Переменные Аштекара

Переменные, используемые в общей теории относительности

В формулировке общей теории относительности ADM пространство -время разделено на пространственные срезы и ось времени. В качестве основных переменных принимаются индуцированная метрика на пространственном срезе и сопряженный с метрикой импульс , который связан с внешней кривизной и является мерой того, как индуцированная метрика развивается во времени. ^[1] Это метрические канонические координаты . ${\displaystyle q_{ab}(x)}$ ${\displaystyle K^{ab}(x)}$

В 1986 году Абхай Аштекар представил новый набор канонических переменных, переменные Аштекар ( новые ) , чтобы представить необычный способ перезаписи метрических канонических переменных на трехмерных пространственных срезах в терминах калибровочного поля SU (2) и его дополнительной переменной. ^[2]

Обзор

Переменные Аштекара обеспечивают так называемое представление связи канонической общей теории относительности, которое привело к петлевому представлению квантовой общей теории относительности ^[3] и, в свою очередь, к петлевой квантовой гравитации и квантовой теории голономии. ^[4]

Введем набор из трех векторных полей , ортогональных, т.е. ${\displaystyle \ E_{j}^{a}\ ,}$ ${\displaystyle \ j=1,2,3\ }$

${\displaystyle \delta _{jk}=q_{ab}\ E_{j}^{a}\ E_{k}^{b}~.}$

Их называют триадой или дрей-бейн (дословный немецкий перевод «три ноги»). Теперь существует два разных типа индексов: «космические» индексы , которые ведут себя как обычные индексы в искривленном пространстве, и «внутренние» индексы, которые ведут себя как индексы плоского пространства (соответствующая «метрика», которая повышает и опускает внутренние индексы, просто ). Определите двойной дрей-бейн как ${\displaystyle \ E_{i}^{a}\ }$ ${\displaystyle \ a,b,c\ }$ ${\displaystyle \ j,k,\ell \ }$ ${\displaystyle \ \delta _{jk}\ }$ ${\displaystyle \ E_{a}^{j}\ }$

${\displaystyle \ E_{a}^{j}=q_{ab}\ E_{j}^{b}~.}$

Тогда у нас есть два отношения ортогональности

${\displaystyle \ \delta ^{jk}=q^{ab}\ E_{a}^{j}\ E_{b}^{k}\ ,}$

где – обратная матрица метрики (это получается в результате подстановки формулы двойственного дрей-бейна через дрей-бейн в и использования ортогональности дрей -бейна ). ${\displaystyle q^{ab}}$ ${\displaystyle \ q_{ab}\ }$ ${\displaystyle \ q^{ab}\ E_{a}^{j}\ E_{b}^{k}\ }$

и

${\displaystyle \ E_{j}^{a}\ E_{b}^{k}\ =\delta _{b}^{a}\ }$

(это происходит в результате заключения контракта и использования линейной независимости ) . Тогда это легко проверить, исходя из первого соотношения ортогональности, пользуясь тем, что ${\displaystyle \ \delta _{jk}=q_{ab}\ E_{k}^{b}\ E_{j}^{a}\ }$ ${\displaystyle \ E_{c}^{j}\ }$ ${\displaystyle \ E_{a}^{k}\ }$ ${\displaystyle \ E_{j}^{a}\ E_{b}^{j}=\delta _{b}^{a}\ ,}$

${\displaystyle \ q^{ab}~=~\sum _{j,\ k=1}^{3}\;\delta _{jk}\ E_{j}^{a}\ E_{k}^{b}~=~\sum _{j=1}^{3}\;E_{j}^{a}\ E_{j}^{b}\ ,}$

мы получили формулу обратной метрики в терминах дрей-бейнов . Drei -beins можно рассматривать как «квадратный корень» метрики (физический смысл этого состоит в том, что метрика, записанная в терминах базиса, является локально плоской). На самом деле то, что действительно считается, ${\displaystyle \ q^{ab}\ ,}$ ${\displaystyle \ E_{j}^{a}\ ,}$

${\displaystyle \ \left(\mathrm {det} (q)\right)\ q^{ab}~=~\sum _{j=1}^{3}\;{\tilde {E}}_{j}^{a}\ {\tilde {E}}_{j}^{b}\ ,}$

вместо этого используется «уплотненный» дрей-бейн ( уплотненный как ) . Можно восстановить метрику, умноженную на коэффициент, заданный ее определителем. Понятно, что и содержат ту же информацию, только переставленную. Теперь выбор для не однозначен, и фактически можно выполнить локальное вращение в пространстве относительно внутренних индексов, не меняя (обратную) метрику. В этом и заключается суть калибровочной инвариантности. Теперь, если кто-то собирается работать с объектами, имеющими внутренние индексы, необходимо ввести соответствующую производную ( ковариантную производную ), например, ковариантная производная для объекта будет иметь вид ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ ${\textstyle \ {\tilde {E}}_{j}^{a}={\sqrt {\det(q)\ }}\ E_{j}^{a}\ }$ ${\displaystyle \ {\tilde {E}}_{j}^{a}\ }$ ${\displaystyle \ {\tilde {E}}_{j}^{a}\ }$ ${\displaystyle \ E_{j}^{a}\ }$ ${\displaystyle \ {\tilde {E}}_{j}^{a}\ }$ ${\displaystyle \ j\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {SU(2)} \ }$ ${\displaystyle \ V_{i}^{b}\ }$

${\displaystyle \ D_{a}\ V_{j}^{b}=\partial _{a}V_{j}^{b}-\Gamma _{a\;\;j}^{\;\;k}\ V_{k}^{b}+\Gamma _{ac}^{b}\ V_{j}^{c}\ }$

где – обычная связность Леви-Чивита , а – так называемая спиновая связь . Возьмем конфигурационную переменную ${\displaystyle \ \Gamma _{ac}^{b}\ }$ ${\displaystyle \ \Gamma _{a\;\;j}^{\;\;k}\ }$

${\displaystyle \ A_{a}^{j}=\Gamma _{a}^{j}+\beta \ K_{a}^{j}\ }$

где и Уплотненный drei-bein — это сопряженная переменная импульса этого трехмерного калибровочного поля SU(2) (или связности), поскольку оно удовлетворяет соотношению скобок Пуассона ${\displaystyle \Gamma _{a}^{j}=\Gamma _{ak\ell }\ \epsilon ^{k\ell j}}$ ${\textstyle K_{a}^{j}=K_{ab}\ {\tilde {E}}^{bj}/{\sqrt {\det(q)\ }}~.}$ ${\displaystyle \ A_{b}^{k}\ ,}$

${\displaystyle \ \{\ {\tilde {E}}_{j}^{a}(x),\ A_{b}^{k}(y)\ \}=8\pi \ G_{\mathsf {Newton}}\ \beta \ \delta _{b}^{a}\ \delta _{j}^{k}\ \delta ^{3}(x-y)~.}$

Константа — это параметр Иммирзи , фактор, который перенормирует константу Ньютона. Уплотненный дрей-бейн можно использовать для восстановления метрики, как обсуждалось выше, а связь можно использовать для восстановления внешней кривизны. Переменные Аштекара соответствуют выбору (отрицательное мнимое число , ), что тогда называется киральной спиновой связью. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \ G_{\mathsf {Newton}}~.}$ ${\displaystyle \ \beta =-i\ }$ ${\displaystyle \ i\ }$ ${\displaystyle \ A_{a}^{j}\ }$

Причиной такого выбора спиновой связи было то, что Аштекар мог значительно упростить самое сложное уравнение канонической общей теории относительности, а именно гамильтоново ограничение LQG . Этот выбор привел к исчезновению его огромного второго члена, а оставшийся член стал полиномиальным от его новых переменных. Это упрощение породило новые надежды на программу канонической квантовой гравитации. ^[5] Однако это действительно представляло определенные трудности: хотя переменные Аштекара имели то преимущество, что упрощали гамильтониан, у него была проблема в том, что переменные становились комплексными . ^[6] Когда кто-то квантует теорию, трудно гарантировать, что мы восстановим реальную общую теорию относительности, в отличие от сложной общей теории относительности. Кроме того, ограничение гамильтониана, с которым работал Аштекар, было уплотненной версией вместо исходного гамильтониана; то есть он работал с ${\textstyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H~.}$

Были серьезные трудности с переводом этой величины в квантовый оператор . В 1996 году Томас Тиманн смог использовать обобщение формализма Аштекара на реальные связи ( принимает действительные значения) и, в частности, разработал способ упрощения исходного гамильтониана вместе со вторым членом. Ему также удалось превратить это гамильтоново ограничение в четко определенный квантовый оператор в петлевом представлении. ^{[7] [8]} ${\displaystyle \beta }$

Ли Смолин, Тед Джейкобсон и Джозеф Сэмюэл независимо друг от друга обнаружили, что на самом деле существует лагранжева формулировка теории, рассмотрев самодвойственную формулировку тетрадного принципа действия Палатини общей теории относительности. ^{[9] [10] [11]} Эти доказательства были даны в терминах спиноров. Чисто тензорное доказательство новых переменных в терминах триад было дано Голдбергом ^[12] , а в терминах тетрад — Хенно, Нельсоном и Шомблондом (1989). ^[13]

Рекомендации

1. Гравитация Чарльза В. Миснера, Кипа С. Торна, Джона Арчибальда Уиллера, опубликованная WH Freeman and Company. Нью-Йорк.
2. Аштекар, А (1986). «Новые переменные для классической и квантовой гравитации». Письма о физических отзывах . 57 (18): 2244–2247. Бибкод : 1986PhRvL..57.2244A. doi : 10.1103/physrevlett.57.2244. ПМИД  10033673.
3. Ровелли, К.; Смолин Л. (1988). «Теория узлов и квантовая гравитация». Письма о физических отзывах . 61 (10): 1155–1158. Бибкод : 1988PhRvL..61.1155R. doi : 10.1103/physrevlett.61.1155. ПМИД  10038716.
4. Дж. Ааструп; Дж. М. Гримструп (2015). «Квантовая теория голономии». Fortschritte der Physik . 64 (10): 783. arXiv : 1504.07100 . Бибкод : 2016ForPh..64..783A. дои : 10.1002/prop.201600073.
5. Более подробную информацию об этом и последующем развитии см. в «Лекциях по непертурбативной канонической гравитации» (1-е изд.). Мировое научное издательство. 1991.
6. См. Баэз, Джон; Муниайн, Хавьер П. (1994). Калибровочные поля, узлы и гравитация (1-е изд.). Мировое научное издание. часть III, глава 5.
7. Тиманн, Т. (1996). «Безаномальная формулировка непертурбативной четырехмерной лоренцевой квантовой гравитации». Буквы по физике Б. 380 (3–4). Эльзевир Б.В.: 257–264. arXiv : gr-qc/9606088 . дои : 10.1016/0370-2693(96)00532-1. ISSN  0370-2693.
8. Отчет об этих событиях см. в Baez, John . «Гамильтонова ограничение в петлевом представлении квантовой гравитации». ucr.edu (личная академическая веб-страница). Калифорнийский университет, Риверсайд .
9. Сэмюэл, Дж. (апрель 1987 г.). «Лагранжева основа формулировки Аштекаром канонической гравитации». Прамана - Физический журнал . 28 (4). Индийская национальная академия наук : L429-L432 – через ias.ac.in.
10. Джейкобсон, Тед; Смолин, Ли (1987). «Левая спиновая связь как переменная канонической гравитации». Буквы по физике Б. 196 (1). Эльзевир: 39–42. дои : 10.1016/0370-2693(87)91672-8. ISSN  0370-2693.
11. Джейкобсон, Т; Смолин Л. (1 апреля 1988 г.). «Ковариантное действие для формы канонической гравитации Аштекара». Классическая и квантовая гравитация . 5 (4): 583–594. дои : 10.1088/0264-9381/5/4/006. ISSN  0264-9381.
12. Голдберг, JN (15 апреля 1988 г.). «Триадный подход к гамильтониану общей теории относительности». Физический обзор D . 37 (8). Американское физическое общество (APS): 2116–2120. doi :10.1103/physrevd.37.2116. ISSN  0556-2821.
13. Энно, М.; Нельсон, Дж. Э.; Шомблонд, К. (15 января 1989 г.). «Вывод переменных Аштекара из тетрадной гравитации». Физический обзор D . 39 (2). Американское физическое общество (APS): 434–437. doi : 10.1103/physrevd.39.434. ISSN  0556-2821.

дальнейшее чтение

• Аштекар, Абхай (1986). «Новые переменные для классической и квантовой гравитации». Письма о физических отзывах . 57 (18): 2244–2247. Бибкод : 1986PhRvL..57.2244A. doi : 10.1103/PhysRevLett.57.2244. ПМИД  10033673.