Периодическая последовательность

Последовательность, в которой одни и те же термины повторяются снова и снова.

В математике периодическая последовательность ( иногда называемая циклом или орбитой ) — это последовательность , в которой одни и те же члены повторяются снова и снова:

а ₁ , а ₂ , ..., а _п ,   а ₁ , а ₂ , ..., а _п ,   а ₁ , а ₂ , ..., а _п , ...

Число p повторяющихся членов называется периодом ( period ). ^[1]

Определение

(Чисто) периодическая последовательность (с периодом p ), или p- периодическая последовательность , — это последовательность a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... , удовлетворяющая

а _{н + п} = а _н

для всех значений n . ^{[1] [2] [3]} Если последовательность рассматривать как функцию , областью определения которой является множество натуральных чисел , то периодическая последовательность — это просто особый тип периодической функции . ^{[ требуется ссылка ]} Наименьшее p , для которого периодическая последовательность является p -периодической, называется ее наименьшим периодом ^[1] или точным периодом .

Примеры

Каждая постоянная функция является 1-периодической.

Последовательность является периодической с наименьшим периодом 2. ${\displaystyle 1,2,1,2,1,2\dots }$

Последовательность цифр в десятичной дроби 1/7 является периодической с периодом 6:

${\displaystyle {\frac {1}{7}}=0.142857\,142857\,142857\,\ldots }$

В более общем смысле последовательность цифр в десятичном разложении любого рационального числа в конечном итоге является периодической (см. ниже). ^[4]

Последовательность степеней числа −1 является периодической с периодом два:

${\displaystyle -1,1,-1,1,-1,1,\ldots }$

В более общем смысле, последовательность степеней любого корня из единицы является периодической. То же самое справедливо для степеней любого элемента конечного порядка в группе .

Периодической точкой для функции f  : X → X называется точка x , орбита которой

${\displaystyle x,\,f(x),\,f(f(x)),\,f^{3}(x),\,f^{4}(x),\,\ldots }$

— периодическая последовательность. Здесь означает n -кратную композицию f, примененную к x . Периодические точки важны в теории динамических систем . Каждая функция из конечного множества в себя имеет периодическую точку; обнаружение цикла — это алгоритмическая задача нахождения такой точки. ${\displaystyle f^{n}(x)}$

Идентичности

Частичные суммы

${\displaystyle \sum _{n=1}^{kp+m}a_{n}=k*\sum _{n=1}^{p}a_{n}+\sum _{n=1}^{m}a_{n}}$Где k и m<p — натуральные числа.

Частичные продукты

${\displaystyle \prod _{n=1}^{kp+m}a_{n}=({\prod _{n=1}^{p}a_{n}})^{k}*\prod _{n=1}^{m}a_{n}}$Где k и m<p — натуральные числа.

Периодические последовательности 0, 1

Любая периодическая последовательность может быть построена путем поэлементного сложения, вычитания, умножения и деления периодических последовательностей, состоящих из нулей и единиц. Периодические последовательности из нулей и единиц могут быть выражены в виде сумм тригонометрических функций:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{1}\cos \left(-\pi {\frac {n(k-1)}{1}}\right)/1=1,1,1,1,1,1,1,1,1,\cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{2}\cos \left(2\pi {\frac {n(k-1)}{2}}\right)/2=0,1,0,1,0,1,0,1,0,\cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{3}\cos \left(2\pi {\frac {n(k-1)}{3}}\right)/3=0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,\cdots }$

${\displaystyle \cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\cos \left(2\pi {\frac {n(k-1)}{N}}\right)/N=0,0,0,\cdots ,1,\cdots \quad {\text{sequence with period }}N}$

Один из стандартных подходов к доказательству этих тождеств заключается в применении формулы Муавра к соответствующему корню из единицы . Такие последовательности являются основополагающими в изучении теории чисел .

Обобщения

Последовательность в конечном счете периодична или в конечном счете периодична ^[1] , если ее можно сделать периодической, отбросив некоторое конечное число членов из начала. Эквивалентно, последнее условие можно сформулировать как для некоторого r и достаточно большого k . Например, последовательность цифр в десятичном разложении 1/56 в конечном счете периодична: ${\displaystyle a_{k+r}=a_{k}}$

1/56 = 0. 0 1 7 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 ...

Последовательность асимптотически периодична , если ее члены приближаются к членам периодической последовательности. То есть, последовательность x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ , ... является асимптотически периодической, если существует периодическая последовательность a ₁ ,  a ₂ ,  a ₃ , ... , для которой

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}-a_{n}=0.}$^[3]

Например, последовательность

1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 4/5,...

является асимптотически периодической, поскольку ее члены приближаются к членам периодической последовательности 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....

Ссылки

1. "Периодическая последовательность в конечном итоге", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
2. Bosma, Wieb. "Complexity of Periodic Sequences" (PDF) . www.math.ru.nl . Получено 13 августа 2021 г. .
3. Janglajew, Klara; Schmeidel, Ewa (2012-11-14). "Периодичность решений неоднородных линейных разностных уравнений". Advances in Difference Equations . 2012 (1): 195. doi : 10.1186/1687-1847-2012-195 . ISSN  1687-1847. S2CID  122892501.
4. Hosch, William L. (1 июня 2018 г.). «Рациональное число». Encyclopedia Britannica . Получено 13 августа 2021 г. .