самолет Моултона

Плоскость Моултона . Линии, наклоненные вниз и вправо, изгибаются там, где они пересекают ось Y.

В геометрии инцидентности плоскость Моултона является примером аффинной плоскости , в которой теорема Дезарга не выполняется. Она названа в честь американского астронома Фореста Рэя Моултона . Точки плоскости Моултона — это просто точки в действительной плоскости R2 ^, а прямые — это обычные прямые, за исключением того, что для прямых с отрицательным наклоном наклон удваивается, когда они пересекают ось y .

Формальное определение

Плоскость Моултона представляет собой структуру инцидентности , где обозначает множество точек, множество прямых, а отношение инцидентности «лежит на»: ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=\langle P,G,{\textrm {I}}\rangle }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\textrm {I}}}$

${\displaystyle P:=\mathbb {R} ^{2}\,}$

${\displaystyle G:=(\mathbb {R} \cup \{\infty \})\times \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \infty }$это просто формальный символ элемента . Он используется для описания вертикальных линий, которые можно рассматривать как линии с бесконечно большим наклоном. ${\displaystyle \not \in \mathbb {R} }$

Отношение инцидентности определяется следующим образом:

Для и у нас есть ${\displaystyle p=(x,y)\in P}$ ${\displaystyle g=(m,b)\in G}$

${\displaystyle p\,{\textrm {I}}\,g\iff {\begin{cases}x=b&{\text{if }}m=\infty \\y={\frac {1}{2}}mx+b&{\text{if }}m\leq 0,x\leq 0\\y=mx+b&{\text{if }}m\geq 0{\text{ or }}x\geq 0.\end{cases}}}$

Приложение

Плоскость Моултона является аффинной плоскостью, в которой теорема Дезарга не выполняется. ^[1] Соответствующая проективная плоскость, следовательно, также недезаргова. Это означает, что существуют проективные плоскости, не изоморфные для любого (косого) поля F . Вот проективная плоскость, определяемая 3-мерным векторным пространством над (косым) полем F . ${\displaystyle PG(2,F)}$ ${\displaystyle PG(2,F)}$ ${\displaystyle P(F^{3})}$

Примечания

1. Бойтельспехер и Розенбаум 1998, стр. 77

Ссылки

• Бойтельспахер, Альбрехт ; Розенбаум, Юте (1998), Проективная геометрия: от основ к приложениям , Cambridge University Press, стр. 76–78, ISBN 978-0-521-48364-3
• Moulton, Forest Ray (1902), «Простая недезаргова плоская геометрия», Transactions of the American Mathematical Society , 3 (2), Providence, RI: American Mathematical Society : 192–195, doi : 10.2307/1986419 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1986419
• Ричард С. Миллман, Джордж Д. Паркер: Геометрия: метрический подход с моделями . Springer 1991, ISBN 9780387974125 , стр. 97-104