Теорема о ультрапараллельности

Теорема в гиперболической геометрии

Диск Пуанкаре : розовая линия ультрапараллельна синей линии, а зеленые линии предельно параллельны синей линии.

В гиперболической геометрии две прямые называются ультрапараллельными, если они не пересекаются и не являются предельно параллельными .

Теорема об ультрапараллельности утверждает, что каждая пара (различных) ультрапараллельных прямых имеет единственный общий перпендикуляр (гиперболическую прямую, перпендикулярную обеим прямым).

Конструкция Гильберта

Пусть r и s — две ультрапараллельные прямые.

Из любых двух различных точек A и C на s проведем AB и CB', перпендикулярные r, причем B и B' лежат на r .

Если окажется, что AB = CB', то искомый общий перпендикуляр соединяет середины AC и BB' (в силу симметрии четырехугольника Саккери ACB'B).

Если нет, то можно предположить, что AB < CB' без потери общности. Пусть E — точка на прямой s на противоположной стороне A от C. Возьмем A' на CB' так, что A'B' = AB. Через A' проведем прямую s' (A'E') на стороне, ближайшей к E, так, чтобы угол B'A'E' был таким же, как угол BAE. Тогда s' пересекает s в обычной точке D'. Построим точку D на луче AE так, чтобы AD = A'D'.

Тогда D' ≠ D. Они находятся на одинаковом расстоянии от r и оба лежат на s. Поэтому перпендикуляр к D'D (отрезок s) также перпендикулярен r. ^[1]

(Если бы r и s были асимптотически параллельны, а не ультрапараллельны, эта конструкция потерпела бы неудачу, поскольку s' не пересекалась бы с s. Вместо этого s' была бы предельно параллельной как s, так и r.)

Доказательство в модели полуплоскости Пуанкаре

Позволять

${\displaystyle a<b<c<d}$

— четыре различные точки на оси абсцисс декартовой плоскости . Пусть и — полуокружности выше оси абсцисс с диаметрами и соответственно. Тогда в модели полуплоскости Пуанкаре HP и представляют собой ультрапараллельные прямые. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle cd}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Составьте следующие два гиперболических движения :

${\displaystyle x\to x-a}$

${\displaystyle {\mbox{inversion in the unit semicircle.}}}$

Затем ${\displaystyle a\to \infty ,\quad b\to (b-a)^{-1},\quad c\to (c-a)^{-1},\quad d\to (d-a)^{-1}.}$

Теперь продолжим с этими двумя гиперболическими движениями:

${\displaystyle x\to x-(b-a)^{-1}}$

${\displaystyle x\to \left[(c-a)^{-1}-(b-a)^{-1}\right]^{-1}x}$

Затем остается в , , , (скажем). Единственный полукруг с центром в начале координат, перпендикулярный к тому, что на , должен иметь радиус, касательный к радиусу другого. Прямоугольный треугольник, образованный абсциссой и перпендикулярными радиусами, имеет гипотенузу длиной . Поскольку — радиус полукруга на , общий перпендикуляр искомый имеет радиус-квадрат ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle b\to 0}$ ${\displaystyle c\to 1}$ ${\displaystyle d\to z}$ ${\displaystyle 1z}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(z+1)}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(z-1)}$ ${\displaystyle 1z}$

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\left[(z+1)^{2}-(z-1)^{2}\right]=z.}$

Каждое из четырех гиперболических движений, полученных выше, можно инвертировать и применить в обратном порядке к полуокружности с центром в начале координат и радиусом , чтобы получить единственную гиперболическую линию, перпендикулярную обеим ультрапараллелям и . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\sqrt {z}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Доказательство в модели Бельтрами-Клейна

В модели Бельтрами-Клейна гиперболической геометрии:

• две ультрапараллельные прямые соответствуют двум непересекающимся хордам .
• Полюсами этих двух линий являются соответствующие пересечения касательных линий к граничной окружности в конечных точках хорд.
• Линии , перпендикулярные прямой l, моделируются хордами, продолжение которых проходит через полюс l .
• Следовательно, мы проводим единственную линию между полюсами двух данных прямых и пересекаем ее с граничной окружностью; хорда пересечения будет искомым общим перпендикуляром ультрапараллельных прямых.

Если одна из хорд является диаметром, то у нас нет полюса, но в этом случае любая хорда, перпендикулярная диаметру, также перпендикулярна в модели Бельтрами-Клейна, и поэтому мы проводим линию через полюс другой линии, пересекающую диаметр под прямым углом, чтобы получить общий перпендикуляр.

Доказательство завершается демонстрацией того, что эта конструкция всегда возможна:

• Если обе хорды являются диаметрами, то они пересекаются (в центре граничной окружности).
• Если только одна из хорд является диаметром, то другая хорда проецируется ортогонально вниз на часть первой хорды, содержащуюся внутри нее, а линия, проходящая через полюс, ортогональная диаметру, пересекает как диаметр, так и хорду.
• Если обе линии не являются диаметрами, то мы можем продолжить касательные, проведенные из каждого полюса, чтобы получить четырехугольник с вписанной в него единичной окружностью. ^{[ как? ]} Полюса являются противоположными вершинами этого четырехугольника, а хорды являются линиями, проведенными между смежными сторонами вершины через противоположные углы. Поскольку четырехугольник выпуклый, ^{[ почему? ]} линия между полюсами пересекает обе хорды, проведенные через углы, а отрезок линии между хордами определяет требуемую хорду, перпендикулярную двум другим хордам.

В качестве альтернативы мы можем построить общий перпендикуляр ультрапараллельных прямых следующим образом: ультрапараллельные прямые в модели Бельтрами-Клейна являются двумя непересекающимися хордами. Но на самом деле они пересекаются вне окружности. Поляра точки пересечения является искомым общим перпендикуляром. ^[2]

Ссылки

1. HSM Coxeter (17 сентября 1998 г.). Неевклидова геометрия . стр. 190–192. ISBN 978-0-88385-522-5.
2. У. Терстон, Трехмерная геометрия и топология , стр. 72

• Кароль Борсук и Ванда Шмелев (1960) Основы геометрии , стр. 291.