Передаточная функция

Функция, определяющая поведение компонента в электронной или управляющей системе

В инженерии передаточная функция ( также известная как системная функция ^[1] или сетевая функция ) системы, подсистемы или компонента — это математическая функция , которая моделирует выход системы для каждого возможного входа. ^{[2] [3] [4]} Она широко используется в электронных инженерных инструментах, таких как симуляторы цепей и системы управления . В простых случаях эта функция может быть представлена ​​в виде двумерного графика независимого скалярного входа по сравнению с зависимым скалярным выходом (известного как передаточная кривая или характеристическая кривая ). Передаточные функции для компонентов используются для проектирования и анализа систем, собранных из компонентов, в частности, с использованием техники блок-схем , в электронике и теории управления .

Размеры и единицы передаточной функции моделируют выходной отклик устройства для диапазона возможных входов. Передаточная функция двухпортовой электронной схемы, такой как усилитель , может быть двумерным графиком скалярного напряжения на выходе как функции скалярного напряжения, приложенного к входу; передаточная функция электромеханического привода может быть механическим смещением подвижного рычага как функцией электрического тока, приложенного к устройству; передаточная функция фотодетектора может быть выходным напряжением как функцией силы света падающего света заданной длины волны .

Термин «передаточная функция» также используется в частотном анализе систем, использующих методы преобразования, такие как преобразование Лапласа ; это амплитуда выходного сигнала как функция частоты входного сигнала. Передаточная функция электронного фильтра — это амплитуда на выходе как функция частоты синусоидальной волны постоянной амплитуды, подаваемой на вход. Для оптических устройств формирования изображений оптическая передаточная функция — это преобразование Фурье функции рассеяния точки (функции пространственной частоты ).

Линейные системы, не зависящие от времени

Передаточные функции обычно используются при анализе систем, таких как фильтры с одним входом и одним выходом в обработке сигналов , теории связи и теории управления . Этот термин часто используется исключительно для обозначения линейных инвариантных во времени (LTI) систем. Большинство реальных систем имеют нелинейные характеристики ввода-вывода, но многие системы, работающие в пределах номинальных параметров (не перегруженные), имеют поведение, достаточно близкое к линейному, так что теория систем LTI является приемлемым представлением их поведения ввода-вывода.

Непрерывное время

Описания даются в терминах комплексной переменной , . Во многих приложениях достаточно установить (таким образом ), что сводит преобразования Лапласа с комплексными аргументами к преобразованиям Фурье с действительным аргументом ω. Это распространено в приложениях, в первую очередь интересующихся установившимся откликом системы LTI (часто в случае обработки сигналов и теории связи ), а не мимолетным переходным откликом включения и выключения или проблемами устойчивости. ${\displaystyle s=\sigma +j\cdot \omega }$ ${\displaystyle \sigma =0}$ ${\displaystyle s=j\cdot \omega }$

Для непрерывного во времени входного сигнала и выходного сигнала деление преобразования Лапласа выходного сигнала на преобразование Лапласа входного сигнала дает передаточную функцию системы : ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}$ ${\displaystyle X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}$ ${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}{{\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}}}$

что можно переформулировать следующим образом:

${\displaystyle Y(s)=H(s)\;X(s)\,.}$

Дискретное время

Дискретные сигналы могут быть обозначены как массивы, индексированные целым числом (например , для входа и для выхода). Вместо использования преобразования Лапласа (которое лучше подходит для непрерывных сигналов), дискретные сигналы обрабатываются с помощью z-преобразования (обозначается соответствующей заглавной буквой, например и ), поэтому передаточная функция дискретной системы может быть записана как: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle y[n]}$ ${\displaystyle X(z)}$ ${\displaystyle Y(z)}$

$${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {{\mathcal {Z}}\{y[n]\}}{{\mathcal {Z}}\{x[n]\}}}.}$$

Прямой вывод из дифференциальных уравнений

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

${\displaystyle L[u]={\frac {d^{n}u}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}u}{dt^{n-1}}}+\dotsb +a_{n-1}{\frac {du}{dt}}+a_{n}u=r(t)}$

где u и r — соответственно гладкие функции t , а L — оператор, определенный на соответствующем функциональном пространстве, преобразующий u в r . Такой вид уравнения можно использовать для ограничения выходной функции u в терминах принудительной функции r . Передаточная функция может использоваться для определения оператора , который служит правым обратным оператором L , что означает, что . ${\displaystyle F[r]=u}$ ${\displaystyle L[F[r]]=r}$

Решения однородного дифференциального уравнения с постоянным коэффициентом можно найти, попробовав . Эта подстановка дает характеристический полином ${\displaystyle L[u]=0}$ ${\displaystyle u=e^{\lambda t}}$

${\displaystyle p_{L}(\lambda )=\lambda ^{n}+a_{1}\lambda ^{n-1}+\dotsb +a_{n-1}\lambda +a_{n}\,}$

Неоднородный случай может быть легко решен, если входная функция r также имеет вид . Подставляя , если мы определим ${\displaystyle r(t)=e^{st}}$ ${\displaystyle u=H(s)e^{st}}$ ${\displaystyle L[H(s)e^{st}]=e^{st}}$

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{p_{L}(s)}}\qquad {\text{wherever }}\quad p_{L}(s)\neq 0.}$

Используются и другие определения передаточной функции, например ^[5] ${\displaystyle 1/p_{L}(ik).}$

Коэффициент усиления, переходное поведение и стабильность

Общий синусоидальный вход для системы частоты может быть записан . Реакция системы на синусоидальный вход, начинающийся в момент времени, будет состоять из суммы установившегося отклика и переходного отклика. Установившийся отклик является выходом системы в пределе бесконечного времени, а переходный отклик является разностью между откликом и установившимся откликом; он соответствует однородному решению дифференциального уравнения . Передаточная функция для системы LTI может быть записана как произведение: ${\displaystyle \omega _{0}/(2\pi )}$ ${\displaystyle \exp(j\omega _{0}t)}$ ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle H(s)=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{s-s_{P_{i}}}}}$

где s _{P i} — это N корней характеристического полинома, которые будут полюсами передаточной функции. В передаточной функции с одним полюсом , где , преобразование Лапласа общей синусоиды единичной амплитуды будет . Преобразование Лапласа выходного сигнала будет , а временной выходной сигнал будет обратным преобразованием Лапласа этой функции: ${\displaystyle H(s)={\frac {1}{s-s_{P}}}}$ ${\displaystyle s_{P}=\sigma _{P}+j\omega _{P}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{s-j\omega _{i}}}}$ ${\displaystyle {\frac {H(s)}{s-j\omega _{0}}}}$

${\displaystyle g(t)={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}-e^{(\sigma _{P}+j\,\omega _{P})t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}}$

Второй член в числителе — это переходная характеристика, и в пределе бесконечного времени она будет расходиться до бесконечности, если σ _P положительно. Чтобы система была устойчивой, ее передаточная функция не должна иметь полюсов, действительные части которых положительны. Если передаточная функция строго устойчива, действительные части всех полюсов будут отрицательными, а переходное поведение будет стремиться к нулю в пределе бесконечного времени. Установившийся выход будет:

${\displaystyle g(\infty )={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}}$

Частотная характеристика (или «усиление») G системы определяется как абсолютное значение отношения выходной амплитуды к установившейся входной амплитуде:

${\displaystyle G(\omega _{i})=\left|{\frac {1}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}\right|={\frac {1}{\sqrt {\sigma _{P}^{2}+(\omega _{P}-\omega _{0})^{2}}}},}$

что является абсолютным значением передаточной функции, оцененной при . Этот результат действителен для любого числа полюсов передаточной функции. ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle j\omega _{i}}$

Обработка сигнала

Если — входные данные для общей линейной стационарной системы , а — выходные данные, а двустороннее преобразование Лапласа и равно ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X(s)&={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}\,dt,\\Y(s)&={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-st}\,dt.\end{aligned}}}$

Выход связан с входом передаточной функцией следующим образом: ${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle Y(s)=H(s)X(s)}$

а сама передаточная функция

${\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}.}$

Если сложный гармонический сигнал с синусоидальной составляющей с амплитудой , угловой частотой и фазой , где arg — аргумент ${\displaystyle |X|}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \arg(X)}$

${\displaystyle x(t)=Xe^{j\omega t}=|X|e^{j(\omega t+\arg(X))}}$

где ${\displaystyle X=|X|e^{j\arg(X)}}$

является входом в линейную нестационарную систему, соответствующий компонент на выходе равен:

${\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&=Ye^{j\omega t}=|Y|e^{j(\omega t+\arg(Y))},\\Y&=|Y|e^{j\arg(Y)}.\end{aligned}}}$

В линейной системе, инвариантной во времени, входная частота не изменилась; только амплитуда и фазовый угол синусоиды были изменены системой. Частотная характеристика описывает это изменение для каждой частоты в терминах усиления ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle H(j\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle G(\omega )={\frac {|Y|}{|X|}}=|H(j\omega )|}$

и фазовый сдвиг

${\displaystyle \phi (\omega )=\arg(Y)-\arg(X)=\arg(H(j\omega )).}$

Фазовая задержка (частотно-зависимая величина задержки, вносимая в синусоиду передаточной функцией) равна

${\displaystyle \tau _{\phi }(\omega )=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}.}$

Групповая задержка (частотно-зависимая величина задержки, вносимая в огибающую синусоиды передаточной функцией) находится путем вычисления производной фазового сдвига по угловой частоте , ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}.}$

Передаточную функцию можно также показать с помощью преобразования Фурье , частного случая двустороннего преобразования Лапласа , где . ${\displaystyle s=j\omega }$

Распространенные семейства передаточных функций

Хотя любая система LTI может быть описана некоторой передаточной функцией, обычно используются «семейства» специальных передаточных функций:

• Фильтр Баттерворта  – максимально плоский в полосе пропускания и полосе задерживания для данного порядка
• Фильтр Чебышева (тип I)  – максимально плоская полоса задерживания, более резкая граница среза, чем у фильтра Баттерворта того же порядка
• Фильтр Чебышева (тип II) – максимально плоская полоса пропускания, более резкая срезка, чем у фильтра Баттерворта того же порядка
• Фильтр Бесселя  – максимально постоянная групповая задержка для заданного порядка
• Эллиптический фильтр  – самый резкий срез (самый узкий переход между полосой пропускания и полосой задерживания) для данного порядка
• Оптимальный фильтр "L"
• Фильтр Гаусса  – минимальная групповая задержка; не дает перерегулирования ступенчатой ​​функции
• Фильтр с косинусоидальным сглаживанием

Контрольная техника

В технике управления и теории управления передаточная функция выводится с помощью преобразования Лапласа . Передаточная функция была основным инструментом, используемым в классической технике управления. Матрицу передачи можно получить для любой линейной системы для анализа ее динамики и других свойств; каждый элемент матрицы передачи является передаточной функцией, связывающей определенную входную переменную с выходной переменной. Представление, объединяющее пространство состояний и методы передаточной функции, было предложено Говардом Х. Розенброком и известно как системная матрица Розенброка .

Визуализация

В визуализации передаточные функции используются для описания взаимосвязи между светом сцены, сигналом изображения и отображаемым светом.

Нелинейные системы

Передаточные функции не существуют для многих нелинейных систем , таких как релаксационные осцилляторы ; ^[6] однако, описывающие функции иногда могут быть использованы для аппроксимации таких нелинейных систем, не зависящих от времени.

Смотрите также

• Аналоговый компьютер
• Черный ящик
• Участок Боде
• Свертка
• принцип Дюамеля
• Частотная характеристика
• Импульсный ответ
• Преобразование Лапласа
• Теория системы LTI
• График Найквиста
• Операционный усилитель
• Оптическая передаточная функция
• Правильная передаточная функция
• Матрица системы Розенброка
• Полулогарифмический график
• График потока сигналов
• Функция передачи сигнала

Ссылки

1. Бернд Жирод , Рудольф Рабенштейн, Александр Стенгер, Сигналы и системы , 2-е изд., Wiley, 2001, ISBN  0-471-98800-6 стр. 50
2. MA Laughton; DF Warne (27 сентября 2002 г.). Справочник инженера-электрика (16-е изд.). Newnes. стр. 14/9–14/10. ISBN 978-0-08-052354-5.
3. EA Parr (1993). Справочник проектировщика логики: Схемы и системы (2-е изд.). Новизна. С. 65–66. ISBN 978-1-4832-9280-9.
4. Ян Синклер; Джон Дантон (2007). Электронное и электрическое обслуживание: бытовая и коммерческая электроника . Routledge. стр. 172. ISBN 978-0-7506-6988-7.
5. Биркгофф, Гарретт; Рота, Джан-Карло (1978). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Нью-Йорк: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-05224-1.^{[ нужна страница ]}
6. Валентин Де Смедт, Жорж Гилен и Вим Деэн (2015). Независимые от температуры и напряжения эталоны времени для беспроводных сенсорных сетей . Спрингер. п. 47. ИСБН 978-3-319-09003-0.

Внешние ссылки

• ECE 209: Обзор цепей как систем LTI — Краткий курс по математическому анализу (электрических) систем LTI.