Форма кривизны

В дифференциальной геометрии форма кривизны описывает кривизну связности на главном расслоении . Тензор кривизны Римана в римановой геометрии можно рассматривать как частный случай.

Определение

Пусть G — группа Ли с алгеброй Ли , а P → B — главное G- расслоение . Пусть ω — связность Эресмана на P (которая является -значной одноформой на P ). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Тогда форма кривизны представляет собой -значную 2-форму на P, определяемую формулой ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega \wedge \omega ]=D\omega .}$

(В другом соглашении 1/2 не появляется.) Здесь обозначает внешнюю производную , определена в статье " Форма со значениями в алгебре Ли ", а D обозначает внешнюю ковариантную производную . Другими словами, ^[1] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle [\cdot \wedge \cdot ]}$

${\displaystyle \,\Omega (X,Y)=d\omega (X,Y)+{1 \over 2}[\omega (X),\omega (Y)]}$

где X , Y — касательные векторы к P.

Существует также другое выражение для Ω: если X , Y — горизонтальные векторные поля на P , то ^[2]

${\displaystyle \sigma \Omega (X,Y)=-\omega ([X,Y])=-[X,Y]+h[X,Y]}$

где hZ означает горизонтальную составляющую Z , справа мы определили вертикальное векторное поле и элемент алгебры Ли, порождающий его ( фундаментальное векторное поле ), и является обратной величиной нормировочного множителя, используемого по соглашению в формуле для внешней производной . ${\displaystyle \sigma \in \{1,2\}}$

Связь называется плоской, если ее кривизна равна нулю: Ω = 0. Эквивалентно, связь является плоской, если структурную группу можно свести к той же базовой группе, но с дискретной топологией.

Форма кривизны в векторном расслоении

Если E → B — векторное расслоение, то можно также рассматривать ω как матрицу 1-форм, и приведенная выше формула становится структурным уравнением Э. Картана:

${\displaystyle \,\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega ,}$

где — произведение клина . Точнее, если и обозначают компоненты ω и Ω соответственно (так что каждый является обычной 1-формой, а каждый — обычной 2-формой), то ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle {\omega ^{i}}_{j}}$ ${\displaystyle {\Omega ^{i}}_{j}}$ ${\displaystyle {\omega ^{i}}_{j}}$ ${\displaystyle {\Omega ^{i}}_{j}}$

${\displaystyle \Omega _{j}^{i}=d{\omega ^{i}}_{j}+\sum _{k}{\omega ^{i}}_{k}\wedge {\omega ^{k}}_{j}.}$

Например, для касательного расслоения риманова многообразия структурная группа есть O( n ), а Ω является 2-формой со значениями в алгебре Ли O( n ), т.е. антисимметричными матрицами . В этом случае форма Ω является альтернативным описанием тензора кривизны , т.е.

${\displaystyle \,R(X,Y)=\Omega (X,Y),}$

используя стандартную запись для тензора кривизны Римана.

Идентификации Бьянки

Если — каноническая векторнозначная 1-форма на расслоении фреймов , то кручение формы связи — векторнозначная 2-форма, определяемая структурным уравнением ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta =D\theta ,}$

где, как и выше, D обозначает внешнюю ковариантную производную .

Первая идентичность Бьянки имеет форму

${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta .}$

Вторая идентичность Бьянки принимает форму

${\displaystyle \,D\Omega =0}$

и справедливо в более общем смысле для любого соединения в главном пучке .

Тождества Бьянки можно записать в тензорной нотации следующим образом: ${\displaystyle R_{abmn;\ell }+R_{ab\ell m;n}+R_{abn\ell ;m}=0.}$

Сокращенные тождества Бианки используются для вывода тензора Эйнштейна в уравнениях поля Эйнштейна , составляющих основу общей теории относительности . ^{[ необходимо разъяснение ]}

Примечания

1. поскольку . Здесь мы также используем соглашение Кобаяши для внешней производной одной формы, которая затем ${\displaystyle [\omega \wedge \omega ](X,Y)={\frac {1}{2}}([\omega (X),\omega (Y)]-[\omega (Y),\omega (X)])}$ ${\displaystyle \sigma =2}$ ${\displaystyle d\omega (X,Y)={\frac {1}{2}}(X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y]))}$
2. Доказательство: ${\displaystyle \sigma \Omega (X,Y)=\sigma d\omega (X,Y)=X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y])=-\omega ([X,Y]).}$

Ссылки

• Сёсичи Кобаяши и Кацуми Номидзу (1963) Основы дифференциальной геометрии , т. I, глава 2.5 Форма кривизны и структурное уравнение, стр. 75, Wiley Interscience .

Смотрите также

• Подключение (основной пучок)
• Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
• Сокращенные идентичности Бьянки
• тензор Эйнштейна
• Уравнения поля Эйнштейна
• Общая теория относительности
• Форма Черна-Саймонса
• Кривизна римановых многообразий
• Калибровочная теория