Законы движения Эйлера

Распространить законы движения Ньютона на твердые тела.

В классической механике законы движения Эйлера представляют собой уравнения движения , которые расширяют законы движения Ньютона для точечных частиц до движения твердого тела . ^[1] Они были сформулированы Леонардом Эйлером примерно через 50 лет после того, как Исаак Ньютон сформулировал свои законы.

Обзор

первый закон Эйлера

Первый закон Эйлера гласит, что скорость изменения импульса p твердого тела равна равнодействующей всех внешних сил F _ext , действующих на тело: ^[2]

${\displaystyle F_{\text{ext}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}.}$

Внутренние силы между частицами, составляющими тело, не способствуют изменению импульса тела, поскольку существует равная и противоположная сила, не приводящая к общему эффекту. ^[3]

Импульс твердого тела есть произведение массы тела на скорость его центра масс v _см . ^{[1] [4] [5]}

второй закон Эйлера

Второй закон Эйлера гласит, что скорость изменения углового момента L относительно точки, неподвижной в инерциальной системе отсчета (часто центра масс тела), равна сумме внешних моментов сил ( моментов ), действующих на этом теле M относительно этой точки: ^{[1] [4] [5]}

${\displaystyle \mathbf {M} ={d\mathbf {L} \over dt}.}$

Обратите внимание, что приведенная выше формула справедлива только в том случае, если и M , и L вычисляются относительно фиксированной инерциальной системы отсчета или системы, параллельной инерциальной системе отсчета, но фиксированной в центре масс. Для твердых тел, перемещающихся и вращающихся только в двух измерениях, это можно выразить как: ^[6]

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} _{\rm {cm}}\times \mathbf {a} _{\rm {cm}}m+I{\boldsymbol {\alpha }},}$

где:

• r _см — вектор положения центра масс тела относительно точки, относительно которой суммируются моменты,
• а _см — линейное ускорение центра масс тела,
• m – масса тела,
• α — угловое ускорение тела,
• I — момент инерции тела относительно его центра масс.

См. также уравнения Эйлера (динамика твердого тела) .

Объяснение и вывод

Распределение внутренних сил в деформируемом теле не обязательно одинаково повсюду, т. е. напряжения изменяются от одной точки к другой. Это изменение внутренних сил по всему телу регулируется вторым законом Ньютона о сохранении линейного момента и углового момента , который в простейшем случае применяется к частице массы, но в механике сплошной среды распространяется на тело с непрерывно распределенной массой. Для сплошных тел эти законы называются законами движения Эйлера . ^[7]

Общая сила тела, приложенная к сплошному телу с массой m , плотностью массы ρ и объемом V , представляет собой объемный интеграл, проинтегрированный по объему тела:

${\displaystyle \mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV}$

где b — сила, действующая на тело на единицу массы ( размеры ускорения, ошибочно называемые «массовой силой»), а dm = ρ dV — бесконечно малый элемент массы тела.

Объемные силы и контактные силы, действующие на тело, приводят к соответствующим моментам ( крутящим моментам ) этих сил относительно данной точки. Таким образом, общий приложенный крутящий момент M относительно начала координат определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}}$

где M _B и MC соответственно обозначают моменты _, вызванные корпусной и контактной силами.

Таким образом, сумму всех приложенных сил и моментов (относительно начала системы координат), действующих на тело, можно представить как сумму объемного и поверхностного интеграла :

${\displaystyle \mathbf {F} =\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{V}\mathbf {a} \rho \,dV=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV}$

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV.}$

где t = t ( n ) называется поверхностной тягой , интегрированной по поверхности тела, в свою очередь n обозначает единичный вектор, нормаль и направленный наружу к поверхности S.

Пусть система координат ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) — инерциальная система отсчета , r — вектор положения точечной частицы в сплошном теле относительно начала системы координат, а v =д р/дтбыть вектором скорости этой точки.

Первая аксиома или закон Эйлера (закон баланса импульсов или баланса сил) гласит, что в инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса p произвольной части сплошного тела равна суммарной приложенной силе F , действующей на эту часть, и она выражается как

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}&=\mathbf {F} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV.\end{aligned}}}$

Вторая аксиома или закон Эйлера (закон баланса угловых моментов или баланса крутящих моментов) гласит, что в инерциальной системе отсчета скорость изменения углового момента L произвольной части сплошного тела равна суммарному приложенному крутящему моменту M, действующему на эту часть, и она выражается как

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&=\mathbf {M} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV.\end{aligned}}}$

где скорость, объем и производные p и L являются материальными производными . ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle V}$

Смотрите также

• Список тем, названных в честь Леонарда Эйлера
• Законы Эйлера вращения твердого тела
• Уравнения движения Ньютона – Эйлера с 6 компонентами, объединяющие два закона Эйлера в одно уравнение.

Рекомендации

1. МакГилл и Кинг (1995). Инженерная механика, Введение в динамику (3-е изд.). Издательская компания ПВС. ISBN 0-534-93399-8.
2. Уравнения движения твердого тела. Проверено 6 июня 2021 г.
3. Грей, Гэри Л.; Костанцо, Плеша (2010). Инженерная механика: Динамика . МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-282871-9.
4. Законы движения Эйлера . Проверено 30 марта 2009 г.
5. Рао, Анил Витала (2006). Динамика частиц и твердых тел. Издательство Кембриджского университета. п. 355. ИСБН 978-0-521-85811-3.
6. Руина, Энди; Рудра Пратап (2002). Введение в статику и динамику (PDF) . Издательство Оксфордского университета. п. 771 . Проверено 18 октября 2011 г.
7. Люблинер, Джейкоб (2008). Теория пластичности (PDF) (пересмотренная ред.). Дуврские публикации. стр. 27–28. ISBN 978-0-486-46290-5. Архивировано из оригинала (PDF) 31 марта 2010 г.