Моногенная полугруппа

Моногенная полугруппа порядка 9 и периода 6. Числа являются показателями степеней генератора a ; стрелки указывают на умножение на a .

В математике моногенная полугруппа — это полугруппа, порождённая одним элементом. ^[1] Моногенные полугруппы также называются циклическими полугруппами . ^[2]

Структура

Моногенная полугруппа, порожденная ^{синглетонным} множеством { a }, обозначается как ^. Множество элементов — это { a , a2 , a3 , ...}. Для моногенной полугруппы возможны две возможности : ${\displaystyle \langle a\rangle }$ ${\displaystyle \langle a\rangle }$ ${\displaystyle \langle a\rangle }$

• ам = н ⇒ м = н .^​​
• Существуют m ≠ n, такие что a ^m = a ⁿ .

В первом случае изоморфна полугруппе ({1, 2, ...}, +) натуральных чисел по сложению . В таком случае является бесконечной моногенной полугруппой и говорят , что элемент a имеет бесконечный порядок . Иногда ее называют свободной моногенной полугруппой, поскольку она также является свободной полугруппой с одним генератором. ${\displaystyle \langle a\rangle }$ ${\displaystyle \langle a\rangle }$

В последнем случае пусть m будет наименьшим положительным целым числом, таким что a ^m = a ^x для некоторого положительного целого числа x ≠ m , и пусть r будет наименьшим положительным целым числом, таким что a ^m = a ^{m + r} . Положительное целое число m называется индексом , а положительное целое число r — периодом моногенной полугруппы . Порядок a определяется как m + r −1. Период и индекс удовлетворяют следующим свойствам: ${\displaystyle \langle a\rangle }$

• а ^м = а ^{м + р}
• a ^{m + x} = a ^{m + y} тогда и только тогда, когда m + x ≡ m + y (mod r )
• ${\displaystyle \langle a\rangle }$⁼ { а , а ² , ... , ам ^{+ г −1} }
• K _a = { a ^m , a ^{m +1} , ... , a ^{m + r −1} } — циклическая подгруппа и также идеал в . Он называется ядром a и является минимальным идеалом моногенной полугруппы . ^{[3] [4]} ${\displaystyle \langle a\rangle }$ ${\displaystyle \langle a\rangle }$

Пара ( m , r ) положительных целых чисел определяет структуру моногенных полугрупп. Для каждой пары ( m , r ) положительных целых чисел существует моногенная полугруппа с индексом m и периодом r . Моногенная полугруппа с индексом m и периодом r обозначается M ( m , r ). Моногенная полугруппа M (1, r ) является циклической группой порядка r .

Результаты этого раздела фактически справедливы для любого элемента a произвольной полугруппы и порождаемой им моногенной подполугруппы . ${\displaystyle \langle a\rangle }$

Связанные понятия

Связанное понятие — это периодическая полугруппа (также называемая торсионной полугруппой ), в которой каждый элемент имеет конечный порядок (или, что эквивалентно, в которой каждая моногенная подполугруппа конечна). Более общий класс — это квазипериодические полугруппы (также известные как групповые полугруппы или эпигруппы ), в которых каждый элемент полугруппы имеет мощность, лежащую в подгруппе. ^{[5] [6]}

Апериодическая полугруппа — это такая полугруппа, в которой каждая моногенная подполугруппа имеет период 1.

Смотрите также

• Обнаружение цикла , задача нахождения параметров конечной моногенной полугруппы с использованием ограниченного объема памяти.
• Специальные классы полугрупп

Ссылки

1. Хауи, Дж. М. (1976). Введение в теорию полугрупп . Монографии LMS. Том 7. Academic Press. С. 7–11. ISBN 0-12-356950-8.
2. AH Clifford; GB Preston (1961). Алгебраическая теория полугрупп. Т. I. Математические обзоры. Т. 7. Американское математическое общество. С. 19–20. ISBN 978-0821802724.
3. «Ядро полугруппы — Энциклопедия математики».
4. «Минимальный идеал — Энциклопедия математики».
5. «Периодическая полугруппа — Энциклопедия математики».
6. Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Oxford University Press. стр. 4. ISBN 978-0-19-853577-5.