Плотность Дирихле

Понятие в теории чисел

В математике плотность Дирихле (или аналитическая плотность ) множества простых чисел , названная в честь Петера Густава Лежена Дирихле , является мерой размера множества, которую проще использовать, чем естественную плотность .

Определение

Если A является подмножеством простых чисел, то плотность Дирихле A является пределом

${\displaystyle \lim _{s\rightarrow 1^{+}}{\frac {\sum _{p\in A}{1 \over p^{s}}}{\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}}}}}}$

если он существует. Обратите внимание, что поскольку ( см. Prime zeta function ), это также равно ${\displaystyle \textstyle {\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}}}\sim \log({\frac {1}{s-1}})}}$ ${\displaystyle s\rightarrow 1^{+}}$

${\displaystyle \lim _{s\rightarrow 1^{+}}{\sum _{p\in A}{1 \over p^{s}} \over \log({\frac {1}{s-1}})}.}$

Это выражение обычно является порядком " полюса "

${\displaystyle \prod _{p\in A}{1 \over 1-p^{-s}}}$

при s = 1 (хотя в общем случае это не совсем полюс, поскольку он имеет нецелый порядок), по крайней мере, если эта функция является голоморфной функцией, умноженной на (действительную) степень s − 1 вблизи s = 1. Например, если A — множество всех простых чисел, то это дзета-функция Римана , которая имеет полюс порядка 1 при s = 1, поэтому множество всех простых чисел имеет плотность Дирихле 1.

В более общем смысле, можно определить плотность Дирихле последовательности простых чисел (или степеней простых чисел), возможно, с повторениями, таким же образом.

Характеристики

Если подмножество простых чисел A имеет естественную плотность, заданную пределом

(количество элементов A , меньших N )/(количество простых чисел, меньших N )

тогда он также имеет плотность Дирихле, и эти две плотности одинаковы. Однако обычно проще показать, что множество простых чисел имеет плотность Дирихле, и этого достаточно для многих целей. Например, при доказательстве теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях легко показать, что множество простых чисел в арифметической прогрессии a  +  nb (для a ,  b взаимно простых) имеет плотность Дирихле 1/φ( b ), что достаточно, чтобы показать, что существует бесконечное количество таких простых чисел, но сложнее показать, что это естественная плотность.

Грубо говоря, доказательство того, что некоторое множество простых чисел имеет ненулевую плотность Дирихле, обычно включает демонстрацию того, что некоторые L -функции не обращаются в нуль в точке s = 1, в то время как доказательство того, что они имеют естественную плотность, включает демонстрацию того, что L -функции не имеют нулей на прямой Re( s ) = 1.

На практике, если некоторый «естественный» набор простых чисел имеет плотность Дирихле, то он также имеет естественную плотность, но можно найти искусственные контрпримеры: например, набор простых чисел, первая десятичная цифра которых равна 1, не имеет естественной плотности, но имеет плотность Дирихле log(2)/log(10). ^[1]

Смотрите также

• Естественная плотность

Примечания

1. Это приписывается Ж.-П. Серром частному сообщению от Бомбьери в Курсе арифметики ; элементарное доказательство, основанное на теореме о простых числах, дано в: A. Fuchs, G. Letta, Le problème du premier chiffre décimal pour les nombres premiers [Проблема первой цифры для простых чисел] (на французском языке) The Foata Festschrift. Electron. J. Combin. 3 (1996), № 2.

Ссылки

• Ж.-П. Серр , Курс арифметики , ISBN  0-387-90040-3 , глава VI, раздел 4.