Периодическое суммирование

Сумма значений функции каждые смещения _P_

Преобразование Фурье и 3 вариации, вызванные периодической выборкой (с интервалом T ) и/или периодическим суммированием (с интервалом P ) базовой функции во временной области.

В математике любую интегрируемую функцию можно превратить в периодическую функцию с периодом P путем суммирования переводов функции на целые кратные P. Это называется периодическим суммированием: ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle s_{P}(t)}$ ${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle s_{P}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(t+nP)}$

Когда альтернативно представлено в виде ряда Фурье , коэффициенты Фурье равны значениям непрерывного преобразования Фурье с интервалами . ^{[1] [2]} Это тождество является формой формулы суммирования Пуассона . Аналогично, ряд Фурье, коэффициенты которого представляют собой выборки с постоянными интервалами ( T ), эквивалентен периодическому суммированию , известному как преобразование Фурье с дискретным временем . ${\displaystyle s_{P}(t)}$ ${\displaystyle S(f)\triangleq {\mathcal {F}}\{s(t)\},}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}}$ ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle S(f),}$

Периодическое суммирование дельта-функции Дирака представляет собой гребенку Дирака . Аналогично периодическое суммирование интегрируемой функции представляет собой ее свертку с гребенкой Дирака.

Факторпространство как домен

Если вместо этого периодическая функция представляется с использованием области факторного пространства , то можно написать: ${\displaystyle \mathbb {R} /(P\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \varphi _{P}:\mathbb {R} /(P\mathbb {Z} )\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi _{P}(x)=\sum _{\tau \in x}s(\tau )~.}$

Аргументы — это классы эквивалентности действительных чисел , которые имеют одну и ту же дробную часть при делении на . ${\displaystyle \varphi _{P}}$ ${\displaystyle P}$

Цитаты

1. Пинский, Марк (2001). Введение в анализ Фурье и вейвлеты . Брукс/Коул. ISBN 978-0534376604.
2. Зигмунд, Антони (1988). Тригонометрическая серия (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521358859.

Смотрите также

• Гребень Дирака
• Круговая свертка
• Преобразование Фурье дискретного времени