В математике колено кривой (или локоть кривой ) — это точка, где кривая заметно изгибается, в частности, от высокого наклона к низкому наклону (плоскому или близкому к плоскому) или в другом направлении. Это особенно используется в оптимизации , где точка колена является оптимальной точкой для некоторого решения, например, когда есть возрастающая функция и компромисс между выгодой (вертикальная ось y ) и затратами (горизонтальная ось x ): колено — это точка, где выгода больше не растет быстро и больше не стоит затрат на дальнейшее увеличение — точка отсечения убывающей доходности .
В эвристическом использовании термин может использоваться неформально, а точка перегиба может быть идентифицирована визуально, но в более формальном использовании используется явная целевая функция , и зависит от конкретной задачи оптимизации. Перегиб также может быть определен чисто геометрически, в терминах кривизны или второй производной .
Колено кривой можно определить как вершину графика. Это соответствует графической интуиции (там, где кривизна имеет максимум), но зависит от выбора масштаба.
Термин «колено» применительно к кривым появился, по крайней мере, в 1910-х годах [1] и стал более распространённым к 1940-м годам [2] , будучи достаточно распространённым, чтобы вызвать критику. [3] [4] Полный словарь Вебстера (издание 1971 года) даёт следующее определение термина «колено» : [5]
резкое изменение направления кривой (как на графике); особенно приближающееся по форме к прямому углу.
Графические представления о «колене» кривой, основанные на кривизне, критикуются из-за их зависимости от масштаба координат: разный выбор масштаба приводит к тому, что разные точки становятся «коленом». Эта критика датируется по крайней мере 1940-ми годами, ее можно найти у Уортинга и Геффнера (1943, Предисловие), которые критикуют: [4]
ссылки на значение так называемого колена кривой, когда местоположение колена зависело от выбранных масштабов координат
Алгоритм Kneedle Алгоритм определяет наилучший сбалансированный компромисс на основе математической концепции кривизны , которая определена и хорошо изучена для непрерывных функций. [6] [7] В качестве альтернативы можно использовать функцию kneepointDetection() [8] из пакета SamSPECTRAL [9] R для поиска точки перегиба, где есть «изменение фазы» в данных, путем подгонки двух линий с использованием линейной регрессии.
... позволяет определить, насколько близко к «колену» кривой находится железо...
... излом кривой лежит в области критической нагрузки ...