Пересечение

Понятие в математике

Пересечение (красное) двух дисков (белого и красного с черными границами).

Круг (черный) пересекает линию (фиолетовую) в двух точках (красных). Диск (желтый) пересекает линию в отрезке между двумя красными точками.

Пересечение D и E показано серо-фиолетовым цветом. Пересечение A с любым из B, C, D или E — это пустое множество .

В математике пересечение двух или более объектов — это другой объект, состоящий из всего, что содержится во всех объектах одновременно. Например, в евклидовой геометрии , когда две прямые на плоскости не параллельны, их пересечение — это точка , в которой они встречаются. В более общем смысле, в теории множеств пересечение множеств определяется как множество элементов , которые принадлежат всем им. В отличие от евклидова определения, это не предполагает, что рассматриваемые объекты лежат в общем пространстве .

Пересечение является одним из основных понятий геометрии . Пересечение может иметь различные геометрические формы , но точка является наиболее распространенной в плоской геометрии . Геометрия инцидентности определяет пересечение (обычно плоских поверхностей ) как объект меньшей размерности , который инцидентен каждому из исходных объектов. При таком подходе пересечение иногда может быть неопределенным, например, для параллельных линий . В обоих случаях понятие пересечения опирается на логическое соединение . Алгебраическая геометрия определяет пересечения по-своему с помощью теории пересечений .

Уникальность

Может быть более одного примитивного объекта, например, точек (на фото выше), которые образуют пересечение. Пересечение можно рассматривать как совокупность всех общих объектов (т. е. операция пересечения приводит к множеству , возможно пустому), или как несколько объектов пересечения ( возможно, нулю ).

В теории множеств

Если рассматривать дорогу как соответствующую множеству всех ее местоположений, то пересечение (голубой) двух дорог (зеленой, синей) соответствует пересечению их множеств.

Пересечение двух множеств A и B — это множество элементов, которые находятся как в A, так и в B. Формально,

${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}}$. ^[1]

Например, если и , то . Более сложный пример (с участием бесконечных множеств): ${\displaystyle A=\{1,3,5,7\}}$ ${\displaystyle B=\{1,2,4,6\}}$ ${\displaystyle A\cap B=\{1\}}$

${\displaystyle A=\{x:{\text{ x is an even integer}}\}}$

${\displaystyle B=\{x:{\text{ x is an integer divisible by 3}}\}}$ ${\displaystyle {\text{ , then}}}$

${\displaystyle A\cap B=\{6,12,18,\dots \}}$

В качестве другого примера, число 5 не содержится в пересечении множества простых чисел {2, 3, 5, 7, 11, …} и множества четных чисел {2, 4, 6, 8, 10, …} , потому что хотя 5 и является простым числом, оно не является четным. Фактически, число 2 является единственным числом в пересечении этих двух множеств. В этом случае пересечение имеет математический смысл: число 2 является единственным четным простым числом.

В геометрии

Красная точка обозначает точку пересечения двух линий.

В геометрии пересечение — это точка, линия или кривая, общие для двух или более объектов (таких как линии, кривые, плоскости и поверхности). Простейшим случаем в евклидовой геометрии является пересечение прямой между двумя различными прямыми , которое либо является одной точкой (иногда называемой вершиной ), либо не существует (если прямые параллельны ). Другие типы геометрического пересечения включают:

• Пересечение прямой и плоскости
• Пересечение линии и сферы
• Пересечение многогранника с прямой
• Пересечение отрезков линий
• Кривая пересечения

Определение пересечения плоскостей – линейных геометрических объектов, вложенных в многомерное пространство – является простой задачей линейной алгебры , а именно решением системы линейных уравнений . В общем случае определение пересечения приводит к нелинейным уравнениям , которые можно решить численно , например, с помощью итерации Ньютона . Задачи пересечения между прямой и коническим сечением (окружностью, эллипсом, параболой и т. д.) или квадрикой (сферой, цилиндром, гиперболоидом и т. д.) приводят к квадратным уравнениям , которые можно легко решить. Пересечения между квадриками приводят к уравнениям четвертой степени , которые можно решить алгебраически .

Обозначение

Пересечение обозначается как U+2229 ∩ INTERSECTION из Unicode Mathematical Operators .

Символ U+2229 ∩ INTERSECTION впервые был использован Германом Грассманом в Die Ausdehnungslehre von 1844 как общий операционный символ, не специализированный для пересечения. Оттуда он использовался Джузеппе Пеано (1858–1932) для пересечения в 1888 году в Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann . ^{[2] [3]}

Пеано также создал большие символы для общего пересечения и объединения более чем двух классов в своей книге 1908 года «Mathematico Formulario» . ^{[4] [5]}

Смотрите также

• Конструктивная сплошная геометрия , Булево пересечение — один из способов объединения 2D/3D фигур.
• Пространственно расширенная модель 9-пересечений
• Знакомьтесь (теория решеток)
• Пересечение (теория множеств)
• Объединение (теория множеств)

Ссылки

1. Верещагин, Николай Константинович; Шен, Александр (2002-01-01). Базовая теория множеств. Американское математическое общество. ISBN 9780821827314.
2. Пеано, Джузеппе (1 января 1888 г.). Calcolo Geometry Secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann: Preceduto dalleoperazioni della Logica deduttiva (на итальянском языке). Турин: Фрателли Бокка .
3. Каджори, Флориан (2007-01-01). История математических обозначений. Турин: Cosimo, Inc. ISBN 9781602067141.
4. Пеано, Джузеппе (1 января 1908 г.). Formulario mathematico, том V (на итальянском языке). Турин: Edizione cremonese (факсимиле-перепечатка в Риме, 1960). п. 82. ОСЛК  23485397.
5. Раннее использование символов теории множеств и логики

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Пересечение». MathWorld .