Плотность заряда

Электрический заряд на единицу длины, площади или объема

В электромагнетизме плотность заряда — это количество электрического заряда на единицу длины , площади поверхности или объема . Объемная плотность заряда (обозначается греческой буквой ρ) — это количество заряда на единицу объема, измеряемое в системе СИ в кулонах на кубический метр (Кл⋅м ⁻³ ), в любой точке объема. ^{[1] [2] [3]} Поверхностная плотность заряда (σ) — это количество заряда на единицу площади, измеряемое в кулонах на квадратный метр (Кл⋅м ⁻² ), в любой точке распределения поверхностного заряда на двумерной поверхности. Линейная плотность заряда (λ) — это количество заряда на единицу длины, измеряемое в кулонах на метр (Кл⋅м ⁻¹ ), в любой точке распределения линейного заряда. Плотность заряда может быть как положительной, так и отрицательной, поскольку электрический заряд может быть как положительным, так и отрицательным.

Как и плотность массы , плотность заряда может меняться в зависимости от положения. В классической электромагнитной теории плотность заряда идеализируется как непрерывная скалярная функция положения , как жидкость, и , и обычно рассматриваются как непрерывные распределения заряда , хотя все реальные распределения заряда состоят из дискретных заряженных частиц. Из-за сохранения электрического заряда плотность заряда в любом объеме может изменяться только в том случае, если электрический ток заряда втекает в объем или вытекает из него. Это выражается уравнением непрерывности , которое связывает скорость изменения плотности заряда и плотность тока . ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle \sigma ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle \lambda ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {x}})}$

Поскольку весь заряд переносится субатомными частицами , которые можно идеализировать как точки, концепция непрерывного распределения заряда является приближением, которое становится неточным на малых масштабах длины. Распределение заряда в конечном итоге состоит из отдельных заряженных частиц, разделенных областями, не содержащими заряда. ^[4] Например, заряд в электрически заряженном металлическом объекте состоит из электронов проводимости, беспорядочно движущихся в кристаллической решетке металла . Статическое электричество вызывается поверхностными зарядами, состоящими из электронов и ионов вблизи поверхности объектов, а пространственный заряд в вакуумной трубке состоит из облака свободных электронов, беспорядочно движущихся в пространстве. Плотность носителей заряда в проводнике равна числу подвижных носителей заряда ( электронов , ионов и т. д.) в единице объема. Плотность заряда в любой точке равна плотности носителей заряда, умноженной на элементарный заряд на частицах. Однако, поскольку элементарный заряд электрона настолько мал (1,6⋅10−19 ^Кл ), а их так много в макроскопическом объеме ( в кубическом сантиметре меди содержится около ^{1022 электронов проводимости), непрерывное приближение очень точно при применении к макроскопическим объемам и даже микроскопическим объемам выше нанометрового уровня.}

В еще меньших масштабах, атомов и молекул, из-за принципа неопределенности квантовой механики , заряженная частица не имеет точного положения, а представлена ​​распределением вероятностей , поэтому заряд отдельной частицы не сосредоточен в точке, а «размазан» в пространстве и действует как истинное непрерывное распределение заряда. ^[4] Это значение «распределения заряда» и «плотности заряда», используемых в химии и химической связи . Электрон представлен волновой функцией , квадрат которой пропорционален вероятности нахождения электрона в любой точке пространства, поэтому пропорционален плотности заряда электрона в любой точке. В атомах и молекулах заряд электронов распределен в облаках, называемых орбиталями , которые окружают атом или молекулу и отвечают за химические связи . ${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle |\psi ({\boldsymbol {x}})|^{2}}$

Определения

Непрерывные заряды

Непрерывное распределение заряда. Объемная плотность заряда ρ — это количество заряда на единицу объема (трехмерное), поверхностная плотность заряда σ — это количество на единицу площади поверхности (круг) с внешней единичной нормалью n̂ , d — это дипольный момент между двумя точечными зарядами, объемная плотность которых — это плотность поляризации P. Радиус-вектор r — это точка для расчета электрического поля ; r ′ — это точка в заряженном объекте.

Ниже приведены определения для непрерывных распределений заряда. ^{[5] [6]}

Линейная плотность заряда — это отношение бесконечно малого электрического заряда dQ (единица СИ: Кл ) к бесконечно малому элементу линии , аналогично поверхностная плотность заряда использует элемент площади поверхности dS , а объемная плотность заряда использует элемент объема dV. $${\displaystyle \lambda _{q}={\frac {dQ}{d\ell }}\,,}$$ $${\displaystyle \sigma _{q}={\frac {dQ}{dS}}\,,}$$ $${\displaystyle \rho _{q}={\frac {dQ}{dV}}\,,}$$

Интеграция определений дает полный заряд Q области в соответствии с линейным интегралом линейной плотности заряда λ _q ( r ) по линии или одномерной кривой C , аналогично поверхностным интегралом поверхностной плотности заряда σ _q ( r ) по поверхности S и объемным интегралом объемной плотности заряда ρ _q ( r ) по объему V , где нижний индекс q нужен для пояснения того, что плотность относится к электрическому заряду, а не к другим плотностям, таким как плотность массы , плотность числа , плотность вероятности , и для предотвращения конфликта со многими другими применениями λ , σ , ρ в электромагнетизме для длины волны , электрического сопротивления и проводимости . $${\displaystyle Q=\int _{L}\lambda _{q}(\mathbf {r} )\,d\ell }$$ $${\displaystyle Q=\int _{S}\sigma _{q}(\mathbf {r} )\,dS}$$ $${\displaystyle Q=\int _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,dV}$$

В контексте электромагнетизма индексы обычно опускаются для простоты: λ , σ , ρ . Другие обозначения могут включать: ρ _ℓ , ρ _s , ρ _v , ρ _L , ρ _S , ρ _V и т. д.

Общий заряд, деленный на длину, площадь поверхности или объем, будет средней плотностью заряда: $${\displaystyle \langle \lambda _{q}\rangle ={\frac {Q}{\ell }}\,,\quad \langle \sigma _{q}\rangle ={\frac {Q}{S}}\,,\quad \langle \rho _{q}\rangle ={\frac {Q}{V}}\,.}$$

Свободный, связанный и полный заряд

В диэлектрических материалах общий заряд объекта можно разделить на «свободные» и «связанные» заряды.

Связанные заряды устанавливают электрические диполи в ответ на приложенное электрическое поле E и поляризуют другие близлежащие диполи, стремясь выстроить их в линию, чистое накопление заряда от ориентации диполей является связанным зарядом. Они называются связанными, потому что их нельзя удалить: в диэлектрическом материале заряды являются электронами, связанными с ядрами . ^[6]

Свободные заряды — это избыточные заряды, которые могут перейти в электростатическое равновесие , то есть когда заряды не движутся и результирующее электрическое поле не зависит от времени, или представляют собой электрические токи . ^[5]

Полная плотность заряда

В терминах объемных плотностей заряда общая плотность заряда равна: а для поверхностных плотностей заряда: где индексы «f» и «b» обозначают «свободный» и «связанный» соответственно. $${\displaystyle \rho =\rho _{\text{f}}+\rho _{\text{b}}\,.}$$ $${\displaystyle \sigma =\sigma _{\text{f}}+\sigma _{\text{b}}\,.}$$

Связанный заряд

Связанный поверхностный заряд — это заряд, накопленный на поверхности диэлектрика , заданный дипольным моментом, перпендикулярным поверхности: ^[6] где s — расстояние между точечными зарядами, составляющими диполь, — электрический дипольный момент , — единичный вектор нормали к поверхности. $${\displaystyle q_{b}={\frac {\mathbf {d} \cdot \mathbf {\hat {n}} }{|\mathbf {s} |}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

Взяв бесконечно малые величины и разделив их на дифференциальный элемент поверхности dS, получаем плотность связанного поверхностного заряда: где P — плотность поляризации , т.е. плотность электрических дипольных моментов внутри материала, а dV — дифференциальный элемент объема . $${\displaystyle dq_{b}={\frac {d\mathbf {d} }{|\mathbf {s} |}}\cdot \mathbf {\hat {n}} }$$ $${\displaystyle \sigma _{b}={\frac {dq_{b}}{dS}}={\frac {d\mathbf {d} }{|\mathbf {s} |dS}}\cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {d\mathbf {d} }{dV}}\cdot \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,.}$$

Используя теорему о расходимости , можно определить плотность связанного объемного заряда внутри материала : $${\displaystyle q_{b}=\int \rho _{b}\,dV=-\oint _{S}\mathbf {P} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS=-\int \nabla \cdot \mathbf {P} \,dV}$$ $${\displaystyle \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} \,.}$$

Отрицательный знак возникает из-за противоположных знаков зарядов в диполях, один конец которых находится внутри объема объекта, другой — на поверхности.

Более строгий вывод приведен ниже. ^[6]

Вывод плотностей связанных поверхностных и объемных зарядов из внутренних дипольных моментов (связанных зарядов)

Электрический потенциал, обусловленный дипольным моментом d, равен: $${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {d} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$$

Для непрерывного распределения материал можно разделить на бесконечное множество бесконечно малых диполей , где dV = d ³ r′ — элемент объема, поэтому потенциал — это объемный интеграл по объекту: $${\displaystyle d\mathbf {d} =\mathbf {P} dV=\mathbf {P} d^{3}\mathbf {r} }$$ $${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}d^{3}\mathbf {r'} }$$

Так как ∇′ — градиент в координатах r′ , $${\displaystyle \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\equiv \left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial }{\partial x'}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial }{\partial y'}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial }{\partial z'}}\right)\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$$ $${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint \mathbf {P} \cdot \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)d^{3}\mathbf {r'} }$$

Интегрируем по частям, используя теорему о расходимости: $${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint \left[\nabla '\cdot \left({\frac {\mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)-{\frac {1}{\mathbf {r} -\mathbf {r} '}}(\nabla '\cdot \mathbf {P} )\right]d^{3}\mathbf {r'} }$$

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {\nabla '\cdot \mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r'} }$

который разделяется на потенциал поверхностного заряда ( поверхностный интеграл ) и потенциал, обусловленный объемным зарядом (объемный интеграл):

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle {\frac {\sigma _{b}dS'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {\rho _{b}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r'} }$

то есть $${\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,,\quad \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} }$$

Плотность свободного заряда

Плотность свободного заряда служит полезным упрощением закона Гаусса для электричества; ее объемный интеграл представляет собой свободный заряд, заключенный в заряженном объекте, равный чистому потоку электрического поля смещения D , выходящего из объекта:

${\displaystyle \Phi _{D}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle \mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS=\iiint \rho _{f}dV}$

Более подробную информацию см . в уравнениях Максвелла и основных соотношениях .

Однородная плотность заряда

Для частного случая однородной плотности заряда ρ ₀ , не зависящей от положения, т.е. постоянной во всей области материала, уравнение упрощается до: $${\displaystyle Q=V\rho _{0}.}$$

Доказательство

Начнем с определения плотности непрерывного объемного заряда: $${\displaystyle Q=\int _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,dV.}$$

Тогда, по определению однородности, ρ _q ( r ) является константой, обозначаемой ρ _{q , 0} (чтобы различать постоянную и непостоянную плотности), и поэтому по свойствам интеграла может быть вынесена за пределы интеграла, что приводит к: итак, $${\displaystyle Q=\rho _{q,0}\int _{V}\,dV=\rho _{0}V}$$ $${\displaystyle Q=V\rho _{q,0}.}$$

Эквивалентные доказательства для линейной плотности заряда и поверхностной плотности заряда следуют тем же аргументам, что и выше.

Дискретные сборы

Для одиночного точечного заряда q в положении r ₀ внутри области трехмерного пространства R , например, электрона , объемная плотность заряда может быть выражена дельта-функцией Дирака : где r — положение для расчета заряда. $${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})}$$

Как всегда, интеграл плотности заряда по области пространства — это заряд, содержащийся в этой области. Дельта-функция имеет свойство сдвига для любой функции f : поэтому дельта-функция гарантирует, что при интегрировании плотности заряда по R полный заряд в R равен q : $${\displaystyle \int _{R}d^{3}\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=f(\mathbf {r} _{0})}$$ $${\displaystyle Q=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,\rho _{q}=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=q\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=q}$$

Это можно распространить на N дискретных точечных носителей заряда. Плотность заряда системы в точке r представляет собой сумму плотностей заряда для каждого заряда q _i в позиции r _i , где i = 1, 2, ..., N : $${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})}$$

Дельта-функция для каждого заряда q _i в сумме, δ ( r − r _i ), гарантирует, что интеграл плотности заряда по R возвращает полный заряд в R : $${\displaystyle Q=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}}$$

Если все носители заряда имеют одинаковый заряд q (для электронов q = − e , заряд электрона ), плотность заряда можно выразить через число носителей заряда в единице объема, n ( r ), по формуле $${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=qn(\mathbf {r} )\,.}$$

Аналогичные уравнения используются для линейной и поверхностной плотности заряда.

Плотность заряда в специальной теории относительности

В специальной теории относительности длина сегмента провода зависит от скорости наблюдателя из-за сокращения длины , поэтому плотность заряда также будет зависеть от скорости. Энтони Френч ^[7] описал, как сила магнитного поля провода с током возникает из этой относительной плотности заряда. Он использовал (стр. 260) диаграмму Минковского , чтобы показать, «как нейтральный провод с током, по-видимому, несет чистую плотность заряда, наблюдаемую в движущейся системе отсчета». Когда плотность заряда измеряется в движущейся системе отсчета, она называется собственной плотностью заряда . ^{[8] [9] [10]}

Оказывается, плотность заряда ρ и плотность тока J преобразуются вместе как вектор четырехтока при преобразованиях Лоренца .

Плотность заряда в квантовой механике

В квантовой механике плотность заряда ρ _q связана с волновой функцией ψ ( r ) уравнением , где q — заряд частицы, а | ψ ( r ) | ² = ψ *( r ) ψ ( r ) — функция плотности вероятности , т.е. вероятность на единицу объема частицы, расположенной в точке r . Когда волновая функция нормализована — средний заряд в области r ∈ R равен , где d ³ r — мера интегрирования по трехмерному пространству положений. $${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q|\psi (\mathbf {r} )|^{2}}$$ $${\displaystyle Q=\int _{R}q|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} }$$

Для системы идентичных фермионов плотность числа определяется как сумма плотностей вероятности каждой частицы в:

${\displaystyle n(\mathbf {r} )=\sum _{i}\langle \psi |\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}')|\psi \rangle }$

${\displaystyle n(\mathbf {r} )=\sum _{i}\int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{N}\,\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} ',\dots ,\mathbf {r} _{N})\Psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} ',\dots ,\mathbf {r} _{N}).}$

Используя условие симметризации: где рассматривается как плотность заряда. $${\displaystyle n(\mathbf {r} )=N\int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{N}\,\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})\Psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N}).}$$ ${\textstyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q\cdot n(\mathbf {r} )}$

Потенциальная энергия системы записывается как: Таким образом, энергия отталкивания электронов при этих условиях получается равной: Обратите внимание, что это не включает обменную энергию системы, которая является чисто квантово-механическим явлением и должна рассчитываться отдельно. $${\displaystyle \langle \psi |U|\psi \rangle =\int V(\mathbf {r} )n(\mathbf {r} )\delta ^{3}\mathbf {r} }$$ $${\displaystyle U_{ee}[n]=J[n]={\frac {1}{2}}\int \delta ^{3}\mathbf {r} '\int \delta ^{3}\mathbf {r} \left({\frac {(en(\mathbf {r} ))(en(\mathbf {r} '))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {1}{2}}\int \delta ^{3}\mathbf {r} '\int \delta ^{3}\mathbf {r} \left({\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)}$$

Тогда энергия определяется с помощью метода Хартри-Фока как:

${\displaystyle E[n]=I+J-K}$

Где I — кинетическая и потенциальная энергия электронов, обусловленная положительными зарядами, J — энергия взаимодействия электронов и K — обменная энергия электронов. ^{[11] [12]}

Приложение

Плотность заряда появляется в уравнении непрерывности электрического тока, а также в уравнениях Максвелла . Это главный исходный член электромагнитного поля ; когда распределение заряда перемещается, это соответствует плотности тока . Плотность заряда молекул влияет на химические и разделительные процессы. Например, плотность заряда влияет на связь металл-металл и водородную связь . ^[13] Для процессов разделения, таких как нанофильтрация , плотность заряда ионов влияет на их отторжение мембраной. ^[14]

Смотрите также

• Уравнение непрерывности, связывающее плотность заряда и плотность тока
• Ионный потенциал
• Волна плотности заряда

Ссылки

1. PM Whelan, MJ Hodgson (1978). Essential Principles of Physics (2-е изд.). Джон Мюррей. ISBN 0-7195-3382-1.
2. "Физика 2: Электричество и магнетизм, заметки к курсу, гл. 2, стр. 15-16" (PDF) . MIT OpenCourseware . Массачусетский технологический институт. 2007 . Получено 3 декабря 2017 г. .
3. Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2013). Физика для ученых и инженеров, т. 2, 9-е изд. Cengage Learning. стр. 704. ISBN 9781133954149.
4. Purcell, Edward (2011-09-22). Электричество и магнетизм. Cambridge University Press. ISBN 9781107013605.
5. IS Grant; WR Phillips (2008). Электромагнетизм (2-е изд.). Manchester Physics, John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9.
6. DJ Griffiths (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education, Dorling Kindersley. ISBN 978-81-7758-293-2.
7. Френч, А. (1968). "8:Относительность и электричество". Специальная теория относительности . WW Norton . С. 229–265.
8. Молд, Ричард А. (2001). "Сила Лоренца". Базовая теория относительности . Springer Science & Business Media . ISBN 0-387-95210-1.
9. Лоуден, Дерек Ф. (2012). Введение в тензорное исчисление: теория относительности и космология . Courier Corporation. стр. 74. ISBN 978-0-486-13214-3.
10. Вандерлинде, Джек (2006). "11.1: Четырехпотенциал и закон Кулона". Классическая электромагнитная теория . Springer Science & Business Media. стр. 314. ISBN 1-4020-2700-1.
11. Сакурай, Джун Джон; Наполитано, Джим (2021). Современная квантовая механика (3-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. С. 443–453. ISBN 978-1-108-47322-4.
12. Литтлджон, Роберт Г. «Метод Хартри-Фока в атомах» (PDF) .
13. RJ Gillespie & PLA Popelier (2001). «Химическая связь и молекулярная геометрия». Environmental Science & Technology . 52 (7). Oxford University Press: 4108–4116. Bibcode : 2018EnST...52.4108E. doi : 10.1021/acs.est.7b06400. PMID  29510032.
14. Рази Эпштейн, Эвьятар Шаульский, Надир Дизге, Дэвид М. Варсингер, Менахем Элимелех (2018). «Зависимое от плотности заряда ионов исключение Доннана при нанофильтрации одновалентных анионов». Environmental Science & Technology . 52 (7): 4108–4116. Bibcode : 2018EnST...52.4108E. doi : 10.1021/acs.est.7b06400. PMID  29510032.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Дальнейшее чтение

• А. Халперн (1988). 3000 решенных задач по физике . Серия Шаума, McGraw Hill. ISBN 978-0-07-025734-4.
• G. Woan (2010). Кембриджский справочник по физическим формулам . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57507-2.
• PA Tipler, G. Mosca (2008). Физика для ученых и инженеров - с современной физикой (6-е изд.). Freeman. ISBN 978-0-7167-8964-2.
• RG Lerner , GL Trigg (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издательство VHC. ISBN 978-0-89573-752-6.
• CB Parker (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2-е изд.). Издательство VHC. ISBN 978-0-07-051400-3.

Внешние ссылки

• [1] - Пространственное распределение заряда