Преобразование единиц

Преобразование единиц — это преобразование единицы измерения , в которой выражается количество , обычно с помощью мультипликативного коэффициента перевода , который изменяет единицу измерения без изменения количества. Это также часто широко понимается как замена величины соответствующей величиной, описывающей то же физическое свойство.

Преобразование единиц измерения в метрической системе , такой как СИ, часто проще, чем в других, из-за согласованности системы и ее метрических префиксов , которые действуют как множители степени 10.

Обзор

Определение и выбор единиц измерения количества могут зависеть от конкретной ситуации и предполагаемой цели. Это может регулироваться нормативными актами, контрактом , техническими спецификациями или другими опубликованными стандартами . Инженерное суждение может включать в себя такие факторы, как:

прецизионность и достоверность измерений и связанная с ними неопределенность измерений
статистический доверительный интервал или интервал допуска первоначального измерения
количество значащих цифр измерения
предполагаемое использование измерения, включая инженерные допуски
исторические определения единиц и их производных, использовавшихся в старых измерениях; например, международный фут против исследовательского фута США .

Для некоторых целей необходимо, чтобы переводы из одной системы единиц в другую были точными, без увеличения или уменьшения точности выражаемой величины. Адаптивное преобразование может не дать точно эквивалентного выражения. Номинальные значения иногда допускаются и используются.

Факторно-меточный метод

Метод фактор-метки , также известный как метод единичного фактора или метод скобки единицы , ^[1] является широко используемым методом преобразования единиц измерения, который использует правила алгебры . ^[2]^[3]^[4]

Метод фактор-метки представляет собой последовательное применение коэффициентов преобразования, выраженных в виде дробей и расположенных так, что любую размерную единицу, появляющуюся как в числителе, так и в знаменателе любой из дробей, можно сокращать до тех пор, пока не будет получен только желаемый набор размерных единиц. Например, 10 миль в час можно преобразовать в метры в секунду , используя последовательность коэффициентов преобразования, как показано ниже:

{\frac {\mathrm {10~{\cancel {mi}}} }{\mathrm {1~{\cancel {h}}} }}\times {\frac {\mathrm {1609,344~m} }{\mathrm {1~{\cancel {mi}}} }}\times {\frac {\mathrm {1~{\cancel {h}}} }{\mathrm {3600~s} }}=\mathrm {4.4704~{\frac {m}{s}}} .

Каждый коэффициент преобразования выбирается на основе отношения между одной из исходных единиц и одной из желаемых единиц (или какой-либо промежуточной единицы), а затем перестраивается для создания коэффициента, который аннулирует исходную единицу. Например, поскольку «миля» — это числитель исходной дроби , а «миля» должна быть знаменателем коэффициента пересчета. Разделив обе части уравнения на 1 милю , получим, что при упрощении получается безразмерное значение . Из-за свойства идентичности умножения умножение любой величины (физической или нет) на безразмерную 1 не меняет эту величину. ^[5] После того, как это значение и коэффициент пересчета секунд в час умножаются на исходную дробь, чтобы погасить единицы мили и час , 10 миль в час преобразуются в 4,4704 метра в секунду. $\mathrm {1~ми} =\mathrm {1609,344~м}$ ${\frac {\mathrm {1~mi} }{\mathrm {1~mi} }}={\frac {\mathrm {1609.344~m} }{\mathrm {1~mi} }}$ $1={\frac {\mathrm {1609.344~m} }{\mathrm {1~mi} }}$

В качестве более сложного примера, концентрация оксидов азота ( NO x ) в дымовых газах промышленной печи может быть преобразована в массовый расход NO _x , выраженный в граммах в час (г/ч), используя следующую информацию: показано ниже:

концентрация NO _x: = 10 частей на миллион по объему = 10 ppmv = 10 объемов/10 ⁶ объемов
NO _x молярная масса: = 46 кг/кмоль = 46 г/моль
Расход дымовых газов: = 20 кубических метров в минуту = 20 м ³ /мин; Дымовой газ выходит из печи при температуре 0 °C и абсолютном давлении 101,325 кПа.; Молярный объем газа при температуре 0 °С и давлении 101,325 кПа равен 22,414 м ³ / кмоль .

{\frac {1000\ {\ce {g\ NO}}_{x}}{1{\cancel {{\ce {kg\ NO}}_{x}}}}}\times {\frac {46\ {\cancel {{\ce {kg\ NO}}_{x}}}}{1\ {\cancel {{\ce {kmol\ NO}}_{x}}}}}\times {\frac {1\ {\cancel {{\ce {kmol\ NO}}_{x}}}}{22.414\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {NO}}_{x}}}}}\times {\frac {10\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {NO}}_{x}}}}{10^{6}\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {gas}}}}}}\times {\frac {20\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {gas}}}}}{1\ {\cancel {\ce {minute}}}}}\times {\frac {60\ {\cancel {\ce {minute}}}}{1\ {\ce {hour}}}}=24.63\ {\frac {{\ce {g\ NO}}_{x}}{\ce {hour}}}

После отмены любых единиц измерения, которые появляются как в числителях, так и в знаменателях дробей в приведенном выше уравнении, концентрация NO _x 10 ppm _v преобразуется в массовый расход 24,63 грамма в час.

Проверка уравнений, содержащих размеры

Метод фактор-метки также можно использовать для любого математического уравнения, чтобы проверить, совпадают ли единицы измерения в левой части уравнения с единицами измерения в правой части уравнения. Наличие одинаковых единиц измерения в обеих частях уравнения не гарантирует его правильность, но наличие разных единиц измерения в обеих частях уравнения (если выражать их в базовых единицах) означает, что уравнение неверно.

Например, проверьте уравнение универсального газового закона PV = nRT , когда:

давление P в паскалях (Па)
объем V в кубических метрах (м ³ )
количество вещества n в молях (моль)
универсальная газовая постоянная R равна 8,3145 Па⋅м ³ /(моль⋅К).
температура T в кельвинах (К)

\mathrm {Pa{\cdot }m^{3}} ={\frac {\cancel {\mathrm {mol} }}{1}}\times {\frac {\mathrm {Pa{\cdot }m^{3}} }{{\cancel {\mathrm {mol} }}\ {\cancel {\mathrm {K} }}}}\times {\frac {\cancel {\mathrm {K} }}{1}}

Как можно видеть, когда единицы измерения, стоящие в числителе и знаменателе правой части уравнения, сокращаются, обе части уравнения имеют одинаковые единицы измерения. Анализ размерностей можно использовать как инструмент для построения уравнений, связывающих несвязанные физико-химические свойства. Уравнения могут выявить неоткрытые или упущенные из виду свойства материи в форме оставшихся измерений – регуляторов размеров – которым затем можно придать физическое значение. Важно отметить, что подобные «математические манипуляции» не имеют предшествующих прецедентов и не имеют значительной научной значимости. Действительно, постоянная Планка , фундаментальная физическая константа, была «открыта» как чисто математическая абстракция или представление, основанное на законе Рэлея-Джинса для предотвращения ультрафиолетовой катастрофы . Его квантово-физическое значение было присвоено и вознесено либо в тандеме, либо после математической корректировки измерений – не раньше.

Ограничения

Метод фактор-метка может преобразовать только единицы количества, для которых единицы находятся в линейной зависимости, пересекающейся в точке 0 ( шкала отношений в типологии Стивенса). Большинство конверсий соответствуют этой парадигме. Примером, для которого его нельзя использовать, является преобразование шкалы Цельсия в шкалу Кельвина (или шкалу Фаренгейта ). Между градусами Цельсия и Кельвина существует скорее постоянная разница, чем постоянное соотношение, тогда как между градусами Цельсия и градусами Фаренгейта нет ни постоянной разницы, ни постоянного соотношения. Однако между ними существует аффинное преобразование ( а не линейное преобразование ). $x\mapsto ax+b$ $x\mapsto ax$

Например, температура замерзания воды составляет 0 °C и 32 °F, а изменение на 5 °C соответствует изменению на 9 °F. Таким образом, чтобы преобразовать единицы Фаренгейта в единицы Цельсия, нужно вычесть 32 °F (смещение от точки отсчета), разделить на 9 °F и умножить на 5 °C (масштабируется по соотношению единиц) и прибавить 0 °C (смещение от базовой точки). Обратное обращение дает формулу для получения величины в единицах Цельсия из единиц Фаренгейта; можно было бы начать с эквивалентности между 100 ° C и 212 ° F, что дает ту же формулу.

Следовательно, чтобы преобразовать числовое значение величины температуры T [F] в градусах Фаренгейта в числовое значение величины T [C] в градусах Цельсия, можно использовать эту формулу:

Т [С] = ( Т [F] − 32) × 5/9.

Чтобы преобразовать T [C] в градусах Цельсия в T [F] в градусах Фаренгейта, можно использовать следующую формулу:

Т [Ф] = ( Т [С]×9/5) + 32.

Пример

Начиная с:

Z=n_{i}\times [Z]_{i}

замените исходную единицу ее значением в терминах желаемой единицы , например, если , то: $[Z]_{i}$ $[Z]_{j}$ $[Z]_{i}=c_{ij}\times [Z]_{j}$

Z=n_{i}\times (c_{ij}\times [Z]_{j})=(n_{i}\times c_{ij})\times [Z]_{j}

Теперь и являются числовыми значениями, поэтому просто вычислите их произведение. $n_{i}$ $c_{ij}$

Или, что математически то же самое, умножьте Z на единицу, произведение по-прежнему равно Z :

Z=n_{i}\times [Z]_{i}\times (c_{ij}\times [Z]_{j}/[Z]_{i})

Например, у вас есть выражение для физической величины Z , включающее единицы футы в секунду ( ), и вы хотите, чтобы оно выражалось в милях в час ( ): $[Z]_{i}$ $[Z]_{j}$

Найдите факты, связывающие исходную единицу с нужной единицей:
1 миля = 5280 футов и 1 час = 3600 секунд.
Затем используйте приведенные выше уравнения, чтобы построить дробь, имеющую значение единицы и содержащую единицы измерения, которые при умножении на исходное физическое значение аннулируют исходные единицы:
$1={\frac {1\,\mathrm {mi} }{5280\,\mathrm {ft} }}\quad \mathrm {and} \quad 1={\frac {3600\,\mathrm {s} }{1\,\mathrm {h} }}$
Наконец, умножьте исходное выражение физической величины на дробь, называемую коэффициентом пересчета , чтобы получить ту же физическую величину, выраженную в других единицах. Примечание. Поскольку действительные коэффициенты пересчета безразмерны и имеют числовое значение, равное единице , умножение любой физической величины на такой коэффициент пересчета (который равен 1) не меняет эту физическую величину.
$52.8\,{\frac {\mathrm {ft} }{\mathrm {s} }}=52.8\,{\frac {\mathrm {ft} }{\mathrm {s} }}{\frac {1\,\mathrm {mi} }{5280\,\mathrm {ft} }}{\frac {3600\,\mathrm {s} }{1\,\mathrm {h} }}={\frac {52.8\times 3600}{5280}}\,\mathrm {mi/h} =36\,\mathrm {mi/h}$

Или, например, используя метрическую систему, у вас есть значение экономии топлива в литрах на 100 километров , и вы хотите, чтобы оно было выражено в микролитрах на метр :

\mathrm {\frac {9\,{\rm {L}}}{100\,{\rm {km}}}} =\mathrm {\frac {9\,{\rm {L}}}{100\,{\rm {km}}}} \mathrm {\frac {1000000\,{\rm {\mu L}}}{1\,{\rm {L}}}} \mathrm {\frac {1\,{\rm {km}}}{1000\,{\rm {m}}}} ={\frac {9\times 1000000}{100\times 1000}}\,\mathrm {\mu L/m} =90\,\mathrm {\mu L/m}

Расчеты с использованием единиц, не относящихся к системе СИ

В тех случаях, когда используются единицы измерения, отличные от системы СИ , численный расчет формулы можно выполнить, сначала вычислив коэффициент, а затем подставив числовые значения заданных/известных величин.

Например, при изучении конденсата Бозе - Эйнштейна ^[6] атомная масса $m$ обычно задается в дальтонах вместо килограммов , а химический потенциал $μ$ часто задается в константе Больцмана, умноженной на нанокельвин . Длина заживления конденсата определяется по формуле:

\xi ={\frac {\hbar }{\sqrt {2m\mu }}}\,.

Для конденсата ²³ Na с химическим потенциалом (постоянная Больцмана) 128 нК расчет длины заживления (в микрометрах) можно выполнить в два этапа:

Рассчитайте коэффициент

Предположим , что это дает $m=1\,{\text{Da}},\mu =k_{\text{B}}\cdot 1\,{\text{nK}}$

\xi ={\frac {\hbar }{\sqrt {2m\mu }}}=15.574\,\mathrm {\mu m} \,,

Посчитайте числа

Теперь воспользуйтесь тем фактом, что . С , . $\xi \propto {\frac {1}{\sqrt {m\mu }}}$ $m=23\,{\text{Da}},\mu =128\,k_{\text{B}}\cdot {\text{nK}}$ $\xi ={\frac {15.574}{\sqrt {23\cdot 128}}}\,{\text{μm}}=0.287\,{\text{μm}}$

Этот метод особенно полезен для программирования и/или создания рабочего листа , где входные величины принимают несколько разных значений; Например, с помощью рассчитанного выше коэффициента очень легко увидеть, что длина заживления ¹⁷⁴ Yb с химическим потенциалом 20,3 нК равна . $\xi ={\frac {15.574}{\sqrt {174\cdot 20.3}}}\,{\text{μm}}=0.262\,{\text{μm}}$

Программные инструменты

Существует множество инструментов конвертации. Они находятся в библиотеках функций приложений, таких как базы данных электронных таблиц, калькуляторы, а также в пакетах макросов и плагинах для многих других приложений, таких как математические, научные и технические приложения.

Существует множество автономных приложений, которые предлагают тысячи различных единиц измерения с возможностью преобразования. Например, движение за свободное программное обеспечение предлагает утилиту командной строки GNU для Linux и Windows. Единый кодекс единиц измерения также является популярным вариантом.

Смотрите также

Примечания и ссылки

^ Бела Бодо; Колин Джонс (26 июня 2013 г.). Введение в механику грунтов. Джон Уайли и сыновья. стр. 9–. ISBN 978-1-118-55388-6.
^ Голдберг, Дэвид (2006). Основы химии (5-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-322104-5.
^ Огден, Джеймс (1999). Справочник по химической инженерии . Ассоциация исследований и образования. ISBN 978-0-87891-982-6.
^ «Анализ размерностей или метод факторной метки» . Страница химии мистера Кента .
^ «Тождественное свойство умножения» . Проверено 9 сентября 2015 г.
^ Фут, CJ (2005). Атомная физика. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-850695-9.

Примечания

Внешние ссылки

В Wikibooks есть книга на тему: FHSST Физические единицы: как изменить единицы измерения.

В Wikivoyage есть путеводитель для метрических и британских эквивалентов .

Законодательный акт 1995 г. № 1804. Положения о единицах измерения 1995 г. С сайта законодательный сайт.gov.uk.
«NIST: Фундаментальные физические константы – единицы, не относящиеся к системе СИ» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 27 декабря 2016 г. Проверено 15 марта 2004 г.
Руководство NIST по единицам СИ. Перечислено множество коэффициентов пересчета.
Единый кодекс единиц измерения
XML-словарь единиц, символов и преобразований, заархивировано 2 мая 2023 г. на Wayback Machine.
Программное обеспечение для единиц измерения в Curlie
Онлайн-конвертация единиц измерения в Curlie
«Инструкция sur les poids et mesures républicaines – déduites de la grandeur de la terre, униформы для всей Республики и sur les Calculs Relatifs à leur Division décimale» (на французском языке)
Веб-калькулятор Unicalc Live выполняет преобразование единиц путем анализа размеров
Обзор математических навыков
Обсуждение единиц измерения
Краткое руководство по преобразованию единиц измерения
Отмена урока по единицам
Глава 11: Поведение химических газов: концепции и приложения , Независимый школьный округ Дентон
Преобразования и формулы для моделирования воздушной дисперсии
www.gnu.org/software/units бесплатная программа, очень практичная