Периодограмма

Оценка спектральной плотности сигнала

В обработке сигналов периодограмма — это оценка спектральной плотности сигнала. Этот термин был придуман Артуром Шустером в 1898 году. ^[1] Сегодня периодограмма является компонентом более сложных методов (см. Спектральную оценку ). Это наиболее распространенный инструмент для изучения амплитудно-частотных характеристик КИХ-фильтров и оконных функций . Анализаторы спектра БПФ также реализованы в виде временной последовательности периодограмм.

Определение

Сегодня используются как минимум два разных определения. ^[2] Один из них предполагает усреднение по времени, ^[3] а другой — нет. ^[4] Усреднение по времени также является предметом других статей ( метод Бартлетта и метод Уэлча ). Эта статья не об усреднении по времени. Здесь нас интересует определение: спектральная плотность мощности непрерывной функции   представляет собой преобразование Фурье ее автокорреляционной функции (см. теорему о взаимной корреляции , Спектральная плотность#Спектральная плотность мощности и теорему Винера – Хинчина ): ${\displaystyle x(t),}$

$${\displaystyle {\mathcal {F}}\{x(t)\circledast x^{*}(-t)\}=X(f)\cdot X^{*}(f)=\left|X(f)\right|^{2}.}$$

Вычисление

Спектр мощности (в квадрате величины) двух синусоидальных базисных функций, рассчитанный методом периодограммы.

Два спектра мощности (квадратичные по величине) (прямоугольные и оконные функции Хэмминга плюс фоновый шум), рассчитанные методом периодограммы.

При достаточно малых значениях параметра T в области   функции можно наблюдать   сколь угодно точное приближение для X ( f ) : ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2T}}<f<{\tfrac {1}{2T}}}$

$${\displaystyle X_{1/T}(f)\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-k/T\right),}$$

который точно определяется выборками x ( nT ) , которые охватывают ненулевую длительность x ( t )  (см. Преобразование Фурье дискретного времени ).

А при достаточно больших значениях параметра N можно   оценить на сколь угодно близкой частоте суммированием вида: ${\displaystyle X_{1/T}(f)}$

$${\displaystyle X_{1/T}\left({\tfrac {k}{NT}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot x(nT)} _{x[n]}\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}},}$$

где к — целое число. Периодичность     позволяет очень просто записать это в терминах дискретного преобразования Фурье : ${\displaystyle e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}}$

$${\displaystyle X_{1/T}\left({\tfrac {k}{NT}}\right)=\underbrace {\sum _{n}x_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}},} _{\text{DFT}}\quad \scriptstyle {{\text{(sum over any }}n{\text{-sequence of length }}N)},}$$

где – периодическое суммирование:   ${\displaystyle x_{_{N}}}$ ${\displaystyle x_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n-mN].}$

При оценке всех целых чисел k от 0 до N -1 массив:

$${\displaystyle S\left({\tfrac {k}{NT}}\right)=\left|\sum _{n}x_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}\right|^{2}}$$

периодограмму^{[4] [5] [6]}

Приложения

Периодограмма Проксимы Центавра b показана внизу. ^[7]

Когда периодограмма используется для изучения подробных характеристик КИХ -фильтра или оконной функции , параметр N выбирается равным нескольким кратным ненулевой длительности последовательности x [ n ] , что называется заполнением нулями (см. § Выборка DTFT ). ^[A]   Когда он используется для реализации банка фильтров , N представляет собой несколько долей ненулевой длительности последовательности x [ n ] (см. § Выборка DTFT ).

Одним из недостатков периодограммы является то, что дисперсия на заданной частоте не уменьшается по мере увеличения количества выборок, используемых в расчетах. Он не обеспечивает усреднение, необходимое для анализа шумоподобных сигналов или даже синусоид при низком отношении сигнал/шум. Оконные функции и импульсные характеристики фильтров бесшумны, но многие другие сигналы требуют более сложных методов спектральной оценки . Две альтернативы используют периодограммы как часть процесса:

• Метод усредненных периодограмм ^[8] ,   более известный как метод Уэлча , ^{[9] [10]}   делит длинную последовательность x[n] на несколько более коротких и, возможно, перекрывающихся подпоследовательностей. Он вычисляет оконную периодограмму каждого из них и вычисляет среднее значение массива, то есть массив, в котором каждый элемент является средним значением соответствующих элементов всех периодограмм. Для стационарных процессов это уменьшает дисперсию шума каждого элемента примерно в коэффициент, обратный количеству периодограмм.
• Сглаживание — это метод усреднения по частоте, а не по времени. Сглаженную периодограмму иногда называют спектральным графиком . ^{[11] [12]}

Методы, основанные на периодограммах, вносят небольшие отклонения, которые неприемлемы в некоторых приложениях. Другие методы, не основанные на периодограммах, представлены в статье об оценке спектральной плотности .

Смотрите также

• Соответствующий фильтр
• Фильтрованная обратная проекция (преобразование Радона)
• метод Уэлча
• метод Бартлетта
• Преобразование Фурье дискретного времени
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов для вычисления периодограмм в данных, которые расположены не на одинаковом расстоянии друг от друга.
• Классификация множественных сигналов (MUSIC), популярный параметрический метод сверхразрешения.
• САМВ

Примечания

1. N обозначается NFFT в приложениях Matlab и Octave.

Рекомендации

1. Шустер, Артур (январь 1898 г.). «Об исследовании скрытых периодичностей с применением к предполагаемому 26-дневному периоду метеорологических явлений» (PDF) . Земной магнетизм . 3 (1): 13–41. Бибкод : 1898TeMag...3...13S. дои : 10.1029/TM003i001p00013. Удобно иметь слово для некоторого представления переменной величины, которая должна соответствовать «спектру» светового излучения. Я предлагаю слово «периодограмма» и определяю его более конкретно следующим образом.
2. МакСвини, Лаура А. (14 мая 2004 г.). «Сравнение тестов периодограммы». Журнал статистических вычислений и моделирования . онлайн (50 долларов США). 76 (4): 357–369. дои : 10.1080/10629360500107618. S2CID  120439605.
3. «Периодограмма - Документация на языке Wolfram».
4. «Оценка спектральной плотности мощности периодограммы - периодограмма MATLAB» .
5. Оппенгейм, Алан В .; Шафер, Рональд В .; Бак, Джон Р. (1999). Дискретная обработка сигналов (2-е изд.). Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. п. 732 (10,55). ISBN 0-13-754920-2.
6. Рабинер, Лоуренс Р.; Голд, Бернард (1975). «6.18» . Теория и применение цифровой обработки сигналов . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. стр. 415. ISBN. 0-13-914101-4.
7. «Наука своими руками - скрывается ли Проксима c на этом графике?». www.eso.org . Проверено 11 сентября 2017 г.
8. Энгельберг, С. (2008), Цифровая обработка сигналов: экспериментальный подход , Springer, Глава. 7 р. 56
9. Уэлч, Питер Д. (июнь 1967 г.). «Использование быстрого преобразования Фурье для оценки спектров мощности: метод, основанный на усреднении по времени по коротким модифицированным периодограммам». Транзакции IEEE по аудио и электроакустике . АУ-15 (2): 70–73. Бибкод : 1967ITAE...15...70W. дои : 10.1109/ТАУ.1967.1161901.
10. "Оценка спектральной плотности мощности Уэлча - MATLAB pwelch" .
11. Спектральный график, из Справочника инженерной статистики NIST .
12. «Справочное руководство DATAPLOT» (PDF) . NIST.gov . Национальный институт стандартов и технологий (NIST). 11 марта 1997 г. Проверено 14 июня 2019 г. Спектральный график по существу представляет собой «сглаженную» периодограмму, в которой сглаживание выполняется в частотной области.

дальнейшее чтение

• Бокс, Джордж Э.П.; Дженкинс, Гвилим М. (1976). Анализ временных рядов: Прогнозирование и контроль . Сан-Франциско: Холден-Дэй.
• Скаргл, доктор юридических наук (15 декабря 1982 г.). «Исследования по анализу астрономических временных рядов. II - Статистические аспекты спектрального анализа неравномерно расположенных данных». Астрофизический журнал, Часть 1 . 263 : 835–853. Бибкод : 1982ApJ...263..835S. дои : 10.1086/160554.
• Воган, Саймон; Аттли, Филип (2006). «Обнаружение рентгеновских QPO в активных галактиках». Достижения в космических исследованиях . 38 (7): 1405–1408. arXiv : astro-ph/0506456 . Бибкод : 2006AdSpR..38.1405V. дои : 10.1016/j.asr.2005.02.064. S2CID  21054467.