Транспортировка конструкции

Свойство структурного изоморфизма

В математике , в частности в универсальной алгебре и теории категорий , перенос структуры относится к процессу, посредством которого математический объект приобретает новую структуру и ее канонические определения в результате того, что он изоморфен (или иным образом отождествлен) с другим объектом с уже существующей структурой. ^[1] Определения посредством переноса структуры считаются каноническими.

Поскольку математические структуры часто определяются относительно базового пространства , многие примеры переноса структуры включают пространства и отображения между ними. Например, если и являются векторными пространствами с внутренним произведением на , таким образом, что существует изоморфизм из в , то можно определить внутреннее произведение на по следующему правилу: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle [v_{1},v_{2}]=(\phi (v_{1}),\phi (v_{2}))}$

Хотя уравнение имеет смысл даже тогда, когда не является изоморфизмом, оно определяет только скалярное произведение на , когда является, поскольку в противном случае оно приведет к вырождению . Идея заключается в том, что это позволяет рассматривать и как «одно и то же» векторное пространство, и, следуя этой аналогии, можно перенести скалярное произведение из одного пространства в другое. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

Более подробный пример можно найти в дифференциальной топологии , в которой задействовано понятие гладкого многообразия : если есть такое многообразие, и если есть любое топологическое пространство , гомеоморфное , то его можно рассматривать как гладкое многообразие. То есть, учитывая гомеоморфизм , можно определить координатные карты на , "вытягивая" координатные карты на через . Напомним, что координатная карта на является открытым множеством вместе с инъективным отображением ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi \colon X\to M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle c\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$

для некоторого натурального числа ; чтобы получить такую ​​диаграмму на , используются следующие правила: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle U'=\phi ^{-1}(U)}$и . ${\displaystyle c'=c\circ \phi }$

Кроме того, требуется, чтобы карты покрывали (тот факт, что перенесенные карты покрывают, следует непосредственно из того факта, что является биекцией ). Поскольку является гладким многообразием, если U и V , с их отображениями и , являются двумя картами на , то композиция, «отображение перехода» ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle c\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle d\colon V\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle d\circ c^{-1}\colon c(U\cap V)\to \mathbb {R} ^{n}}$(карта себя ) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

является гладким. Чтобы проверить это для транспортируемых карт на , обратите внимание, что ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \phi ^{-1}(U)\cap \phi ^{-1}(V)=\phi ^{-1}(U\cap V)}$,

и поэтому

${\displaystyle c'(U'\cap V')=(c\circ \phi )(\phi ^{-1}(U\cap V))=c(U\cap V)}$, и

${\displaystyle d'\circ (c')^{-1}=(d\circ \phi )\circ (c\circ \phi )^{-1}=d\circ (\phi \circ \phi ^{-1})\circ c^{-1}=d\circ c^{-1}}$.

Таким образом, отображение перехода для и такое же, как и для и , следовательно, гладкое. То есть, является гладким многообразием через перенос структуры. Это частный случай переноса структур в целом. ^[2] ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$

Второй пример также иллюстрирует, почему «перенос структуры» не всегда желателен. А именно, можно взять за плоскость, а за — бесконечный односторонний конус. «Сплющивая» конус, можно получить гомеоморфизм и , и, следовательно, структуру гладкого многообразия на , но конус не является «естественно» гладким многообразием. То есть, его можно рассматривать как подпространство 3-пространства, в этом контексте оно не является гладким в точке конуса. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Более удивительным примером являются экзотические сферы , открытые Милнором , которые утверждают, что существует ровно 28 гладких многообразий, которые гомеоморфны , но не диффеоморфны , 7-мерной сфере в 8-мерном пространстве. Таким образом, перенос структуры наиболее продуктивен, когда существует канонический изоморфизм между двумя объектами. ${\displaystyle S^{7}}$

Смотрите также

• Список математического жаргона
• Эквивалентные определения математических структур#Транспорт структур; изоморфизм

Ссылки

1. Холм, Хенрик (2015). «Заметка о транспорте алгебраических структур» (PDF) . Теория и приложения категорий . 30 (34): 1121–1131. arXiv : 1504.07366 .
2. Бурбаки, Николя (1968), Элементы математики: Теория множеств , Герман (оригинал), Эддисон-Уэсли (перевод), Глава IV, Раздел 5 «Изоморфизм и транспорт структур».