Теория пластин

Режим вибрации зажатой квадратной пластины

В механике сплошной среды теории пластин представляют собой математическое описание механики плоских пластин , основанное на теории балок . Плиты определяются как плоские конструктивные элементы малой толщины по сравнению с плоскими размерами. ^[1] Типичное отношение толщины к ширине пластинчатой ​​конструкции составляет менее 0,1. ^{[ нужна цитата ]} Теория пластин использует это несоответствие в масштабе длины, чтобы свести полную трехмерную проблему механики твердого тела к двумерной проблеме. Целью теории пластин является расчет деформаций и напряжений в пластине, подвергающейся нагрузкам.

Из многочисленных теорий пластин, разработанных с конца XIX века, две широко приняты и используются в технике. Это

• Теория пластин Кирхгофа – Лава ( классическая теория пластин )
• Теория пластин Уфлянда-Миндлина (теория сдвиговых пластин первого порядка)

Теория Кирхгофа – Лява для тонких пластин.

Деформация тонкой пластины с выделением смещения средней поверхности (красный) и нормали к средней поверхности (синий)

Теория Кирхгофа – Лява представляет собой распространение теории пучков Эйлера – Бернулли на тонкие пластины. Теория была развита в 1888 г. Лавом ^[2] с использованием предположений Кирхгофа. Предполагается, что плоскость средней поверхности можно использовать для представления трехмерной пластины в двухмерной форме.

В этой теории сделаны следующие кинематические предположения: ^[3]

• прямые линии, нормальные к срединной поверхности, после деформации остаются прямыми
• прямые линии, нормальные к срединной поверхности, после деформации остаются нормальными к срединной поверхности
• толщина пластины не изменяется при деформации.

Поле смещения

Гипотеза Кирхгофа предполагает, что поле смещений имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}=u_{\alpha }^{0}-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}$

где и – декартовы координаты на средней поверхности недеформированной пластины, – координата направления толщины, – перемещения средней поверхности в плоскости, – смещение средней поверхности в направлении. ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle u_{1}^{0},u_{2}^{0}}$ ${\displaystyle w^{0}}$ ${\displaystyle x_{3}}$

Если – углы поворота нормали к срединной поверхности, то в теории Кирхгофа–Лява ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$ ${\displaystyle \varphi _{\alpha }=w_{,\alpha }^{0}\,.}$

Соотношения деформации-перемещения

Для ситуации, когда деформации в пластине бесконечно малы, а поворот нормалей срединной поверхности составляет менее 10 °, соотношения деформации и смещения имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

Следовательно, единственные ненулевые деформации наблюдаются в плоскостных направлениях.

Если поворот нормалей к срединной поверхности находится в диапазоне от 10 ° до 15 °, соотношения деформации и смещения можно аппроксимировать с использованием деформаций фон Кармана . Тогда кинематические предположения теории Кирхгофа-Лява приводят к следующим соотношениям деформации-перемещения

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}~w_{,\beta }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

Эта теория является нелинейной из-за квадратичных членов в соотношениях деформации-перемещения.

Уравнения равновесия

Уравнения равновесия пластинки можно вывести из принципа виртуальной работы . Для ситуации, когда деформации и повороты пластины малы, уравнения равновесия ненагруженной пластины имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }&=0\end{aligned}}}$

где равнодействующие напряжения и равнодействующие момента напряжения определяются как

${\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}}$

и толщина пластины . Величины – это напряжения. ${\displaystyle 2h}$ ${\displaystyle \sigma _{\alpha \beta }}$

Если пластина нагружена внешней распределенной нагрузкой, перпендикулярной средней поверхности и направленной в положительном направлении, принцип виртуальной работы приводит к уравнениям равновесия ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q&=0\end{aligned}}}$

При умеренных вращениях соотношения деформации-перемещения принимают форму Кармана, и уравнения равновесия могут быть выражены как

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+[N_{\alpha \beta }~w_{,\beta }^{0}]_{,\alpha }-q&=0\end{aligned}}}$

Граничные условия

Граничные условия, необходимые для решения уравнений равновесия теории пластин, можно получить из граничных членов принципа виртуальной работы.

Для малых деформаций и малых вращений граничные условия таковы:

${\displaystyle {\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\\n_{\beta }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad w_{,\alpha }^{0}\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что величина представляет собой эффективную силу сдвига. ${\displaystyle n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }}$

Отношения напряжение-деформация

Соотношения напряжения и деформации для линейно упругой пластины Кирхгофа имеют вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$

Поскольку и не фигурируют в уравнениях равновесия, неявно предполагается, что эти величины не влияют на баланс импульсов и ими пренебрегают. ${\displaystyle \sigma _{\alpha 3}}$ ${\displaystyle \sigma _{33}}$

Удобнее работать с результирующими напряжения и момента, которые входят в уравнения равновесия. Они связаны с перемещениями

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}\,.}$

Жесткость растяжения - это величины

${\displaystyle A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

Жесткости на изгиб (также называемые жесткостью на изгиб ) представляют собой величины

${\displaystyle D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

Изотропная и однородная пластинка Кирхгофа.

Для изотропной и однородной пластины соотношения напряжение-деформация имеют вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}$

Моменты, соответствующие этим напряжениям, равны

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}}$

Чистый изгиб

Смещения и равны нулю в условиях чистого изгиба . Для изотропной однородной пластины при чистом изгибе основное уравнение имеет вид ${\displaystyle u_{1}^{0}}$ ${\displaystyle u_{2}^{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}=0\quad {\text{where}}\quad w:=w^{0}\,.}$

В индексной записи

${\displaystyle w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0\,.}$

В прямой тензорной записи основное уравнение имеет вид

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0\,.}$

Поперечная нагрузка

Для поперечно нагруженной пластины без осевых деформаций основное уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}=-{\frac {q}{D}}}$

где

${\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}$

В индексной записи

${\displaystyle w_{,1111}^{0}+2\,w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=-{\frac {q}{D}}}$

и в прямых обозначениях

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\frac {q}{D}}\,.}$

В цилиндрических координатах основное уравнение имеет вид ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left[r{\cfrac {d}{dr}}\left\{{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\right\}\right]=-{\frac {q}{D}}\,.}$

Ортотропная и однородная пластинка Кирхгофа.

Для ортотропной пластины

${\displaystyle {\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {1}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}\,.}$

Поэтому,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {2h}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle {\begin{bmatrix}D_{11}&D_{12}&D_{13}\\D_{21}&D_{22}&D_{23}\\D_{31}&D_{32}&D_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {2h^{3}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}\,.}$

Поперечная нагрузка

Основное уравнение ортотропной пластины Кирхгофа, нагруженной в поперечном направлении распределенной нагрузкой на единицу площади: ${\displaystyle q}$

${\displaystyle D_{x}w_{,1111}^{0}+2D_{xy}w_{,1122}^{0}+D_{y}w_{,2222}^{0}=-q}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{x}&=D_{11}={\frac {2h^{3}E_{1}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\\D_{y}&=D_{22}={\frac {2h^{3}E_{2}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\\D_{xy}&=D_{33}+{\tfrac {1}{2}}(\nu _{21}D_{11}+\nu _{12}D_{22})=D_{33}+\nu _{21}D_{11}={\frac {4h^{3}G_{12}}{3}}+{\frac {2h^{3}\nu _{21}E_{1}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\,.\end{aligned}}}$

Динамика тонких пластинок Кирхгофа

Динамическая теория пластин определяет распространение волн в пластинах, исследование стоячих волн и режимов колебаний.

Основные уравнения

Основные уравнения динамики пластины Кирхгофа – Лява:

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }^{0}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)&=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}\end{aligned}}}$

где для пластины с плотностью ${\displaystyle \rho =\rho (x)}$

${\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2~\rho ~h~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}~\rho ~h^{3}}$

и

${\displaystyle {\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}}$

На рисунках ниже показаны некоторые формы колебаний круглой пластины.

• 
  режим к = 0, р = 1
• 
  режим к = 1, р = 2

Изотропные пластины

Основные уравнения значительно упрощаются для изотропных и однородных пластин, для которых плоскостными деформациями можно пренебречь, и имеют вид

${\displaystyle D\,\left({\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{2}^{4}}}\right)=-q(x_{1},x_{2},t)-2\rho h\,{\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial t^{2}}}\,.}$

где - изгибная жесткость пластины. Для пластины одинаковой толщины ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle 2h}$

${\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}$

В прямых обозначениях

${\displaystyle D\,\nabla ^{2}\nabla ^{2}w^{0}=-q(x,y,t)-2\rho h\,{\ddot {w}}^{0}\,.}$

Теория Уфлянда-Миндлина для толстых пластин.

В теории толстых пластин, или теории Якова С. Уфлянда ^[4] (подробнее см. справочник Элишакова ^[5] ), Раймонда Миндлина ^[6] и Эрика Рейсснера , нормаль к срединной поверхности остается прямой но не обязательно перпендикулярно средней поверхности. Если и обозначить углы, которые средняя поверхность составляет с осью, то ${\displaystyle \varphi _{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle \varphi _{1}\neq w_{,1}~;~~\varphi _{2}\neq w_{,2}}$

Тогда из гипотезы Миндлина–Рейсснера следует, что

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~\varphi _{\alpha }~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}$

Соотношения деформации-перемещения

В зависимости от величины поворота нормалей пластины на основе основных кинематических предположений можно получить два различных приближения для деформаций.

Для малых деформаций и малых вращений соотношения деформации-перемещения для пластин Миндлина – Рейсснера имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-{\frac {x_{3}}{2}}~(\varphi _{\alpha ,\beta }+\varphi _{\beta ,\alpha })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

В этой теории не пренебрегают деформацией сдвига и, следовательно , напряжением сдвига по толщине пластины. Однако деформация сдвига постоянна по всей толщине пластины. Это не может быть точным, поскольку известно, что напряжение сдвига имеет параболическую форму даже для пластин простой геометрии. Чтобы учесть неточность деформации сдвига, применяется поправочный коэффициент сдвига ( ), чтобы теория предсказывала правильное количество внутренней энергии. Затем ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \varepsilon _{\alpha 3}={\cfrac {1}{2}}~\kappa ~\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)}$

Уравнения равновесия

Уравнения равновесия имеют немного другую форму в зависимости от ожидаемой величины изгиба пластины. Для ситуации, когда деформации и повороты пластины малы, уравнения равновесия пластины Миндлина – Рейсснера имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}&N_{\alpha \beta ,\alpha }=0\\&M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }=0\\&Q_{\alpha ,\alpha }+q=0\,.\end{aligned}}}$

Результирующие поперечные силы в приведенных выше уравнениях определяются как

${\displaystyle Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}\,.}$

Граничные условия

Граничные условия обозначаются граничными членами в принципе виртуальной работы.

Если единственной внешней силой является вертикальная сила, действующая на верхнюю поверхность пластины, граничные условия будут следующими:

${\displaystyle {\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad \varphi _{\alpha }\\n_{\alpha }~Q_{\alpha }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\end{aligned}}}$

Учредительные отношения

Соотношения напряжение-деформация для линейно упругой пластины Миндлина – Рейсснера имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\alpha \beta }&=C_{\alpha \beta \gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{\alpha 3}&=C_{\alpha 3\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{33}&=C_{33\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\end{aligned}}}$

Поскольку он не появляется в уравнениях равновесия, неявно предполагается, что он не оказывает никакого влияния на баланс импульсов, и им пренебрегают. Это предположение также называют предположением о плоском напряжении . Остальные соотношения напряжение-деформация для ортотропного материала в матричной форме можно записать как ${\displaystyle \sigma _{33}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&0&0&0\\0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$

Затем,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}~(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}}$

Для условий сдвига

${\displaystyle {\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}={\cfrac {\kappa }{2}}\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{55}&0\\0&C_{44}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}}$

Жесткость растяжения - это величины

${\displaystyle A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

Жесткостью изгиба являются величины

${\displaystyle D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

Изотропные и однородные пластинки Уфлянда-Миндлина.

Для однородно толстых, однородных и изотропных пластин зависимости напряжения от деформации в плоскости пластины имеют вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}$

где – модуль Юнга, – коэффициент Пуассона, – деформации в плоскости. Касательные напряжения и деформации по толщине связаны соотношением ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }}$

${\displaystyle \sigma _{31}=2G\varepsilon _{31}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{32}=2G\varepsilon _{32}}$

где модуль сдвига . ${\displaystyle G=E/(2(1+\nu ))}$

Учредительные отношения

Соотношения между результирующими напряжениями и обобщенными смещениями для изотропной пластины Миндлина – Рейсснера таковы:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {2Eh}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}\,,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}\,,}$

и

${\displaystyle {\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}=\kappa Gh{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}\,.}$

Жесткость на изгиб определяется как величина

${\displaystyle D={\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}$

Для пластины толщиной изгибная жесткость имеет вид ${\displaystyle H}$

${\displaystyle D={\cfrac {EH^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\,.}$

где ${\displaystyle h={\frac {H}{2}}}$

Основные уравнения

Если мы пренебрегаем расширением пластины в плоскости, основные уравнения будут иметь вид

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }&=0\\Q_{\alpha ,\alpha }+q&=0\,.\end{aligned}}}$

С точки зрения обобщенных деформаций , три основных уравнения: ${\displaystyle w^{0},\varphi _{1},\varphi _{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)=-{\frac {q}{D}}\\&\nabla ^{2}w^{0}-{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}=-{\frac {q}{\kappa Gh}}\\&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)=-{\frac {2\kappa Gh}{D(1-\nu )}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\,.\end{aligned}}}$

Граничные условия по краям прямоугольной пластины:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{simply supported}}\quad &\quad w^{0}=0,M_{11}=0~({\text{or}}~M_{22}=0),\varphi _{1}=0~({\text{or}}~\varphi _{2}=0)\\{\text{clamped}}\quad &\quad w^{0}=0,\varphi _{1}=0,\varphi _{2}=0\,.\end{aligned}}}$

Статическая теория Рейсснера – Штейна для изотропных консольных пластин.

В общем, точные решения для консольных пластин с использованием теории пластин весьма сложны, и в литературе можно найти мало точных решений. Рейсснер и Штейн ^[7] предлагают упрощенную теорию консольных пластин, которая является улучшением по сравнению со старыми теориями, такими как теория пластин Сен-Венана.

Теория Рейсснера-Штайна предполагает поле поперечных смещений вида

${\displaystyle w(x,y)=w_{x}(x)+y\,\theta _{x}(x)\,.}$

Тогда основные уравнения для пластины сводятся к двум связанным обыкновенным дифференциальным уравнениям:

${\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\frac {\mathrm {d} ^{4}w_{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}=q_{1}(x)-n_{1}(x){\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{1}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}\\&{\frac {b^{3}D}{12}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{4}\theta _{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=q_{2}(x)-n_{3}(x){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{3}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}\,{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{1}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~q_{2}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{1}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\\n_{2}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}y\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{3}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y^{2}\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\,.\end{aligned}}}$

При , поскольку балка зажата, граничные условия равны ${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle w(0,y)={\cfrac {dw}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\qquad \implies \qquad w_{x}(0)={\cfrac {dw_{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=\theta _{x}(0)={\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\,.}$

Граничные условия при таковы: ${\displaystyle x=a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+n_{1}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+q_{x1}=0\\&{\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}+\left[n_{3}(x)-2bD(1-\nu )\right]{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+t=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}+m_{1}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}+m_{2}=0\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=\int _{-b/2}^{b/2}m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~m_{2}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~q_{x1}=\int _{-b/2}^{b/2}q_{x}(y)\,{\text{d}}y\\t&=q_{x2}+m_{3}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q_{x}(y)\,{\text{d}}y+\int _{-b/2}^{b/2}m_{xy}(y)\,{\text{d}}y\,.\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Гибка пластин
• Вибрация пластин
• Теория бесконечно малых деформаций
• Мембранная теория оболочек
• Теория конечной деформации
• Стресс (механика)
• Результирующие стресса
• Линейная эластичность
• Гибка
• Уравнения Фёппля – фон Кармана
• Уравнение пучка Эйлера – Бернулли
• Теория пучка Тимошенко

Рекомендации

1. Тимошенко С. и Войновский-Кригер С. «Теория пластин и оболочек». МакГроу-Хилл, Нью-Йорк, 1959 год.
2. А.Э. Лав, О малых свободных колебаниях и деформациях упругих оболочек , Философский пер. Королевского общества (Лондон), 1888 г., Vol. серия А, № 17 с. 491–549.
3. Редди, Дж. Н., 2007, Теория и анализ упругих пластин и оболочек , CRC Press, Тейлор и Фрэнсис.
4. Уфлянд, Я. С., 1948, Распространение волн при поперечных колебаниях балок и пластин, ПММ: Журнал прикладной математики и механики, Vol. 12, 287-300 (на русском языке)
5. Элишакофф, И., 2020, Справочник по теориям балок Тимошенко-Эренфеста и пластин Уфлянда-Миндлина , World Scientific, Сингапур, ISBN  978-981-3236-51-6
6. Р.Д. Миндлин, Влияние вращательной инерции и сдвига на изгибные движения изотропных упругих пластин , Журнал прикладной механики, 1951, Vol. 18 с. 31–38.
7. Э. Рейсснер и М. Штайн. Кручение и поперечный изгиб консольных пластин. Техническая нота 2369, Национальный консультативный комитет по аэронавтике, Вашингтон, 1951 г.