Геометрически необходимые дислокации

Геометрически необходимые дислокации — это дислокации одного знака, необходимые для приспособления к пластическому изгибу в кристаллическом материале . ^[1] Они присутствуют, когда пластическая деформация материала сопровождается внутренними градиентами пластической деформации. ^[2] Они противопоставляются статистически сохраненным дислокациям со статистикой равных положительных и отрицательных знаков, которые возникают во время пластического течения из-за процессов размножения, таких как источник Франка-Рида.

Дислокации в кристаллических материалах

Статистически сохраненные дислокации

По мере прогрессирования деформации плотность дислокаций увеличивается, а подвижность дислокаций уменьшается во время пластического течения. Существуют различные способы, посредством которых дислокации могут накапливаться. Многие из дислокаций накапливаются путем умножения, когда дислокации сталкиваются друг с другом случайно. Дислокации, хранящиеся в таких прогрессиях, называются статистически хранящимися дислокациями с соответствующей плотностью . ^[2] Другими словами, это дислокации, возникшие в результате случайных процессов захвата во время пластической деформации. ^[3] ${\displaystyle \rho _{s}}$

Геометрически необходимые дислокации

В дополнение к статистически сохраненным дислокациям, геометрически необходимые дислокации накапливаются в полях градиентов деформации, вызванных геометрическими ограничениями кристаллической решетки. В этом случае пластическая деформация сопровождается внутренними градиентами пластической деформации. Теория геометрически необходимых дислокаций была впервые введена Наем ^[4] в 1953 году. Поскольку в дополнение к статистически сохраненным дислокациям присутствуют геометрически необходимые дислокации, общая плотность представляет собой накопление двух плотностей, например , , где — плотность геометрически необходимых дислокаций. ${\displaystyle \rho _{s}+\rho _{g}}$ ${\displaystyle \rho _{g}}$

Концепция

Монокристалл

Пластический изгиб монокристалла можно использовать для иллюстрации концепции геометрически необходимой дислокации, где плоскости скольжения и кристаллические ориентации параллельны направлению изгиба. Идеальный (недеформированный) кристалл имеет длину и толщину . Когда кристаллический стержень изгибается до радиуса кривизны , образуется градиент деформации, где в верхней части кристаллического стержня возникает деформация растяжения, увеличивая длину верхней поверхности от до . Здесь положительно и предполагается, что его величина равна . Аналогично, длина противоположной внутренней поверхности уменьшается от до из-за деформации сжатия, вызванной изгибом. Таким образом, градиент деформации представляет собой разность деформаций между внешней и внутренней поверхностями кристалла, деленную на расстояние, на котором существует градиент ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l+dl}$ ${\displaystyle dl}$ ${\displaystyle t\theta /2}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l-dl}$

${\displaystyle strain\ gradient=2{\frac {dl/l}{t}}=2{\frac {t\theta /2l}{t}}={\frac {\theta }{l}}}$. С , . ${\displaystyle l=r\theta }$ ${\displaystyle strain\ gradient={\frac {1}{r}}}$

Рисунок, поясняющий образование геометрически необходимых дислокаций в монокристалле

Длина поверхности, деленная на межатомное расстояние, есть число кристаллических плоскостей на этой поверхности. Межатомное расстояние равно величине вектора Бюргерса . Таким образом, числа кристаллических плоскостей на внешней (растяжения) поверхности и внутренней (сжатия) поверхности равны и , соответственно. Поэтому вводится понятие геометрически необходимых дислокаций, согласно которому краевые дислокации одного знака компенсируют разницу в числе атомных плоскостей между поверхностями. Плотность геометрически необходимых дислокаций есть эта разница, деленная на площадь поверхности кристалла ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (l+dl)/b}$ ${\displaystyle (l-dl)/b}$ ${\displaystyle \rho _{g}}$

${\displaystyle \rho _{g}={\frac {(l+dl)/b-(l-dl)/b}{lt}}=2{\frac {dl}{ltb}}={\frac {1}{rb}}={\frac {strain\ gradient}{b}}}$.

Точнее, при расчете плотности геометрически необходимых дислокаций следует учитывать ориентацию плоскости скольжения и направление относительно изгиба. В частном случае, когда нормали плоскости скольжения параллельны оси изгиба, а направления скольжения перпендикулярны этой оси, в процессе изгиба вместо геометрически необходимой дислокации происходит обычное скольжение дислокации. Таким образом, в выражение для плотности геометрически необходимых дислокаций входит константа порядка единицы ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \rho _{g}=\alpha {\frac {strain\ gradient}{b}}}$.

Поликристаллический материал

Между соседними зернами поликристаллического материала геометрически необходимые дислокации могут обеспечить совместимость смещения, приспосабливаясь к градиенту деформации каждого кристалла. Эмпирически можно сделать вывод, что такие области дислокаций существуют, поскольку кристаллиты в поликристаллическом материале не имеют пустот или перекрывающихся сегментов между ними. В такой системе плотность геометрически необходимых дислокаций можно оценить, рассмотрев среднее зерно. Перекрытие между двумя соседними зернами пропорционально , ​​где - средняя деформация, а - диаметр зерна. Смещение пропорционально умноженному на длину калибра, которая принимается как для поликристалла. Это, деленное на вектор Бюргерса , b , дает количество дислокаций, а деление на площадь ( ) дает плотность ${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}d}$ ${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle dl}$ ${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \cong d^{2}}$

${\displaystyle \rho _{g}\cong {\frac {\overline {\varepsilon }}{bd}}}$

который, с учетом дальнейших геометрических соображений, может быть уточнен до

${\displaystyle \rho _{g}={\frac {\overline {\varepsilon }}{4bd}}}$. ^[2]

Тензор Ная

Най ввел набор тензоров (так называемый тензор Найя) для расчета геометрически необходимой плотности дислокаций. ^[4]

Для трехмерных дислокаций в кристалле, рассматривая область, где эффекты дислокаций усредняются (т.е. кристалл достаточно большой). Дислокации могут быть определены векторами Бюргерса . Если контур Бюргерса единичной площади, нормальный единичному вектору, имеет вектор Бюргерса ${\displaystyle l_{j}}$ ${\displaystyle B_{i}}$

${\displaystyle B_{i}=\alpha _{ij}l_{j}}$( ) ${\displaystyle i,j=1,2,3}$

где коэффициент — тензор Ная, связывающий единичный вектор и вектор Бюргерса . Этот тензор второго ранга определяет дислокационное состояние особой области. ${\displaystyle \alpha _{ij}}$ ${\displaystyle l_{j}}$ ${\displaystyle B_{i}}$

Предположим , , где — единичный вектор, параллельный дислокациям, а — вектор Бюргерса, n — число дислокаций, пересекающих единичную площадь по нормали к . Таким образом, . Общее значение — это сумма всех различных значений . Предположим, что тензор второго ранга описывает кривизну решетки, , где — малые повороты решетки вокруг трех осей, а — вектор смещения. Можно доказать, что где для , и для . ${\displaystyle B_{i}=b_{i}(nr_{j}l_{j})}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \alpha _{ij}=nb_{i}r_{j}}$ ${\displaystyle \alpha _{ij}}$ ${\displaystyle nb_{i}r_{j}}$ ${\displaystyle k_{ij}}$ ${\displaystyle d\phi _{i}=k_{ij}dx_{j}}$ ${\displaystyle d\phi _{i}}$ ${\displaystyle dx_{j}}$ ${\displaystyle k_{ij}=\alpha _{ji}-{\tfrac {1}{2}}\delta _{ij}\alpha _{kk}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}=1}$ ${\displaystyle i=j}$ ${\displaystyle \delta _{ij}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$

Уравнение равновесия дает . Так как , таким образом . Подставляя вместо , . Вследствие того, что нулевое решение уравнений с равно нулю, а симметрия и , из всех двадцати семи возможных перестановок остается только девять независимых уравнений . Тензор Ная можно определить с помощью этих девяти дифференциальных уравнений. ${\displaystyle {\frac {\partial \alpha _{ij}}{\partial x_{j}}}=0}$ ${\displaystyle k_{ij}={\frac {\partial \phi {i}}{\partial x_{j}}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial k_{ij}}{\partial x_{k}}}={\partial ^{2} \over \partial x_{j}\partial x_{k}}\phi _{i}={\frac {\partial k_{ik}}{\partial x_{j}}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \alpha _{ji}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial \alpha _{ki}}{\partial x_{j}}}={\frac {1}{2}}(\delta _{ij}{\frac {\partial \alpha _{ll}}{\partial x_{k}}}-\delta _{ik}{\frac {\partial \alpha _{ll}}{\partial x_{j}}})}$ ${\displaystyle j=k}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i,j,k}$ ${\displaystyle \alpha _{ij}}$

Таким образом, потенциал дислокации можно записать как , где . ${\displaystyle W={\tfrac {1}{2}}\alpha _{ij}k_{ij}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial k_{ij}}}={\frac {1}{2}}\alpha _{ij}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \alpha _{kl}}{\partial k_{ij}}}k_{kl}={\frac {1}{2}}\alpha _{ij}+{\frac {1}{2}}k_{ji}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}k_{kk}=\alpha _{ij}}$

Измерение

Испытание на одноосное растяжение в основном проводилось для получения соотношений напряжение-деформация и связанных с ними механических свойств объемных образцов. Однако существует дополнительное накопление дефектов, связанных с неоднородной пластической деформацией в геометрически необходимых дислокациях, и обычного макроскопического испытания, например, испытания на одноосное растяжение, недостаточно для того, чтобы уловить эффекты таких дефектов, например, градиент пластической деформации. Кроме того, геометрически необходимые дислокации находятся в микронном масштабе, тогда как обычное испытание на изгиб, проведенное в миллиметровом масштабе, не может обнаружить эти дислокации. ^[5]

Только после изобретения Адамсом и др. ^[6] в 1997 году пространственно и углово разрешенных методов измерения искажения решетки с помощью дифракции обратно рассеянных электронов экспериментальные измерения геометрически необходимых дислокаций стали возможными. Например, Сан и др. ^[7] в 2000 году изучали картину кривизны решетки вблизи интерфейса деформированных алюминиевых бикристаллов с использованием микроскопии ориентационной визуализации на основе дифракции. Таким образом, наблюдение геометрически необходимых дислокаций было реализовано с использованием данных о кривизне.

Но из-за экспериментальных ограничений плотность геометрически необходимой дислокации для общего деформированного состояния было трудно измерить, пока в 2010 году Кисар и др. ^{[8] не предложили метод нижней границы. Они изучали клиновое вдавливание с углом в 90 градусов в один кристалл никеля (а позже Дальберг и др. [9]} также получили углы в 60 и 120 градусов ). Сравнивая ориентацию кристаллической решетки в последеформированной конфигурации с недеформированным однородным образцом, они смогли определить поворот решетки в плоскости и обнаружили, что он на порядок больше поворотов решетки вне плоскости, тем самым демонстрируя предположение о плоской деформации.

Тензор плотности дислокаций Ная ^[4] имеет только два ненулевых компонента из-за двумерного деформационного состояния, и они могут быть получены из измерений вращения решетки. Поскольку линейная связь между двумя компонентами тензора Ная и плотностями геометрически необходимых дислокаций обычно недоопределена, общая плотность геометрически необходимых дислокаций минимизируется в зависимости от этой связи. Это решение нижней границы представляет собой минимальную геометрически необходимую плотность дислокаций в деформированном кристалле, согласующуюся с измеренной геометрией решетки. А в областях, где известно, что активны только одна или две эффективные системы скольжения, решение нижней границы сводится к точному решению для геометрически необходимых плотностей дислокаций.

Приложение

Поскольку в дополнение к плотности статистически сохраненных дислокаций , увеличение плотности дислокаций из-за размещенных поликристаллов приводит к эффекту размера зерна во время деформационного упрочнения ; то есть поликристаллы с более мелким размером зерна будут иметь тенденцию к более быстрому упрочнению. ^[2] ${\displaystyle \rho _{g}}$ ${\displaystyle \rho _{s}}$

Геометрически необходимые дислокации могут обеспечить упрочнение, где в разных случаях существуют два механизма. Первый механизм обеспечивает макроскопическое изотропное упрочнение посредством локального взаимодействия дислокаций, например, образование выступов, когда существующая геометрически необходимая дислокация прорезается движущейся дислокацией. Второй механизм — кинематическое упрочнение посредством накопления дальнодействующих обратных напряжений. ^[10]

Геометрически необходимые дислокации могут понижать свою свободную энергию, накладываясь друг на друга (см. формулу Пича-Кёлера для напряжений дислокация-дислокация) и образовывать малоугловые наклонные границы . Это движение часто требует, чтобы дислокации поднимались на разные плоскости скольжения, поэтому часто необходим отжиг при повышенной температуре. Результатом является дуга, которая трансформируется из непрерывно изогнутой в дискретно изогнутую с перегибами на малоугловых наклонных границах. ^[1]

Ссылки

1. Cai, Wei; Nix, William D. (2016-09-15). Несовершенства в кристаллических твердых телах . Cambridge University Press. ISBN 9781107123137. OCLC  927400734.
2. H., Courtney, Thomas (2005). Механическое поведение материалов . Waveland Press. ISBN 978-1577664253. OCLC  894800884.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Arsenlis, A; Parks, DM (март 1999). «Кристаллографические аспекты геометрически необходимой и статистически сохраненной плотности дислокаций». Acta Materialia . 47 (5): 1597–1611. Bibcode : 1999AcMat..47.1597A. doi : 10.1016/s1359-6454(99)00020-8. ISSN  1359-6454.
4. Най, JF (март 1953 г.). «Некоторые геометрические соотношения в дислоцированных кристаллах». Акта Металлургика . 1 (2): 153–162. дои : 10.1016/0001-6160(53)90054-6. ISSN  0001-6160.
5. Гао, Хуацзянь; Хуан, Юнган (январь 2003 г.). «Геометрически необходимая дислокация и размерно-зависимая пластичность». Скрипта Материалия . 48 (2): 113–118. дои : 10.1016/s1359-6462(02)00329-9. ISSN  1359-6462.
6. Адамс, Брент Л. (июнь 1997 г.). «Ориентационная микроскопия изображений: новые и будущие приложения». Ультрамикроскопия . 67 (1–4): 11–17. doi :10.1016/s0304-3991(96)00103-9. ISSN  0304-3991.
7. Сан, Б. Л. Адамс, В. Э. Кинг, С. (2000-01-01). «Наблюдения кривизны решетки вблизи интерфейса деформированного алюминиевого бикристалла». Philosophical Magazine A. 80 ( 1): 9–25. doi :10.1080/014186100250985. ISSN  0141-8610.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
8. Kysar, JW; Saito, Y.; Oztop, MS; Lee, D.; Huh, WT (август 2010 г.). «Экспериментальные нижние границы геометрически необходимой плотности дислокаций». International Journal of Plasticity . 26 (8): 1097–1123. doi :10.1016/j.ijplas.2010.03.009. ISSN  0749-6419.
9. Dahlberg, CFO; Saito, Y.; Öztop, MS; Kysar, JW (март 2014 г.). «Геометрически необходимые измерения плотности дислокаций, связанные с различными углами вдавливания». International Journal of Plasticity . 54 : 81–95. doi :10.1016/j.ijplas.2013.08.008. ISSN  0749-6419.
10. Fleck, NA; Ashby, MF; Hutchinson, JW (январь 2003 г.). «Роль геометрически необходимых дислокаций в упрочнении материала». Scripta Materialia . 48 (2): 179–183. CiteSeerX 10.1.1.518.6418 . doi :10.1016/s1359-6462(02)00338-x. ISSN  1359-6462.