Перфектоидное пространство

В математике перфектоидные пространства — это адические пространства специального вида , которые встречаются при изучении задач « смешанной характеристики », таких как локальные поля нулевой характеристики , имеющие поля вычетов простой характеристики p .

Поле перфектоидов — это полное топологическое поле K , топология которого индуцируется недискретным оцениванием ранга 1, таким образом, что эндоморфизм Фробениуса Φ сюръективен на K °/ p , где K ° обозначает кольцо элементов с ограниченной мощностью.

Перфектоидные пространства могут использоваться (и были изобретены для того, чтобы) сравнивать смешанные характеристические ситуации с чисто конечными характеристическими. Техническими инструментами для уточнения этого являются эквивалентность наклона и теорема о почти чистоте. Эти понятия были введены в 2012 году Питером Шольце . ^[1]

Наклонная эквивалентность

Для любого перфектоидного поля K существует наклон K ^♭ , который является перфектоидным полем конечной характеристики p . Как множество , его можно определить как

K^{\flat }=\varprojlim _{x\mapsto x^{p}}K.

Явно, элемент K ^♭ — это бесконечная последовательность ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , ...) элементов K такая, что x _i = x^п
_{я +1}. Умножение в K ^♭ определяется почленно, а сложение сложнее. Если K имеет конечную характеристику, то K ≅ K ^♭ . Если K является p -адическим пополнением , то K ^♭ является t -адическим пополнением . $\mathbb {Q} _{p}(p^{1/p^{\infty }})$ $\mathbb {F} _{p}((t))(t^{1/p^{\infty }})$

Существуют понятия перфектоидных алгебр и перфектоидных пространств над перфектоидным полем K , примерно аналогичные коммутативным алгебрам и схемам над полем . Операция наклона распространяется на эти объекты. Если X является перфектоидным пространством над перфектоидным полем K , то можно образовать перфектоидное пространство X ^♭ над K ^♭ . Эквивалентность наклона — это теорема о том, что функтор наклона (-) ^♭ индуцирует эквивалентность категорий между перфектоидными пространствами над K и перфектоидными пространствами над K ^♭ . Обратите внимание, что в то время как перфектоидное поле конечной характеристики может иметь несколько неизоморфных « ненаклонов», категории перфектоидных пространств над ними все будут эквивалентны.

Теорема о почти чистоте

Эта эквивалентность категорий учитывает некоторые дополнительные свойства морфизмов. Многие свойства морфизмов схем имеют аналоги для морфизмов адических пространств. Теорема о почти чистоте для перфектоидных пространств касается конечных этальных морфизмов . Это обобщение теоремы о почти чистоте Фалтингса в p -адической теории Ходжа . Название намекает на почти математику , которая используется в доказательстве, и отдаленно связанную классическую теорему о чистоте ветвящегося локуса . ^[2]

Утверждение состоит из двух частей. Пусть K — перфектоидное поле.

Если X → Y — конечный этальный морфизм адических пространств над K и Y — перфектоид, то X также является перфектоидом;
Морфизм X → Y перфектоидных пространств над K является конечным этальны тогда и только тогда, когда наклон X ^♭ → Y ^♭ является конечным этальны над K ^♭ .

Поскольку конечные этальные отображения в поле являются в точности конечными сепарабельными расширениями поля , теорема о почти чистоте подразумевает, что для любого перфектоидного поля K абсолютные группы Галуа полей K и K ^♭ изоморфны.

Смотрите также

Идеальное поле

Ссылки

^ Шольце, Питер (2012). «Перфектоидные пространства». Опубл. Математика. Инст. Высокие научные исследования . 116 : 245–313. arXiv : 1111.4914 . дои : 10.1007/s10240-012-0042-x. ISSN 0073-8301. S2CID 254164097. Збл 1263.14022.
^ Питер Шольце. «Почему «почти чистота» теоремы Фальтингса является чистотой теоремы?» . Получено 2017-12-06 .

Внешние ссылки

Бхатт, Бхаргав. "Что такое ... Перфектоидное пространство?" (PDF) . Бюллетень AMS . Получено 2 января 2020 г. .
«Что такое «перфектоидные пространства»?». MathOverflow .
Основы перфектоидных пространств Мэтью Морроу
Lean perfectoid spaces. Определение perfectoid space, формализованное в Lean Theorem proofer