Коэффициент атомной упаковки

В кристаллографии атомный коэффициент упаковки (APF) , эффективность упаковки или фракция упаковки — это доля объема в кристаллической структуре , занимаемая составными частицами. Это безразмерная величина , всегда меньше единицы. В атомных системах по соглашению APF определяется, предполагая, что атомы представляют собой жесткие сферы. Радиус сфер принимается равным максимальному значению, при котором атомы не перекрываются. Для однокомпонентных кристаллов (тех, которые содержат только один тип частиц) фракция упаковки математически представлена как

\mathrm {APF} = {\frac {N_ {\mathrm {частица} }V_ {\mathrm {частица} }}{V_ {\text{элементарная ячейка}}}}

где N _{частица} — число частиц в элементарной ячейке, V _{частица} — объем каждой частицы, а V _{единичная ячейка} — объем, занимаемый элементарной ячейкой. Можно математически доказать, что для однокомпонентных структур наиболее плотное расположение атомов имеет APF около 0,74 (см. гипотезу Кеплера ), полученную с помощью плотноупакованных структур . Для многокомпонентных структур (например, с интерстициальными сплавами) APF может превышать 0,74.

Коэффициент атомной упаковки элементарной ячейки имеет отношение к изучению материаловедения , где он объясняет многие свойства материалов. Например, металлы с высоким коэффициентом атомной упаковки будут иметь более высокую «обрабатываемость» (ковкость или пластичность ), подобно тому, как дорога становится более гладкой, когда камни расположены ближе друг к другу, что позволяет атомам металла легче скользить друг мимо друга.

Однокомпонентные кристаллические структуры

Ниже перечислены типичные упаковки сфер, принимаемые атомными системами, с соответствующими им коэффициентами упаковки.

Гексагональная плотноупакованная (ГПУ): 0,74 ^[1]
Гранецентрированная кубическая (ГЦК): 0,74 ^[1] (также называется кубической плотноупакованной, КПУ)
Объемно-центрированная кубическая (ОЦК): 0,68 ^[1]
Простая кубическая : 0,52 ^[1]
Алмазный куб : 0,34

Большинство металлов принимают либо ГПУ, либо ГЦК, либо ОЦК структуру. ^[2]

Простая кубическая

Для простой кубической упаковки число атомов в элементарной ячейке равно 1. Сторона элементарной ячейки имеет длину 2 r , где r — радиус атома.

{\begin{aligned}\mathrm {APF} &={\frac {N_{\mathrm {атомы} }V_{\mathrm {атом} }}{V_{\text{элементарная ячейка}}}}={\frac {1\cdot {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}{\left(2r\right)^{3}}}\\[10pt]&={\frac {\pi }{6}}\approx 0.5236\end{aligned}}

Гранецентрированная кубическая

Для гранецентрированной кубической элементарной ячейки число атомов равно четырем. Можно провести линию из верхнего угла куба по диагонали в нижний угол на той же стороне куба, которая равна 4 r . Используя геометрию и длину стороны, a можно связать с r следующим образом:

a={2r}{\sqrt {2}}\,.

Зная это и формулу для объема сферы , становится возможным рассчитать APF следующим образом:

{\begin{aligned}\mathrm {APF} &={\frac {N_{\mathrm {атомы} }V_{\mathrm {атом} }}{V_{\text{элементарная ячейка}}}}={\frac {4\cdot {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}{\left({2r{\sqrt {2}}}\right)^{3}}}\\[10pt]&={\frac {\pi {\sqrt {2}}}{6}}\approx 0.740\,48048\ .\end{aligned}}

Объемно-центрированная кубическая

Примитивная элементарная ячейка для объемно-центрированной кубической кристаллической структуры содержит несколько фракций, взятых из девяти атомов (если частицы в кристалле являются атомами): по одному на каждом углу куба и один атом в центре. Поскольку объем каждого из восьми угловых атомов делится между восемью соседними ячейками, каждая ячейка ОЦК содержит эквивалентный объем двух атомов (один центральный и один на углу).

Каждый угловой атом касается центрального атома. Линия, проведенная из одного угла куба через центр и в другой угол, проходит через 4 r , где r — радиус атома. Согласно геометрии, длина диагонали равна a √ 3 . Следовательно, длина каждой стороны структуры BCC может быть связана с радиусом атома следующим образом:

a={\frac {4r}{\sqrt {3}}}\,.

Зная это и формулу для объема сферы , становится возможным рассчитать APF следующим образом:

{\begin{aligned}\mathrm {APF} &={\frac {N_{\mathrm {atoms} }V_{\mathrm {atom} }}{V_{\text{unit cell}}}}={\frac {2\cdot {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}{\left({\frac {4r}{\sqrt {3}}}\right)^{3}}}\\[10pt]&={\frac {\pi {\sqrt {3}}}{8}}\approx 0.680\,174\,762\,.\end{aligned}}

Гексагональная плотноупакованная

Для гексагональной плотноупакованной структуры вывод аналогичен. Здесь элементарная ячейка (эквивалентная 3 примитивным элементарным ячейкам) представляет собой гексагональную призму, содержащую шесть атомов (если частицы в кристалле являются атомами). Действительно, три — это атомы в среднем слое (внутри призмы); кроме того, для верхнего и нижнего слоев (на основаниях призмы) центральный атом является общим с соседней ячейкой, а каждый из шести атомов в вершинах является общим с другими шестью соседними ячейками. Таким образом, общее число атомов в ячейке равно 3 + (1/2)×2 + (1/6)×6×2 = 6. Каждый атом касается других двенадцати атомов. Теперь пусть будет длиной стороны основания призмы, а будет ее высотой. Последнее в два раза больше расстояния между соседними слоями, т. е . в два раза больше высоты правильного тетраэдра, вершины которого заняты (скажем) центральным атомом нижнего слоя, двумя соседними нецентральными атомами того же слоя и одним атомом среднего слоя, «покоящимся» на трех предыдущих. Очевидно, что ребро этого тетраэдра равно . Если , то его высоту можно легко вычислить как , и, следовательно, . Таким образом, объем элементарной ячейки ГПУ оказывается равным (3/2) √ 3 , то есть 24 √ 2 . $a\$ $c\$ $a\$ $a=2r\$ ${\sqrt {\tfrac {8}{3}}}a\$ $c=4{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}r\$ $a^{2}c\$ $r^{3}\$

Тогда можно рассчитать АПФ следующим образом:

{\begin{aligned}\mathrm {APF} &={\frac {N_{\mathrm {atoms} }V_{\mathrm {atom} }}{V_{\text{unit cell}}}}={\frac {6\cdot {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}{{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}c}}\\[10pt]&={\frac {6\cdot {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}{{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}(2r)^{2}{\sqrt {\frac {2}{3}}}\cdot 4r}}={\frac {6\cdot {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}{{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}{\sqrt {\frac {2}{3}}}\cdot 16r^{3}}}\\[10pt]&={\frac {\pi }{\sqrt {18}}}={\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\approx 0.740\,480\,48\,.\end{aligned}}

Смотрите также

Ссылки

^ abcd Эллис, Артур Б.; и др. (1995). Преподавание общей химии: Справочник по материаловедению (3-е изд.). Вашингтон, округ Колумбия: Американское химическое общество. ISBN 084122725X.
^ Мур, Лесли Э.; Смарт, Элейн А. (2005). Химия твердого тела: Введение (3-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: Taylor & Francis, CRC. стр. 8. ISBN 0748775161.

Дальнейшее чтение

Шаффер; Саксена; Антолович; Сандерс; Уорнер (1999). Наука и проектирование конструкционных материалов (2-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: WCB/McGraw-Hill. С. 81–88. ISBN 978-0256247664.
Каллистер, В. (2002). Материаловедение и инженерия (6-е изд.). Сан-Франциско, Калифорния: John Wiley and Sons. стр. 105–114. ISBN 978-0471135760.