В математике знакопеременный факториал — это абсолютное значение знакопеременной суммы первых n факториалов положительных целых чисел .
Это то же самое, что и их сумма: факториалы с нечетным индексом умножаются на -1 , если n четное , а факториалы с четным индексом умножаются на -1, если n нечетное, что приводит к чередованию знаков слагаемых (или чередованию операторов сложения и вычитания, если это необходимо). Если выразить это алгебраически,
или с рекуррентным соотношением
в котором af(1) = 1.
Первые несколько чередующихся факториалов
Например, третий знакопеременный факториал равен 1! – 2! + 3!. Четвертый знакопеременный факториал равен −1! + 2! − 3! + 4! = 19. Независимо от четности n последнему ( n - му) слагаемому n ! присваивается положительный знак, ( n – 1)-му слагаемому присваивается отрицательный знак, а знаки слагаемых с меньшими индексами соответственно чередуются.
Этот шаблон чередования гарантирует, что все полученные суммы будут положительными целыми числами. Изменение правила так, чтобы слагаемым с нечетным или четным индексом давались отрицательные знаки (независимо от четности n ), меняет знаки результирующих сумм, но не их абсолютные значения.
Живкович (1999) доказал, что существует только конечное число чередующихся факториалов, которые также являются простыми числами , поскольку 3612703 делит af(3612702) и, следовательно, делит af( n ) для всех n ≥ 3612702. [1] Простые числа - это af( n ) для
с несколькими более вероятными простыми числами , простота которых не доказана.
