Внутренний продукт поверхности в 3D, индуцированный скалярным произведением
В дифференциальной геометрии первой фундаментальной формой является скалярное произведение в касательном пространстве к поверхности в трехмерном евклидовом пространстве , которое канонически индуцируется из скалярного произведения R 3 . Он позволяет рассчитывать кривизну и метрические свойства поверхности, такие как длина и площадь, в соответствии с окружающим пространством . Первая фундаментальная форма обозначается римской цифрой I ,
Определение
Пусть X ( u , v ) — параметрическая поверхность . Тогда скалярное произведение двух касательных векторов равно
EFGкоэффициенты первой фундаментальной формыПервую фундаментальную форму можно представить в виде симметричной матрицы .
Дальнейшие обозначения
Когда первая фундаментальная форма записана только с одним аргументом, она обозначает скалярное произведение этого вектора с самим собой.
Первую фундаментальную форму часто записывают в современных обозначениях метрического тензора . Тогда коэффициенты можно записать как g ij :
Компоненты этого тензора вычисляются как скалярное произведение касательных векторов X 1 и X 2 :
я , j знак равно 1, 2Вычисление длин и площадей
Первая фундаментальная форма полностью описывает метрические свойства поверхности. Таким образом, это позволяет рассчитывать длины кривых на поверхности и площади участков на поверхности. Линейный элемент ds может быть выражен через коэффициенты первой фундаментальной формы как
Классический элемент площади, заданный dA = | Икс ты × Икс v | du dv можно выразить через первую фундаментальную форму с помощью тождества Лагранжа ,
Пример: кривая на сфере
Сферическая кривая на единичной сфере в R 3 может быть параметризована как
X ( u , v )uv производныхДлина кривой на сфере
Экватор единичной сферы представляет собой параметризованную кривую, заданную формулой
tπПлощадь региона на сфере
Элемент площади можно использовать для расчета площади единичной сферы.
Гауссова кривизна
Гауссова кривизна поверхности определяется выражением
LMNфундаментальной формыТеорема Эгрегиум Гаусса утверждает , что гауссова кривизна поверхности может быть выражена исключительно через первую фундаментальную форму и ее производные, так что K фактически является внутренним инвариантом поверхности. Явное выражение гауссовой кривизны через первую фундаментальную форму даёт формула Бриоши .
Смотрите также
Внешние ссылки
- Первая фундаментальная форма — из Wolfram MathWorld