Плоское тройное кольцо

Construction in projective geometry

В математике алгебраическая структура , состоящая из непустого множества и тернарного отображения, может быть названа тернарной системой . Планарное тернарное кольцо (ПТК) или тернарное поле — это особый тип тернарной системы, используемый Маршаллом Холлом ^[1] для построения проективных плоскостей с помощью координат. Планарное тернарное кольцо не является кольцом в традиционном смысле, но любое поле дает планарное тернарное кольцо, где операция определяется как . Таким образом, мы можем рассматривать планарное тернарное кольцо как обобщение поля, где тернарная операция занимает место как сложения, так и умножения. ${\displaystyle (R,T)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T\colon R^{3}\to R\,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T(a,b,c)=ab+c}$

Терминология широко варьируется. Плоские тройные кольца или тройные поля, как они определены здесь, в литературе называются по-другому, и термин «плоское тройное кольцо» может означать вариант системы, определенной здесь. Термин «тройное кольцо» часто означает плоское тройное кольцо, но он также может означать просто тройную систему.

Определение

Плоское тройное кольцо — это структура , в которой есть множество, содержащее по крайней мере два различных элемента, называемых 0 и 1, и является отображением, которое удовлетворяет следующим пяти аксиомам: ^[2] ${\displaystyle (R,T)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T\colon R^{3}\to R\,}$

1. ${\displaystyle T(a,0,b)=T(0,a,b)=b,\quad \forall a,b\in R}$;
2. ${\displaystyle T(1,a,0)=T(a,1,0)=a,\quad \forall a\in R}$;
3. ${\displaystyle \forall a,b,c,d\in R,a\neq c}$, существует единственный такой, что : ; ${\displaystyle x\in R}$ ${\displaystyle T(x,a,b)=T(x,c,d)\,}$
4. ${\displaystyle \forall a,b,c\in R}$, существует единственный , такой что ; и ${\displaystyle x\in R}$ ${\displaystyle T(a,b,x)=c\,}$
5. ${\displaystyle \forall a,b,c,d\in R,a\neq c}$, уравнения имеют единственное решение . ${\displaystyle T(a,x,y)=b,T(c,x,y)=d\,}$ ${\displaystyle (x,y)\in R^{2}}$

Когда конечно, третья и пятая аксиомы эквивалентны при наличии четвертой. ^[3] ${\displaystyle R}$

Никакой другой пары (0', 1') в , которая по-прежнему удовлетворяла бы первым двум аксиомам, найти невозможно . ${\displaystyle R^{2}}$ ${\displaystyle T}$

Бинарные операции

Добавление

Определим . ^[4] Структура представляет собой цикл с элементом идентичности 0. ${\displaystyle a\oplus b=T(a,1,b)}$ ${\displaystyle (R,\oplus )}$

Умножение

Определим . Множество замкнуто при этом умножении. Структура также является циклом с единичным элементом 1. ${\displaystyle a\otimes b=T(a,b,0)}$ ${\displaystyle R_{0}=R\setminus \{0\}\,}$ ${\displaystyle (R_{0},\otimes )}$

Линейный ПТР

Плоское тернарное кольцо называется линейным , если . Например, плоское тернарное кольцо, связанное с квазиполем, является (по построению) линейным. ${\displaystyle (R,T)}$ ${\displaystyle T(a,b,c)=(a\otimes b)\oplus c,\quad \forall a,b,c\in R}$

Связь с проективными плоскостями

Координаты проективной плоскости для построения плоского тройного кольца

Для данного плоского тройного кольца можно построить проективную плоскость с множеством точек P и множеством линий L следующим образом: ^{[5] [6]} (Обратите внимание, что — дополнительный символ, которого нет в .) ${\displaystyle (R,T)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle R}$

Позволять

• ${\displaystyle P=\{(a,b)|a,b\in R\}\cup \{(a)|a\in R\}\cup \{(\infty )\}}$, и
• ${\displaystyle L=\{[a,b]|a,b\in R\}\cup \{[a]|a\in R\}\cup \{[\infty ]\}}$.

Затем определим отношение инцидентности следующим образом: ${\displaystyle \forall a,b,c,d\in R}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle ((a,b),[c,d])\in I\Longleftrightarrow T(a,c,d)=b}$

${\displaystyle ((a,b),[c])\in I\Longleftrightarrow a=c}$

${\displaystyle ((a,b),[\infty ])\notin I}$

${\displaystyle ((a),[c,d])\in I\Longleftrightarrow a=c}$

${\displaystyle ((a),[c])\notin I}$

${\displaystyle ((a),[\infty ])\in I}$

${\displaystyle ((\infty ),[c,d])\notin I}$

${\displaystyle ((\infty ),[a])\in I}$

${\displaystyle ((\infty ),[\infty ])\in I}$

Каждая проективная плоскость может быть построена таким образом, начиная с соответствующего плоского тернарного кольца. Однако два неизоморфных плоских тернарных кольца могут привести к построению изоморфных проективных плоскостей.

Наоборот, если задана любая проективная плоскость π, то, выбрав четыре точки, обозначенные o , e , u и v , никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно ввести координаты в π так, чтобы этим особым точкам были заданы координаты: o = (0,0), e = (1,1), v = ( ) и u = (0). ^[7] Тернарная операция теперь определяется на символах координат (за исключением ) как y = T( x , a , b ) тогда и только тогда, когда точка ( x , y ) лежит на прямой, которая соединяет ( a ) с (0, b ). Аксиомы, определяющие проективную плоскость, используются для того, чтобы показать, что это дает плоское тернарное кольцо. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$

Линейность PTR эквивалентна геометрическому условию, выполненному в соответствующей проективной плоскости. ^[8]

Интуиция

Связь между плоскими тройными кольцами (PTR) и двумерными геометриями, в частности проективными и аффинными геометриями , лучше всего описывается путем рассмотрения сначала аффинного случая. В аффинной геометрии точки на плоскости описываются с помощью декартовых координат , метода, который применим даже в недезарговых геометриях — там всегда можно показать, что компоненты координат подчиняются структуре PTR. Напротив, однородные координаты , обычно используемые в проективной геометрии, недоступны в недезарговых контекстах. Таким образом, простейший аналитический способ построения проективной плоскости — начать с аффинной плоскости и расширить ее, добавив «прямую на бесконечности»; это обходит однородные координаты.

В аффинной плоскости, когда плоскость является дезарговой, линии могут быть представлены в форме наклона-пересечения . Это представление распространяется на недезарговы плоскости посредством тернарной операции PTR, позволяя выразить линию как . Линии, параллельные оси y, выражаются как . ${\displaystyle y=mx+c}$ ${\displaystyle y=T(x,m,c)}$ ${\displaystyle x=c}$

Теперь покажем, как вывести аналитическое представление общей проективной плоскости, приведенное в начале этого раздела. Для этого мы переходим от аффинной плоскости, представленной как , к представлению проективной плоскости , добавляя прямую на бесконечности. Формально проективная плоскость описывается как , где представляет аффинную плоскость в декартовых координатах и ​​включает все конечные точки, а обозначает прямую на бесконечности. Аналогично, выражается как . Здесь — аффинная прямая, которой мы задаем ее собственную декартову систему координат, и состоит из единственной точки, не лежащей на этой аффинной прямой, которую мы представляем с помощью символа . ${\displaystyle R^{2}}$ ${\displaystyle R\mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle R\mathbb {P} ^{2}:=R^{2}\cup R\mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle R^{2}}$ ${\displaystyle R\mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle R\mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle R\mathbb {P} ^{1}:=R^{1}\cup R\mathbb {P} ^{0}}$ ${\displaystyle R^{1}}$ ${\displaystyle R\mathbb {P} ^{0}}$ ${\displaystyle \infty }$

Связанные алгебраические структуры

PTR, которые удовлетворяют дополнительным алгебраическим условиям, даются другие названия. Эти названия не применяются единообразно в литературе. Следующий список названий и свойств взят из Дембовски (1968, стр. 129).

Линейный PTR, аддитивный цикл которого ассоциативен (и, следовательно, является группой ), называется декартовой группой . В декартовой группе отображения

${\displaystyle x\longrightarrow -x\otimes a+x\otimes b}$, и ${\displaystyle x\longrightarrow a\otimes x-b\otimes x}$

должны быть перестановками всякий раз , когда . Поскольку декартовы группы являются группами по сложению, мы возвращаемся к использованию простого "+" для операции сложения. ${\displaystyle a\neq b}$

Квазиполе — это декартова группа , удовлетворяющая правому дистрибутивному закону: Сложение в любом квазиполе коммутативно . ${\displaystyle (x+y)\otimes z=x\otimes z+y\otimes z}$

Полуполе — это квазиполе, которое также удовлетворяет левому дистрибутивному закону: ${\displaystyle x\otimes (y+z)=x\otimes y+x\otimes z.}$

Плоское ближнее поле — это квазиполе, мультипликативный цикл которого ассоциативен (и, следовательно, является группой). Не все ближние поля являются плоскими ближними полями.

Примечания

1. Холл 1943
2. Хьюз и Пайпер 1973, стр. 113, Теория 5.1.
3. Хьюз и Пайпер 1973, стр. 118, Теорема 5.4
4. В литературе существуют две версии этого определения. Эту форму используют Холл (1959, стр. 355), Альберт и Сэндлер (1968, стр. 50) и Дембовски (1968, стр. 128), а используют Хьюз и Пайпер (1973, стр. 117), Пикерт (1975, стр. 38) и Стивенсон (1972, стр. 274). Разница заключается в альтернативных способах, которыми эти авторы координируют плоскость. ${\displaystyle a\oplus b=T(1,a,b)}$
5. Р. Х. Брук, Последние достижения в основах геометрии евклидовой плоскости , The American Mathematical Monthly, т. 66, стр. 2-17 (1955) Приложение I.
6. Холл 1943, стр.247 Теорема 5.4
7. Это можно сделать несколькими способами. Краткое описание метода, использованного Холлом (1943), можно найти в Дембовски (1968, стр. 127).
8. Дембовски 1968, стр. 129

Ссылки

• Альберт, А. Адриан; Сандлер, Рубен (1968). Введение в конечные проективные плоскости . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон.
• Арци, Рафаэль (2008) [1965], «Глава 4 Аксиоматическая плоская геометрия», Линейная геометрия , Дувр, ISBN 978-0-486-46627-9
• Benz, Walter; Ghalieh, Khuloud (1998), «Группоиды, связанные с тернарным кольцом проективной плоскости», Journal of Geometry , 61 (1–2): 17–31, doi :10.1007/bf01237490, S2CID  123135402
• Дембовский, Питер (1968), Конечные геометрии , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, МР  0233275
• Грари, А. (2004), «Необходимое и достаточное условие того, что два плоских тернарных кольца индуцируют изоморфные проективные плоскости», Arch. Math. (Базель) , 83 (2): 183–192, doi :10.1007/s00013-003-4580-9, S2CID  122203312
• Холл, Маршалл, младший (1943), «Проективные плоскости», Труды Американского математического общества , 54 (2), Американское математическое общество: 229–277, doi : 10.2307/1990331 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1990331, MR  0008892{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Холл, Маршалл-младший (1959), Теория групп , Нью-Йорк: The MacMillan Company, MR  0103215
• Хьюз, DR (1955), «Аддитивные и мультипликативные петли плоских тернарных колец», Труды Американского математического общества , 6 (6): 973–980, doi : 10.1090/s0002-9939-1955-0073568-8 , MR  0073568
• Хьюз, Дэниел Р.; Пайпер, Фред К. (1973), Проективные плоскости , Graduate Texts in Mathematics (6), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0387900446, МР  0333959
• Мартин, GE (1967), «Проективные плоскости и изотопные тернарные кольца», The American Mathematical Monthly , 74 (10): 1185–1195, doi : 10.2307/2315659, hdl : 10338.dmlcz/101204 , JSTOR  2315659, MR  0223972
• Пикерт, Гюнтер (1975), Projektive Ebenen , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3540072802
• Стивенсон, Фредерик (1972), Projective Planes , Сан-Франциско: WH Freeman and Company, ISBN 071670443-9