное исчисление
• Функциональная производная