петля Костаса

Схема демодулятора на основе фазовой автоподстройки частоты

Петля Костаса — это схема на основе фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ), которая используется для восстановления несущей частоты из сигналов модуляции с подавленной несущей (например, двухполосные подавленные несущие сигналы) и сигналов фазовой модуляции (например, BPSK , QPSK ). Она была изобретена Джоном П. Костасом в General Electric в 1950-х годах. ^{[1] [2]} Ее изобретение было описано ^[3] как оказавшее «глубокое влияние на современную цифровую связь». Основное применение петель Костаса — беспроводные приемники. Ее преимущество перед другими детекторами на основе ФАПЧ заключается в том, что при малых отклонениях напряжение ошибки петли Костаса по сравнению с . Это приводит к удвоению чувствительности, а также делает петлю Костаса уникально подходящей для отслеживания несущих с доплеровским сдвигом , особенно в приемниках OFDM и GPS . ^[3] ${\displaystyle \sin(2(\theta _{i}-\theta _{f}))}$ ${\displaystyle \sin(\theta _{i}-\theta _{f})}$

Классическая реализация

Петля Костаса работает в заблокированном состоянии.

В классической реализации контура Костаса ^[4] локальный генератор, управляемый напряжением (ГУН), обеспечивает квадратурные выходы, по одному на каждый из двух фазовых детекторов , например , детекторов продукта . Та же самая фаза входного сигнала также применяется к обоим фазовым детекторам, а выход каждого фазового детектора пропускается через фильтр нижних частот . Выходы этих фильтров нижних частот являются входами для другого фазового детектора, выход которого проходит через фильтр подавления шума перед использованием для управления генератором, управляемым напряжением. Общий отклик контура контролируется двумя отдельными фильтрами нижних частот, которые предшествуют третьему фазовому детектору, в то время как третий фильтр нижних частот играет тривиальную роль с точки зрения усиления и запаса по фазе.

Рисунок выше петли Костаса нарисован в состоянии «заблокировано», где частота VCO и входящая несущая частота стали одинаковыми из-за процесса петли Костаса. Рисунок не представляет состояние «разблокировано».

Математические модели

Во временной области

Модель временной области петли Костаса BPSK

В простейшем случае . Поэтому не влияет на вход фильтра шумоподавления. Сигналы несущей и генератора, управляемого напряжением (ГУН), представляют собой периодические колебания с высокими частотами . Блок представляет собой аналоговый умножитель . ${\displaystyle m^{2}(t)=1}$ ${\displaystyle m^{2}(t)=1}$ ${\displaystyle f_{ref,vco}(\theta _{ref,vco}(t))}$ ${\displaystyle {\dot {\theta }}_{ref,vco}(t)}$ ${\displaystyle \bigotimes }$

Линейный фильтр можно математически описать системой линейных дифференциальных уравнений:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\dot {x}}=Ax+bu_{d}(t),&u_{LF}=c^{*}x.\end{array}}}$

где — постоянная матрица, — вектор состояния фильтра, а — постоянные векторы. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Модель ГУН обычно предполагается линейной:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}^{free}+K_{vco}u_{LF}(t),&t\in [0,T],\end{array}}}$

где - частота свободных колебаний ГУН, а - коэффициент усиления ГУН. Аналогично можно рассматривать различные нелинейные модели ГУН. ${\displaystyle \omega _{vco}^{free}}$ ${\displaystyle K_{vco}}$

Предположим, что частота главного генератора постоянна. Уравнение ГУН и уравнение выходной мощности фильтра ${\displaystyle {\dot {\theta }}_{ref}(t)\equiv \omega _{ref}.}$

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\dot {x}}=Ax+bf_{ref}(\theta _{ref}(t))f_{vco}(\theta _{vco}(t)),&{\dot {\theta }}_{vco}=\omega _{vco}^{free}+K_{vco}c^{*}x.\end{array}}}$

Система неавтономна и довольно сложна для исследования.

В фазово-частотной области

Эквивалентная фазово-частотная модель петли Костаса

Вход VCO для фазово-частотной модели петли Костаса

В простейшем случае, когда

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{ref}{\big (}\theta _{ref}(t){\big )}=\cos {\big (}\omega _{ref}t{\big )},\ f_{vco}{\big (}\theta _{vco}(t){\big )}&=\sin {\big (}\theta _{vco}(t){\big )}\\f_{ref}{\big (}\theta _{ref}(t){\big )}^{2}f_{vco}\left(\theta _{vco}(t)\right)f_{vco}\left(\theta _{vco}(t)-{\frac {\pi }{2}}\right)&=-{\frac {1}{8}}{\Big (}2\sin(2\theta _{vco}(t))+\sin(2\theta _{vco}(t)-2\omega _{ref}t)+\sin(2\theta _{vco}(t)+2\omega _{ref}t){\Big )}\end{aligned}}}$

Стандартное инженерное предположение заключается в том, что фильтр удаляет верхнюю боковую частоту из входа, но оставляет нижнюю боковую полосу без изменений. Таким образом, предполагается, что вход VCO равен Это делает петлю Костаса эквивалентной фазовой автоподстройке частоты с характеристикой фазового детектора, соответствующей конкретным формам волн и входным сигналам и сигналам VCO. Можно доказать, что выходы фильтра во временной и фазово-частотной областях почти равны. ^{[5] [6] [7]} ${\displaystyle \varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).}$ ${\displaystyle \varphi (\theta )}$ ${\displaystyle f_{ref}(\theta )}$ ${\displaystyle f_{vco}(\theta )}$

Таким образом, можно ^[8] изучить более простую автономную систему дифференциальных уравнений

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+b\varphi (\Delta \theta ),\\\Delta {\dot {\theta }}&=\omega _{vco}^{free}-\omega _{ref}+K_{vco}c^{*}x,\\\Delta \theta &=\theta _{vco}-\theta _{ref}.\end{aligned}}}$.

Метод усреднения Крылова –Боголюбова позволяет доказать близость решений неавтономных и автономных уравнений при некоторых предположениях. Таким образом, структурная схема цикла Костаса во временной области может быть асимптотически преобразована в структурную схему на уровне фазочастотных соотношений.

Переход к анализу автономной динамической модели петли Костаса (вместо неавтономной) позволяет преодолеть трудности, связанные с моделированием петли Костаса во временной области, где одновременно приходится наблюдать очень быструю временную шкалу входных сигналов и медленную временную шкалу фазы сигнала. Эта идея позволяет ^[9] рассчитать основные характеристики производительности - диапазоны удержания, подтягивания и захвата .

Получение частоты

Классическая петля Костаса будет работать над тем, чтобы сделать разность фаз между несущей и ГУН небольшой, в идеале нулевой, величиной. ^{[10] [11] [12]} Небольшая разность фаз означает, что достигнута синхронизация частоты.

QPSK петля Костаса

Классическая петля Костаса может быть адаптирована к модуляции QPSK для более высоких скоростей передачи данных. ^[13]

Классический QPSK Костас-петля

Входной сигнал QPSK выглядит следующим образом:

${\displaystyle m_{1}(t)\cos \left(\omega _{\text{ref}}t\right)+m_{2}(t)\sin \left(\omega _{\text{ref}}t\right),m_{1}(t)=\pm 1,m_{2}(t)=\pm 1.}$

Входы фильтров нижних частот LPF1 и LPF2

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{1}(t)&=\cos \left(\theta _{\text{vco}}\right)\left(m_{1}(t)\cos \left(\omega _{\text{ref}}t\right)+m_{2}(t)\sin \left(\omega _{\text{ref}}t\right)\right),\\\varphi _{2}(t)&=\sin \left(\theta _{\text{vco}}\right)\left(m_{1}(t)\cos \left(\omega _{\text{ref}}t\right)+m_{2}(t)\sin \left(\omega _{\text{ref}}t\right)\right).\end{aligned}}}$

После синхронизации выходы LPF1 и LPF2 используются для получения демодулированных данных ( и ). Для настройки частоты VCO на опорную частоту сигналы и ограничиваются и перекрестно умножаются: ${\displaystyle Q(t)}$ ${\displaystyle I(t)}$ ${\displaystyle m_{1}(t)}$ ${\displaystyle m_{2}(t)}$ ${\displaystyle Q(t)}$ ${\displaystyle I(t)}$

${\displaystyle u_{d}(t)=I(t)\operatorname {sgn}(Q(t))-Q(t)\operatorname {sgn}(I(t)).}$

Затем сигнал фильтруется петлевым фильтром и формирует сигнал настройки для VCO , аналогичный петле Костаса BPSK. Таким образом, Костас QPSK можно описать ^[14] системой обыкновенных дифференциальных уравнений : ${\displaystyle u_{d}(t)}$ ${\displaystyle u_{\text{LF}}(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=A_{\text{LPF}}x_{1}+b_{\text{LPF}}\varphi _{1}(t),\\{\dot {x}}_{2}&=A_{\text{LPF}}x_{2}+b_{\text{LPF}}\varphi _{2}(t),\\{\dot {x}}&=A_{\text{LF}}x+b_{\text{LF}}{\big (}c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}\operatorname {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{2})-c_{\text{LPF}}^{*}x_{2}\operatorname {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}){\big )},\\{\dot {\theta }}_{\text{vco}}&=\omega _{\text{vco}}^{\text{free}}+K_{\text{VCO}}{\Big (}c_{\text{LF}}^{*}x+h_{\text{LF}}{\big (}c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}\operatorname {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{2})-c_{\text{LPF}}^{*}x_{2}\operatorname {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}){\big )}{\Big )}.\\\end{aligned}}}$

Здесь приведены параметры ФНЧ1 и ФНЧ2, а также параметры контурного фильтра. ${\displaystyle A_{\text{LPF}},b_{\text{LPF}},c_{\text{LPF}}}$ ${\displaystyle A_{\text{LF}},b_{\text{LF}},c_{\text{LF}},h_{\text{LF}}}$

Ссылки

1. Костас, Джон П. (1956). «Синхронные коммуникации». Труды IRE . 44 (12): 1713–1718. doi :10.1109/jrproc.1956.275063.
2. Костас, Джон П. (август 2002 г.) [1956]. «Синхронная связь». Труды IEEE . 90 (8): 1461–1466. doi :10.1109/JPROC.2002.800876.
3. Taylor, D. (август 2002 г.). «Введение в „синхронную связь“, классическая статья Джона П. Костаса». Труды IEEE . 90 (8): 1459–1460. doi :10.1109/jproc.2002.800719.
4. Feigin, Jeff (1 января 2002 г.). "Practical Costas loop design" (PDF) . RF Design : 20–36. Архивировано из оригинала (PDF) 11 февраля 2012 г. . Получено 17 февраля 2010 г. .
5. Леонов, Г.А.; Кузнецов Н.В.; Юлдашев, М.В.; Юлдашев Р.В. (август 2012 г.). «Дифференциальные уравнения петли Костаса» (PDF) . Доклады Математики . 86 (2): 723–728. дои : 10.1134/s1064562412050080. S2CID  255276607.
6. Леонов, ГА; Кузнецов, НВ; Юлдашев, МВ; Юлдашев, РВ (2012). "Аналитический метод расчета характеристики фазового детектора" (PDF) . IEEE Transactions on Circuits and Systems Part II . 59 (10): 633–637. doi :10.1109/tcsii.2012.2213362. S2CID  2405056.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
7. Леонов, ГА; Кузнецов, НВ; Юлдашев, МВ; Юлдашев, РВ (2015). "Нелинейная динамическая модель петли Костаса и подход к анализу ее устойчивости в целом" (PDF) . Обработка сигналов . 108 . Elsevier: 124–135. Bibcode :2015SigPr.108..124L. doi : 10.1016/j.sigpro.2014.08.033 . Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09.
8. Кузнецов, Н.В.; Леонов, ГА; Нейттаанмаки, П.; Селеджи, СМ; Юлдашев, МВ; Юлдашев, Р.В. (2012). "Нелинейные математические модели цикла Костаса для общей формы входного сигнала". 2012 IEEE 4th International Conference on Nonlinear Science and Complexity (NSC) . IEEE Press. стр. 75–80. doi :10.1109/NSC.2012.6304729. ISBN 978-1-4673-2703-9. S2CID  5812970.
9. Кузнецов, Н.В.; Леонов, ГА; Селеджи, СМ; Юлдашев, МВ; Юлдашев, РВ (2017). «Нелинейная модель оптической петли Костаса: оценка диапазона затягивания и скрытые колебания». IFAC-PapersOnLine . 50 . ELSEVIER: 3325–3330. doi : 10.1016/j.ifacol.2017.08.514 . ISSN  2405-8963.
10. Костас 1956 утверждает: «Локальный генератор должен поддерживаться в правильной фазе, чтобы вклады аудиовыхода верхней и нижней боковых полос усиливали друг друга. Если фаза генератора отклоняется на 90° от оптимального значения, в результате получится нулевой аудиовыход, что типично для детекторов этого типа. Фактический метод управления фазой будет объяснен вскоре, но для целей этого обсуждения следует предполагать поддержание правильной фазы генератора».
11. Использование контурного фильтра с интегратором допускает установившуюся фазовую ошибку, равную нулю. См. ПИД-регулятор § Интегральный член .
12. Best, Roland E. (1997). Phase-Locked Loops (третье изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 44–45. ISBN 0-07-006051-7.
13. Патент США 4,085,378, Карл Р. Райан и Джеймс Х. Стилвелл, «QPSK-демодулятор», опубликован 26 ноября 1976 г., передан Motorola Solutions Inc. 
14. Best, RE; Kuznetsov, NV; Leonov, GA; Yuldashev, MV; Yuldashev, RV (2016). "Учебник по динамическому анализу петли Костаса". Annual Reviews in Control . 42. ELSEVIER: 27–49. arXiv : 1511.04435 . doi : 10.1016/j.arcontrol.2016.08.003. S2CID  10703739.

•  В этой статье использованы материалы из общедоступного федерального стандарта 1037C. Администрация общих служб . Архивировано из оригинала 2022-01-22.