Плотность на коллекторе

Раздел определенного линейного пакета

В математике и, в частности, в дифференциальной геометрии , плотность — это пространственно изменяющаяся величина на дифференцируемом многообразии , которую можно интегрировать внутренним образом. Абстрактно, плотность — это часть некоторого линейного расслоения , называемого расслоением плотности . Элемент расслоения плотности в точке x — это функция, которая задает объем параллелоэдра, натянутого на n заданных касательных векторов в точке x .

С оперативной точки зрения плотность представляет собой набор функций на координатных картах , которые умножаются на абсолютное значение определителя Якобиана при изменении координат. Плотности можно обобщить в s -плотности , чьи координатные представления умножаются на s -ю степень абсолютного значения определителя Якобиана. На ориентированном многообразии 1-плотности канонически отождествляются с n -формами на M. На неориентируемых многообразиях такое отождествление провести невозможно, поскольку расслоение плотности является тензорным произведением расслоения ориентации M и n -го внешнего расслоения произведения T ^∗ M (см. псевдотензор ).

Мотивация (плотности в векторных пространствах)

Вообще не существует естественного понятия «объема» для параллелоэдра, порожденного векторами v ₁ , ..., v _n в n -мерном векторном пространстве V . Однако если кто-то желает определить функцию µ  : V × ... × V → R , которая задает объем любому такому параллелоэдру, она должна удовлетворять следующим свойствам:

• Если какой-либо из векторов v _k умножить на λ ∈ R , то объем следует умножить на | λ |.
• Если к вектору v _j добавляется любая линейная комбинация векторов v ₁ , ..., v _{j -1} , v _{j +1} , ..., v _n , объем должен оставаться неизменным.

Эти условия эквивалентны утверждению, что µ задается трансляционно-инвариантной мерой на V , и их можно перефразировать как

${\displaystyle \mu (Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\left|\det A\right|\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V).}$

Любое такое отображение µ  : V × ... × V → R называется плотностью в векторном пространстве V. Обратите внимание, что если ( v ₁ , ..., v _n ) является каким-либо базисом для V , то фиксация µ ( v ₁ , ..., v _n ) полностью исправит µ ; отсюда следует, что множество Vol( V ) всех плотностей на V образует одномерное векторное пространство. Любая n -форма ω на V определяет плотность | ω | на V от

${\displaystyle |\omega |(v_{1},\ldots ,v_{n}):=|\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})|.}$

Ориентации в векторном пространстве

Множество Or( V ) всех функций o  : V × ... × V → R , удовлетворяющих условиям

${\displaystyle o(Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\operatorname {sign} (\det A)o(v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V)}$

образует одномерное векторное пространство, а ориентация на V — это один из двух элементов o ∈ Or( V ) таких, что | о ( v ₁ , ..., v _п ) | = 1 для любого линейно независимого v ₁ , ..., v _n . Любая ненулевая n -форма ω на V определяет ориентацию o ∈ Or( V ) такую, что

${\displaystyle o(v_{1},\ldots ,v_{n})|\omega |(v_{1},\ldots ,v_{n})=\omega (v_{1},\ldots ,v_{n}),}$

и наоборот, любой o ∈ Or( V ) и любая плотность µ ∈ Vol( V ) определяют n -форму ω на V формулой

${\displaystyle \omega (v_{1},\ldots ,v_{n})=o(v_{1},\ldots ,v_{n})\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}).}$

С точки зрения тензорных пространств произведений ,

${\displaystyle \operatorname {Or} (V)\otimes \operatorname {Vol} (V)=\bigwedge ^{n}V^{*},\quad \operatorname {Vol} (V)=\operatorname {Or} (V)\otimes \bigwedge ^{n}V^{*}.}$

s -плотности в векторном пространстве

s -плотности на V — это функции µ  : V × ... × V → R такие, что

${\displaystyle \mu (Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\left|\det A\right|^{s}\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V).}$

Как и плотности, s -плотности образуют одномерное векторное пространство Vol ^s ( V ), и любая n -форма ω на V определяет s -плотность | ω | ^s на V от

${\displaystyle |\omega |^{s}(v_{1},\ldots ,v_{n}):=|\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})|^{s}.}$

Произведение s ₁ - и s ₂ -плотностей µ ₁ и µ ₂ образует ( s ₁ + s ₂ )-плотность µ по формуле

${\displaystyle \mu (v_{1},\ldots ,v_{n}):=\mu _{1}(v_{1},\ldots ,v_{n})\mu _{2}(v_{1},\ldots ,v_{n}).}$

В терминах тензорных пространств произведений этот факт можно сформулировать как

${\displaystyle \operatorname {Vol} ^{s_{1}}(V)\otimes \operatorname {Vol} ^{s_{2}}(V)=\operatorname {Vol} ^{s_{1}+s_{2}}(V).}$

Определение

Формально расслоение s -плотности Vol ^s ( M ) дифференцируемого многообразия M получается с помощью ассоциированной конструкции расслоения , переплетающей одномерное групповое представление

${\displaystyle \rho (A)=\left|\det A\right|^{-s},\quad A\in \operatorname {GL} (n)}$

полной линейной группы с расслоением реперов M .

Полученное линейное расслоение известно как расслоение s -плотностей и обозначается

${\displaystyle \left|\Lambda \right|_{M}^{s}=\left|\Lambda \right|^{s}(TM).}$

1-плотность также называют просто плотностью .

В более общем смысле, связанная конструкция расслоения также позволяет создавать плотности из любого векторного расслоения E на M .

Подробно, если ( U _α ,φ _α ) — атлас координатных карт на M , то с ним связана локальная тривиализация ${\displaystyle \left|\Lambda \right|_{M}^{s}}$

${\displaystyle t_{\alpha }:\left|\Lambda \right|_{M}^{s}|_{U_{\alpha }}\to \phi _{\alpha }(U_{\alpha })\times \mathbb {R} }$

подчинен открытому покрытию U _α такой, что ассоциированный GL(1)-коцикл удовлетворяет условию

${\displaystyle t_{\alpha \beta }=\left|\det(d\phi _{\alpha }\circ d\phi _{\beta }^{-1})\right|^{-s}.}$

Интеграция

Плотности играют важную роль в теории интегрирования на многообразиях. Действительно, определение плотности мотивировано тем, как изменяется мера dx при изменении координат (Folland 1999, раздел 11.4, стр. 361-362).

Учитывая 1-плотность ƒ, поддерживаемую в координатной карте U _α , интеграл определяется формулой

${\displaystyle \int _{U_{\alpha }}f=\int _{\phi _{\alpha }(U_{\alpha })}t_{\alpha }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}d\mu }$

^{где последний} интеграл относится к мере Лебега на Rn . Закон преобразования для 1-плотностей вместе с заменой переменных Якобиана обеспечивает совместимость на перекрытиях различных координатных карт, и поэтому интеграл от общей компактной 1-плотности может быть определен путем разделения аргумента единицы . Таким образом, 1-плотности являются обобщением понятия формы объема, которое не обязательно требует, чтобы многообразие было ориентированным или даже ориентируемым. В более общем плане можно разработать общую теорию мер Радона как разделов распределения , используя теорему о представлении Рисса-Маркова-Какутани . ${\displaystyle |\Lambda |_{M}^{1}}$

Множество 1 / p -плотностей, представляющее собой нормированное линейное пространство, пополнение которого называется внутренним Lp - пространством M. ${\displaystyle |\phi |_{p}=\left(\int |\phi |^{p}\right)^{1/p}<\infty }$ ${\displaystyle L^{p}(M)}$

Конвенции

В некоторых областях, особенно в конформной геометрии , используется другое соглашение о взвешивании: вместо этого связка s -плотностей связана с символом

${\displaystyle \rho (A)=\left|\det A\right|^{-s/n}.}$

Например, согласно этому соглашению интегрируются n -плотностей (а не 1-плотностей). Также в этих соглашениях конформная метрика отождествляется с тензорной плотностью веса 2.

Характеристики

• Двойственное векторное расслоение есть . ${\displaystyle |\Lambda |_{M}^{s}}$ ${\displaystyle |\Lambda |_{M}^{-s}}$
• Тензорные плотности — это сечения тензорного произведения расслоения плотности на тензорное расслоение.

Рекомендации

• Берлина, Николь; Гетцлер, Эзра; Вернь, Мишель (2004), Тепловые ядра и операторы Дирака , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-20062-8.
• Фолланд, Джеральд Б. (1999), Реальный анализ: современные методы и их применение (второе изд.), ISBN 978-0-471-31716-6, в последнем разделе приводится краткое обсуждение плотностей.{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
• Николаеску, Ливиу И. (1996), Лекции по геометрии многообразий , Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 978-981-02-2836-1, МР  1435504
• Ли, Джон М. (2003), Введение в гладкие многообразия , Springer-Verlag