В проективной геометрии плоскость на бесконечности — это гиперплоскость на бесконечности трехмерного проективного пространства или любая плоскость, содержащаяся в гиперплоскости на бесконечности любого проективного пространства более высокой размерности. В этой статье будет рассматриваться исключительно трехмерный случай.
Существует два подхода к определению плоскости на бесконечности , которые зависят от того, начинаем ли мы с проективного 3-пространства или с аффинного 3-пространства .
Если задано проективное 3-пространство, плоскость на бесконечности является любой выделенной проективной плоскостью пространства. [1] Эта точка зрения подчеркивает тот факт, что эта плоскость геометрически не отличается от любой другой плоскости. С другой стороны, задано аффинное 3-пространство, плоскость на бесконечности является проективной плоскостью, которая добавляется к аффинному 3-пространству, чтобы придать ему замкнутость свойств инцидентности . Это означает, что точки плоскости на бесконечности являются точками, где будут встречаться параллельные линии аффинного 3-пространства, а линии являются линиями, где будут встречаться параллельные плоскости аффинного 3-пространства. Результатом сложения является проективное 3-пространство, . Эта точка зрения подчеркивает внутреннюю структуру плоскости на бесконечности, но делает ее «особенной» по сравнению с другими плоскостями пространства.
Если аффинное 3-пространство является действительным , то добавление действительной проективной плоскости на бесконечности дает действительное проективное 3-пространство .
Поскольку любые две проективные плоскости в проективном 3-пространстве эквивалентны, мы можем выбрать однородную систему координат так, чтобы любая точка на плоскости на бесконечности была представлена как ( X : Y : Z :0). [2] Любая точка в аффинном 3-пространстве будет представлена как ( X : Y : Z :1). Точки на плоскости на бесконечности, по-видимому, имеют три степени свободы, но однородные координаты эквивалентны с точностью до любого масштабирования:
так что координаты ( X : Y : Z :0) можно нормализовать , тем самым уменьшив число степеней свободы до двух (таким образом, получается поверхность, а именно проективная плоскость).
Предложение : Любая прямая, проходящая через начало координат (0:0:0:1) и через точку ( X : Y : Z :1), пересечет плоскость на бесконечности в точке ( X : Y : Z :0).
Доказательство : Прямая, проходящая через точки (0:0:0:1) и ( X : Y : Z :1), будет состоять из точек, которые являются линейными комбинациями двух данных точек:
Для того чтобы такая точка лежала на плоскости в бесконечности, мы должны иметь, . Таким образом, выбрав , мы получаем точку , что и требовалось. ЧТЭД
Любая пара параллельных прямых в 3-пространстве пересечет друг друга в точке на плоскости на бесконечности. Кроме того, каждая прямая в 3-пространстве пересекает плоскость на бесконечности в единственной точке. Эта точка определяется направлением — и только направлением — прямой. Чтобы определить эту точку, рассмотрим прямую, параллельную данной прямой, но проходящую через начало координат, если прямая еще не проходит через начало координат. Затем выберите любую точку, отличную от начала координат, на этой второй прямой. Если однородные координаты этой точки равны ( X : Y : Z :1), то однородные координаты точки на бесконечности, через которую проходят первая и вторая прямые, равны ( X : Y : Z :0).
Пример : Рассмотрим прямую, проходящую через точки (0:0:1:1) и (3:0:1:1). Параллельная прямая проходит через точки (0:0:0:1) и (3:0:0:1). Эта вторая прямая пересекает плоскость на бесконечности в точке (3:0:0:0). Но первая прямая также проходит через эту точку:
когда . ■
Любая пара параллельных плоскостей в аффинном 3-пространстве будет пересекаться по проективной прямой ( прямой на бесконечности ) в плоскости на бесконечности. Кроме того, каждая плоскость в аффинном 3-пространстве пересекает плоскость на бесконечности по уникальной прямой. [3] Эта прямая определяется направлением — и только направлением — плоскости.
Поскольку плоскость на бесконечности является проективной, она гомеоморфна поверхности «сферы по модулю антиподов», т.е. сферы, в которой антиподальные точки эквивалентны: S 2 /{1,-1}, где частное понимается как частное по действию группы (см. факторпространство ).
